Метод конечных элементов и задачи теории упругости. Карпиловский_FEM. В. С. Карпиловский Метод конечных элементов и задачи теории упругости
 Скачать 5.35 Mb.
|
|
Глава 5. Стержни 5.1. Гипотезы К стержням относятся тела, у которых длина значительно больше его ши- роты и высоты. Тело стержня образуется движением плоского сечения вдоль линии, проходящей через его центр тяжести перпендикулярно к ней. Данная линия называется осью стержня. Сечение может быть переменным. В данной главе будем рассматривать только прямолинейные стержни, у которых осью служит прямая линия. Классическая теория Эйлера – Бернулли основана на следующих предпо- ложениях: гипотеза плоских сечений: поперечные сечения, плоские и перпендику- лярные к оси балки до деформации, остаются плоскими и перпендику- лярными к изогнутой оси после ее деформации ; гипотеза ненадавливания: продольные волокна балки при ее изгибе не надавливают друг на друга ; гипотеза отсутствия сдвигов: деформации сдвига настолько малы, что работой касательных напряжений для энергии деформации можно пре- небречь по сравнению с работой нормальных напряжений; изотропный материал подчиняется закону Гука. В гипотезах Тимошенко вместо гипотезы отсутствия сдвигов: плоское поперечное сечение при изгибе поворачивается не только из-за изгиба ее оси, но и из-за поворота относительно этой оси. В исходных уравнениях вводится учет работы касательных напряжений и, следова- тельно, деформаций сдвига. В вычислительных комплексах стержневой конечных элемент может рас- сматриваться как подконструкция. Возможна реализация: недеформируемых частей (жестких вставок); шарниров (ползунов) по любой из осей. Шарниры могут быть упругими; учет упругого основания. Рис. 5.1-1. Стержень Считаем, что главные оси инерции стержня совпадают с осями системы координат XYZ, как изображено на рис. 5.1-1. Глава 5. Стержни 143 5.2. Сжато‐растянутый стержень Рассмотрим задачу о растяжении-сжатии прямолинейного стержня дли- ной a, изображенного на рис. 5.2-1, где х – продольная ось стержня, q(x) – ин- тенсивность распределенной вдоль оси стержня нагрузки, действующей в на- правлении x. На концы стержня действуют сосредоточенные силы P 0 и P a со- ответственно. Рис. 5.2-1 . Растянуто-сжатый стержень Поле перемещений точек стержня: u=u(x), v=w=0. (5.2.1) Получаем геометрические уравнения из (3.1.4): 0 , , d u d x y z xy xz yz x (5.2.2) ε x – относительная продольная деформация, положительная при растяжении. Из закона Гука (3.1.6) следуют физические уравнения: 0 , E x x y z xy xz yz , (5.2.3) где E – модуль Юнга. Введем в точке x стержня осевое внутреннее усилие как интеграл по се- чению F: ( ) F F N dF EdF x x x , (5.2.4) N(x) – продольная сила, считающаяся положительной при растяжении стержня. При E=const то получаем физическое уравнение: ( ) ( ) N EF x x x , (5.2.5) где F(x) – площадь поперечного сечения стержня в точке х. Дифференциальное уравнение равновесия: ( ) ( ), ( ) ( ) dN d d q EF u q d d d x x x x x x x (5.2.6) Статические краевые условия: N(0) = P 0 ; N(a) = –P a Кинематические краевые условия: u(0) = u 0 ; u(a) = u a Функционал Лагранжа, если заданы только нулевые кинематические краевые условия: 2 0 0 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a a du u EF d q u d d x x x x x x x (5.2.7) 144 Глава 5. Стержни В матричной форме векторы напряжений σ, деформаций ε и перемещений u состоят из одной компоненты каждый: σ = { N }, ε = { ε x }, u = { u }. (5.2.8) Линейный матричный оператор A и матрица упругости C имеют вид в (1.3.1) и (1.3.2): d dx A , ( ) , EF x B A = C (5.2.9) Степени свободы и аппроксимирующие функции В узлах элемента определим по одной степени свободы: u i , i=1,2. (5.2.10) Поле перемещений представим в следующем виде: 1 2 1 ( ) ( ) , u u u a x x (5.2.11) 5.3. Балка Бернулли 5.3.1. Уравнения Рис. 5.3-1 . Изгибаемый стержень Рассмотрим задачу об изгибе прямолинейного стержня длиной a, изо- браженного на рис. 5.3-1, где х – продольная ось стержня, оси y и z совпадают с главными осями инерции сечения, q y (x), q z (x) – распределенные вдоль осей стержня нагрузки по направлениям осей y и z. На концы стержня действуют перерезывающие силы и моменты M y (0), Q z (0), M z (0), Q y (0), M y (a), M z (a), Q z (a) и Q y (a). Из гипотезы плоских сечений углы поворота поперечного сечения y , z и кривизны y , z стержня относительно осей y и z связаны с прогибами w и v следующими соотношениями: Глава 5. Стержни 145 2 2 2 2 , , , z d d w v d d d d d d w v d d d d y z y y z x x = = x x x x (5.3.1) Поле горизонтальных перемещений u точек стержня по теории Эйлера – Бернулли: d d u z w y v d d (x) (x) (x) x x (5.3.2) Получаем геометрические уравнения из (3.1.4): 2 2 2 2 0 , z d d y w v d d x y y z xy xz yz z z y x x (5.3.3) Из закона Гука (3.1.6) следуют физические уравнения: 0 , x x y z xy yz E (5.3.4) где E – модуль Юнга. Введем в точке x стержня осевые внутренние усилия M y (x) и M z (x) – изги- бающие моменты вокруг осей OY и OZ: 2 2 ( ) , ( ) F F x F F M z dF EdF M dF EdF y x y z z x z x y y (5.3.5) Если модуль упругости E=const, то получаем, что ( ) ( ) , ( ) ( ) y y y z z z M EI M EI x x x x , (5.3.6) где I y (x) и I z (x) – моменты инерции сечения стержня относительно осей OY и OZ. Из уравнений равновесия (3.1.2) следует, что касательные напряжения xy и xz не равны нулю. Введем в точке x стержня осевые внутренние усилия Q y (x) и Q z (x) – поперечные силы в направлении осей OY и OZ: ( ) , ( ) F F Q x dF Q x dF y xy z xz (5.3.7) После интегрирования по площади сечения уравнений равновесия (3.1.2) следует: ( ) ( ), ( ) ( ) z d d Q M Q x M d d y z y x x x x x . (5.3.8) Получаем дифференциальные уравнения равновесия: ( ) ( ), ( ) ( ) y y d d Q x q Q x q d d z z x x x x , (5.3.9) которые можно записать в следующем виде: 146 Глава 5. Стержни 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ). y y z z d M d d d Q w q d d d d d M d d d Q v q d d d d z z y y x x EI x x x x x x x x EI x x x x x x (5.3.10) Статические краевые условия: M y (0) = –M y,0 , Q z (0) = –Q z,0 , M y (a) = M y,a , Q z (a) = Q z,a , M z (0) = –M z,0 , Q y (0) = –Q y,0 , M z (a) = M z,a , Q y (a) = Q y,a (5.3.11) Кинематические краевые условия: v(0) = v0, v(a) = va, z (0) = z,0, z (a) = z,a , w(0) = w0, w(a) = wa, y (0) = y,0 , y (a) = y,a (5.3.12) Функционал Лагранжа при нулевых краевых условиях: 2 2 2 2 2 2 0 0 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a z y a d v d w w d d d q v q w d y z x x x EI EI x x x x x x x (5.3.13) В матричной форме векторы напряжений σ , деформаций εи перемеще- ний u на оси стержня состоят из двух компонент каждый: , , y y z z M v w M σ ε u (5.3.14) Линейный матричный оператор A и матрица упругости C имеют вид в (1.3.1) и (1.3.2): 2 2 2 2 0 0 d d d d x x A , 0 0 ( ) ( ) z EI EI у x x С , B A = (5.3.15) 5.3.2. Учет сдвиговых деформаций Рассмотрим стержень, изображенный на рис. 5.3-1. Будем считать, следуя [59, 71], что существуют следующие зависимости для полных вертикального и горизонтального прогибов и углов поворота: ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), , , d s d s d d w w w v v v d d w v d d y z x x x x x x x x (5.3.16) Глава 5. Стержни 147 где: w d и v d – прогибы от изгиба, удовлетворяющие уравнениям равнове- сия (5.3.10); w s и v s – прогибы от сдвига. Если считать, что сдвиги по высоте поперечного сечения стержня распре- делены равномерно и сечение не испытывает депланации, то между углами сдвига xz , yz и перерезывающими силами Q z (x), Q y (x) существуют зависимо- сти: 1 1 , s s z dw dv Q Q d GF dx GF xz xy y y z x (5.3.17) Учитывая (5.3.8), получаем: 3 3 3 3 , s d s d EF dw d w dv d v EF d GF d GF d d y z xy y z x x x x (5.3.18) Функционал Лагранжа при нулевых краевых условиях: 2 2 2 2 2 2 0 2 2 0 0 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a d d z y a s s z y a d v d w w d d d dv dw d d d q v q w d y z x x x EI EI x x x x x GF GF x x x x x x x (5.3.19) 5.3.3. Преднапряжение и сдвиг Пусть в начальном состоянии в сечении стержня действует положитель- ная при растяжении ненулевая нормальная сила N(x). Она возникает, напри- мер, в железобетонном стержне при предварительно натянутой арматуре. То- гда уравнения равновесия (5.3.10) примут вид: 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ). y z d d d d w w q d d d d d d d d v v q d d d d z y EI x N(x) x x x x x x EI x N(x) x x x x x x (5.3.20) Вектор перемещений u, линейный матричный оператор A и матрицу уп- ругости D в (1.3.1) и (1.3.2) запишем в следующем виде: 2 2 2 2 0 0 0 0 T d d d d d d d d x x x x A , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) z EI N EI N у x x x x D (5.3.21) 148 Глава 5. Стержни Функционал Лагранжа при нулевых краевых условиях: 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a z y a d v d w dv dw d N d d d d q v q w d w y z x x x x x EI EI x x x x x x x x x . (5.3.22) Если необходимо учесть сдвиг, то согласно [44], достаточно в (5.3.20)– (5.3.22) заменить жестости y EI и z EI на: 1 1 ( ), ( ) s s y y z z y z N N GF GF EI EI EI EI (5.3.23) 5.3.4. Степени свободы и аппроксимирующие функции В узлах элемента определим четыре степени свободы – два перемещения по соответствующим осям и углы поворота вокруг них: , , , i i yi zi v w , i=1,2. (5.3.24) Поле перемещений представим в следующем виде: 1 11 1 14 2 21 2 24 1 12 1 13 2 22 2 23 ( ) , ( ) , v v v w w w z, z, y, y, x x (5.3.25) где первый индекс при – номер узла, второй – порядковый номер степени свободы в (5.3.24). Рассмотрим невязку: 12 13 22 23 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y y w w w a a x x (5.3.26) Разложив w(x) в ряд, учитывая (5.3.1), получим: 2 2 3 3 0 0 0 2 3 2 2 3 12 13 0 22 0 0 0 2 3 2 2 3 3 23 0 0 0 2 3 0 2 6 0 2 0 2 6 ( ) ( ) ( ) ( ) dw d w d w w d d d dw dw d w a d w w a d d d d dw a d w a d w w a d d d x x x x x x x x x x x x x x x x x + x x x x x x x (5.3.27) Тождества критерия полноты третьего порядка для w получаем, прирав- няв соответствующие коэффициенты при членах ряда: 12 22 22 13 23 2 2 22 23 3 3 22 23 1 2 3 , , a a a a a x, x x (5.3.28) Аналогично для v: Глава 5. Стержни 149 11 21 21 14 24 2 2 21 24 3 3 21 24 1 2 3 , , a a a a a x, x x (5.3.29) Первые два тождества в (5.3.28) и (5.3.29) являются условиями равнове- сия стержня как жесткого тела. Рассматривая систему тождеств (5.3.28) и (5.3.29) как системы уравнений, получаем аппроксимирующие функции, удовлетворяющие всем условиям МКЭ: 11 1 14 2 21 3 24 4 13 2 12 1 22 3 23 4 ( ) ( , ), ( ) ( , ), ( ) ( , ), ( ) ( , ), ( ) ( , ), ( ) ( , ), ( ) ( , ), ( ) ( , ), x x x x x x x x (5.3.30) где 2 3 2 3 1 3 2 3 2 3 2 4 1 3 2 3 2 2 ( ) , ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) x x a a x x , a x . (5.3.31) Функции (5.3.31) являются решениями соответствующего однородного уравнения равновесия (5.3.10), если EI y =const и EI z =const. При наличии сдвига или преднапряжения функции (5.3.31) уже не будут решениями уравнений равновесия. По теореме 2.4.1 для получения точных значений перемещений узлов и усилий в элементах желательно использовать аналитические решения соответствующих однородных уравнений. Чистый сдвиг: N=0 и GF y 0, GF z 0. С учетоми уравнений (5.3.16) и (5.3.18) решения для однородных уравне- ний равновесия (5.3.10) имеют вид [59, 71]: 2 3 1 2 3 4 2 4 5 4 5 2 3 2 1 5 2 3 4 2 3 1 2 3 4 2 4 5 4 5 2 3 2 1 5 2 3 4 6 6 , , ( ), , , ( ), d y s y d z s z w C C C C EI w C a C GF w C C C C C a v B B B B EI v B a B GF v B B B B B a x x x x +C x +C x x x x x x x xB + xB + x x x x (5.3.32) где 2 2 6 6 , y z y z EI EI a GF a GF Получим аппроксимирующие функции (5.3.25) для чистого сдвига: 150 Глава 5. Стержни 2 3 11 21 11 2 3 12 22 12 2 3 13 23 12 13 2 3 14 24 21 14 1 1 1 2 3 2 1 2 1 1 1 2 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 , , , , , , ( ) ( ) , ( ) ( ) a a a a a a (5.3.33) 1 12 1 13 2 22 2 23 1 11 1 14 2 21 2 24 ( ) , ( ) s y y s z z w w w v v w x x (5.3.34) 11 14 24 12 13 23 21 22 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 , , , , , a a Cдвиг и обжатие: N 0. Воспользуемся решениями однородных уравнений равновесия (5.3.20) [43]: 1 2 3 4 1 2 3 4 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ). v C C C c C s w B B B c B s x x x x (5.3.35) где 2 2 , y z a a N N EI EI , 0 0 0 0 cos( ), sin( ), ( ) , ( ) ( ), s ( ), c ch h x N x N x s x x N > x N > При учете сдвига подставляем в (5.3.35) величины и из (5.3.23). Решив соответствующие системы уравнений (2.1.8), получим в (5.3.30) вместо функций (5.3.31) функции: 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 4 2 2 2 1 ( , ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) , ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) t c s t c t t sign N c a sign N sign N s t t c t 3 13 4 3 2 1 ( , ) ( ), ( , ) ( , ) ( , ) a a x , (5.3.36) 0 0 t ( ), ( ) ( ), g t th N N > Функции (5.3.36) удовлетворяют только первым двум тождествам крите- рия полноты (5.3.28) – условиям равновесия стержня как твердого тела. При учете сдвига подставляем в (5.3.36) величины и из (5.3.23). Глава 5. Стержни 151 В связи с трансцендентностью функций и сложностью построения (5.3.36) приведем матрицу жесткости элемента: 8 1 , r r ij i j K K , (5.3.37) учитывая, что 2 2 2 2 4 4 ( ) ( ) y z N EI sign N EI sign N a a , 22 66 26 22 23 27 36 67 23 1 33 77 = = = = = 2 = = , 2 2 1 = = ( ) , ( ) ( ) ( ) , ( ) z a t t t t EI a t k k N, k k k k N, k k k k k 11 55 15 11 14 18 36 67 14 1 33 77 = = = = = 2 = = , 2 2 1 = = ( ) , ( ) ( ) , ( ) y a t t t t EI a t k k N, k k k k N, k k k k k 1 28 1 2 2 ( ) ( ) z s EI a t k , 1 28 1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) y s EI a s t k . (5.3.38) При отсутствии продольной силы в стержне (N=0) имеем в (5.3.38) не- определенности в силу вырождения соответствующих выражений. 5.4. Балка Тимошенко Рассмотрим опять задачу об изгибе прямолинейного стержня длиной a, изображенного на рис. 5.3-1. Горизонтальные перемещения u точек стержня по теории Тимошенко: y z z y u(x) (5.4.1) Тогда геометрические уравнения (3.1.4): 0 , , , , z xz y xy z y d d w w d d x y y z yz z x x (5.4.2) где параметры изгибной деформации: , z z y d d d d y x x (5.4.3) Из закона Гука (3.1.6) следуют физические уравнения: 0 , x x y z yz E (5.4.4) Моменты (5.3.5) выражаются через параметры изгибной деформации (5.4.3) соотношениями (5.3.6). Считается, что перерезывающие силы Q y и Q z пропорциональны сдвигам xz и xy : , z Q GF GF z y xz y xy Q , (5.4.5) 152 Глава 5. Стержни где G – модуль сдвига, а F y и F z называются площадями сдвига и имеют раз- мерность площади. Перерезывающие силы и моменты связаны соотношениями (5.3.8). Система дифференциальных уравнений равновесия Эйлера: 0 0 ( ), , ( ), , y y y z z z d Q q d d Q M d d Q q d d Q M d z y x x x x x x или 0 0 ( ), , ( ), z y z z z z z y z y y y y y d d GF q v d d d d d GF v d d d d d GF q w d d d d d GF w d d d x x x EI x x x x x x EI x x x (5.4.6) Статические и кинематические краевые условия совпадают с(5.3.11) и (5.3.12). Функционал Лагранжа при нулевых краевых условиях: 2 2 0 0 2 2 0 0 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a a z y y y y a a y z z z z d d u d q w d EI GF w d d d d d q v d EI GF v d d x x x x x x x x x x x x (5.4.7) В матричной форме векторы напряжений σ , деформаций εи перемеще- ний u на оси стержня: , , xy y xz z y y y z z z Q v w Q M M u ε σ (5.4.8) Оператор геометрии A, оператор равновесия B –A T и матрица упругости С в (1.3.1), (1.3.2) и (1.3.3): 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 d d d d d d d d x x x x A , z y y z GF GF EI EI С , 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 d d d d d d d d x x x x B . (5.4.9) Степени свободы и аппроксимирующие функции В узлах элемента определим степени свободы (5.3.24), которым соответ- ствует система аппроксимирующих функций , , , , , , , y z T ij v ij w ij ij ij φ , i=1,2, j=1,2,3,4. (5.4.10) Глава 5. Стержни 153 Будем считать, что 1 4 1 4 2 3 2 3 0 0 , , , , , , , , y y z z w i w i i i v i v i i i , i=1,2. (5.4.11) Рассмотрим невязку по w и y : 12 13 13 22 23 22 0 0 0 0 , , , , , , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) w y w w y w y w w w a a ζ φ φ φ φ x x x (5.4.12) Считаем, что EI y = const и GF y = const. Из уравнений равновесия (5.4.6): 2 3 2 3 1 1 ..., z y y z z z z d d d d w w w d d d d GF x x EI x x . (5.4.13) Подставив (5.4.13) в (5.4.12) и разложив в ряды w(x), получим: 2 2 3 3 0 0 0 2 3 2 2 3 0 0 0 2 3 3 12 13 0 0 3 2 2 3 3 0 0 0 2 3 0 0 2 6 1 2 0 1 0 0 2 6 ( ) ( ) ( ) ( ) z z dw d w d w w d d d dw d w d w d d d dw d w w d d dw d w a d w w a d d d ζ φ φ x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x a x x x 22 φ 2 2 3 23 0 0 0 2 3 1 2 z dw d w d w d d d φ x x x a + +a x x x (5.4.14) Восемь тождеств критерия полноты третьего порядка получаем, прирав- няв соответствующие коэффициенты при членах ряда: четыре тождества критерия полноты 1-го порядка являются условиями равновесия стержня как жесткого тела: 12 22 12 22 22 13 23 22 13 23 1 0 1 , , , , , , , , , , , , ; y y y y y w w w w w a a x, (5.4.15) два тождества критерия полноты 2-го порядка: 2 2 2 22 23 22 23 2 2 2 , , , , y y w w a a a a x , x (5.4.16) 154 Глава 5. Стержни Тождества (5.4.16) обеспечивают выполнение тестов на постоянные мо- менты. Именно их невыполнение приводит к так называемому режиму запи- рания, когда для тонких стержней решение не сходится к аналитическому; два тождества критерия полноты 3-го порядка: 3 3 2 22 13 23 3 2 2 22 13 23 1 1 6 6 2 1 1 1 6 2 2 , , , , , , y y y w w w z z z z z a a a a x , x (5.4.17) Если сравнить (5.4.15) и (5.4.16) с (5.3.28), то увидим, что они совпадают. Совпадут и тождества (5.4.17), если выполнено условие 13 23 1 , , y y (5.4.18) Зададим функции вида (5.4.10): 12 13 22 23 12 22 13 23 13 1 0 1 2 , , , , , , , , , , , , , y y w w w w w a a a x x x x (5.4.19) Функции (5.4.19) удовлетворяют тождествам критерия полноты 2-го по- рядка (5.4.15) и (5.4.16). Потому при их использовании отсутствует эффект запирания. Они не зависят от жесткостных характеристик 1 Можно повысить точность вычислений. Все восемь тождеств критерия полноты третьего порядка являются системой уравнений для определения соответствующих функций (5.4.10). Получаем: 1 1 0 2 6 0 12 , ( ) , , , ij ij ij T c a a a φ ψ χ χ x x x , i=1,2, j=2,3, (5.4.20) где – функции (5.4.19), 12 22 12 13 23 12 2 12 1 2 12 , , z z c c c ac a c c (5.4.21) Функции (5.4.20) являются решениями системы однородных уравнений равновесия для w при EI y =const и GF y =const. Они приведены, например, в [48, 119]. Аналогично получаем для аппроксимаций, соответствующих v: 2 3 2 3 1 1 ..., y z z y y y y d d d d v w v d d d d GF x x EI x x ; (5.4.22) четыре тождества критерия полноты 1-го порядка, которые являются ус- ловиями ,равновесия стержня как жесткого тела: 1 Их можно применять как при переменных жесткостях, так и в случае, напри- мер, наличия упругого основания. Глава 5. Стержни 155 11 21 11 21 21 14 24 21 14 24 1 0 1 , , , , , , , , , , , , ; z z z z z v v v v v a a x, (5.4.23) два тождества критерия полноты 2-го порядка: 2 2 2 21 24 21 24 2 2 2 , , , , ; z z v v a a a a x , x (5.4.24) два тождества критерия полноты 3-го порядка: 2 3 3 21 14 24 2 3 2 21 14 24 1 1 2 6 6 1 1 1 2 6 2 , , , , , , z z z v v v y y y y y a a a a x , x (5.4.25) Получаем функции, соответствующие v: 2 , ij ij ij c φ ψ χ , i=1,2, j=1,4, (5.4.26) где: 2 2 0 0 6 12 ( ) T a a a χ x x x, , , , i=1,2, j=1,4, 11 14 21 24 11 21 14 24 14 1 0 1 2 , , , , , , , , , , , , , z z z z v v v v v a a a x x x x 11 21 11 14 24 11 2 12 1 2 12 , , y y c c c ac a c c 5.5. Кручение Рассматривается стержень постоянного сечения, изображенный на рис. 5.5-1 под действием крутящих моментов m x (x). Cчитаем, что в попереч- ных сечениях возникает только один силовой фактор – крутящий момент М х На концы стержня действуют вращающие моменты M x (0) и M x (a). Рис. 5.5-1. Кручение стержня На нейтральной оси: u=v=w=0. (5.5.1) Геометрические уравнения: 0 ( ) , , d d yz x x y z xy xz x,y,z x (5.5.2) 156 Глава 5. Стержни где x – угол поворота сечения вокруг нейтральной оси; – расстояние точки сечения до нейтральной оси. Из закона Гука следуют физические уравнения: 0 , G yz yz x y z xy xz (5.5.3) Вводится в точке x стержня осевое внутреннее усилие как интеграл по се- чению F – крутящий момент: 2 ( ) кр F F d d M dF GdF GI d d x yz x x x x x , (5.5.4) где I кр – полярный момент инерции сечения стержня. Дифференциальное уравнение равновесия: ( ) ( ), ( ) ( ) кр dM d d m GI M m d d d x x x x x x x x x x x (5.5.5) Статические краевые условия: М х (0) = М х,0 ; М х (a) = – М х,a Кинематические краевые условия: x (0) = х,0 ; x (a) = х,a Функционал Лагранжа, если заданы только кинематические краевые ус- ловия: 2 0 0 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a a x x кр d GI d m d d x x x x x x x x x (5.5.6) В матричной форме векторы напряжений σ, деформаций ε и перемещений u состоят из одной компоненты каждый: σ = { М х }, ε = { yz }, u = { x }. (5.5.7) Линейный матричный оператор A и матрица упругости С имеют вид в (1.3.1) и (1.3.2): d dx A , ( ) кр GI x С B A = (5.5.8) Степени свободы и аппроксимирующие функции В узлах элемента определим по одной степени свободы: x,i , i=1,2, (5.5.9) Поле обобщенных перемещений представим в следующем виде: 1 2 1 , , ( ) ( ) , a x x x x x (5.5.10) 5.6. Пространственный стержень Рассмотрим прямолинейный стержень, изображенный на рис. 5.1-1, у ко- торого оси x, y и z совпадают с главными осями инерции сечения. Стержень находится одновременно под действием: растяжения/сжатия; изгиба в двух плоскостях (балка Бернулли или стержень Тимошенко); кручения вокруг собственной оси. Глава 5. Стержни 157 Считаем заданные воздействия независимыми. В узлах элемента определим шесть степеней свободы – три перемещения по соответствующим осям и углы поворота вокруг них: , , , , , u v w i i i xi yi zi , i=1,2 . (5.6.1) Строим матрицу жесткости элемента: 12 1 , r r ij i j K K (5.6.2) Для этого вычисляем элементы матриц жесткости частных случаев на- гружений и делаем их рассылку в (5.6.2) в соответствии с новой нумерацией степеней свободы узлов (5.6.1). 5.7. Тесты Для проверки реализации конечного элемента стержня в вычислительном комплексе используются тесты, связанные с проверкой: смешения как жесткого тела; постоянных продольной силы, моментов, перерезывающих сил. Таблица 5.7-1. Типы стержневых элеметов по гипотезе Бернулли Тип элемента Степени свободы Описание стерженя 1 u, v плоской фермы 2 u, v, y плоской рамы 3,7 w, x , y балочного ростверка 4 u, v, w пространственной фермы 5,6 u, v, w, x , y , z пространственный 10 по параметру универсальный Таблица 5.7-2. Типы стержневых элеметов по гипотезе Тимошенко Тип элемента Степени свободы Описание стерженя 102 u, v, y плоской рамы 103 w, x , y балочного ростверка 105 u, v, w, x , y , z пространственный 110 по параметру универсальный Согласно теореме 2.4.1, если в расчетной схеме все одномерные элементы используют в качестве аппроксимирующих функций решения однородных уравнений равновесия, то в результате получаем для соответствующих тесто- вых задач точные аналитические решения. 158 Глава 5. Стержни В таблицах 5.7-1 и 5.7-2 приведены цифровые коды типов элементов, ко- торые приняты в вычислительном комплексе SCAD [15]. Данные коды ис- пользуются при описании результатов числовых экспериментов. Большое число тестовых задач приведено в [16]. |