Главная страница

Метод конечных элементов и задачи теории упругости. Карпиловский_FEM. В. С. Карпиловский Метод конечных элементов и задачи теории упругости


Скачать 5.35 Mb.
НазваниеВ. С. Карпиловский Метод конечных элементов и задачи теории упругости
АнкорМетод конечных элементов и задачи теории упругости
Дата22.06.2022
Размер5.35 Mb.
Формат файлаpdf
Имя файлаКарпиловский_FEM.pdf
ТипДокументы
#610414
страница18 из 32
1   ...   14   15   16   17   18   19   20   21   ...   32
Глава 5. Стержни
5.1. Гипотезы
К стержням относятся тела, у которых длина значительно больше его ши- роты и высоты. Тело стержня образуется движением плоского сечения вдоль линии, проходящей через его центр тяжести перпендикулярно к ней. Данная линия называется осью стержня. Сечение может быть переменным. В данной главе будем рассматривать только прямолинейные стержни, у которых осью служит прямая линия.
Классическая теория Эйлера – Бернулли основана на следующих предпо- ложениях:
гипотеза плоских сечений: поперечные сечения, плоские и перпендику- лярные к оси балки до деформации, остаются плоскими и перпендику- лярными к изогнутой оси после ее деформации
;
гипотеза ненадавливания: продольные волокна балки при ее изгибе не надавливают друг на друга
;
гипотеза отсутствия сдвигов: деформации сдвига настолько малы, что работой касательных напряжений для энергии деформации можно пре- небречь по сравнению с работой нормальных напряжений;
 изотропный материал подчиняется закону Гука.
В гипотезах Тимошенко вместо гипотезы отсутствия сдвигов:
 плоское поперечное сечение при изгибе поворачивается не только из-за изгиба ее оси, но и из-за поворота относительно этой оси. В исходных уравнениях вводится учет работы касательных напряжений и, следова- тельно, деформаций сдвига.
В вычислительных комплексах стержневой конечных элемент может рас- сматриваться как подконструкция. Возможна реализация:
 недеформируемых частей (жестких вставок);
 шарниров (ползунов) по любой из осей. Шарниры могут быть упругими;
 учет упругого основания.
Рис. 5.1-1.
Стержень
Считаем, что главные оси инерции стержня совпадают с осями системы координат XYZ, как изображено на рис. 5.1-1.

Глава 5. Стержни
143
5.2. Сжато‐растянутый стержень
Рассмотрим задачу о растяжении-сжатии прямолинейного стержня дли- ной a, изображенного на рис. 5.2-1, где х – продольная ось стержня, q(x) – ин- тенсивность распределенной вдоль оси стержня нагрузки, действующей в на- правлении x. На концы стержня действуют сосредоточенные силы P
0
и P
a со- ответственно.
Рис. 5.2-1
. Растянуто-сжатый стержень
Поле перемещений точек стержня:
u=u(x), v=w=0.
(5.2.1)
Получаем геометрические уравнения из (3.1.4):
0
,
,
d
u
d












x
y
z
xy
xz
yz
x
(5.2.2)
ε
x
– относительная продольная деформация, положительная при растяжении.
Из закона Гука (3.1.6) следуют физические уравнения:
0
,
E













x
x
y
z
xy
xz
yz
,
(5.2.3) где E – модуль Юнга.
Введем в точке x стержня осевое внутреннее усилие как интеграл по се- чению F:
( )
F
F
N
dF
EdF






x
x
x
,
(5.2.4)
N(x) – продольная сила, считающаяся положительной при растяжении стержня.
При E=const то получаем физическое уравнение:
( )
( )
N
EF


x
x
x
,
(5.2.5) где F(x) – площадь поперечного сечения стержня в точке х.
Дифференциальное уравнение равновесия:
( )
( ),
( )
( )
dN
d
d
q
EF
u
q
d
d
d




x
x
x
x
x
x
x
(5.2.6)
Статические краевые условия:
N(0) = P
0
; N(a) = –P
a
Кинематические краевые условия:
u(0) = u
0
; u(a) = u
a
Функционал Лагранжа, если заданы только нулевые кинематические краевые условия:
2 0
0 1
2
( )
( )
( )
( ) ( )
a
a
du
u
EF
d
q
u
d
d











x
x
x
x x x
x
(5.2.7)

144
Глава 5. Стержни
В матричной форме векторы напряжений
σ, деформаций ε и перемещений
u
состоят из одной компоненты каждый:
σ = { N }, ε = { ε
x
}, u = { u }.
(5.2.8)
Линейный матричный оператор A и матрица упругости C имеют вид в
(1.3.1) и (1.3.2):


  


d
dx
A
,


( ) ,
EF x


B
A
=
C
(5.2.9)
Степени свободы и аппроксимирующие функции
В узлах элемента определим по одной степени свободы:
u
i
, i=1,2.
(5.2.10)
Поле перемещений представим в следующем виде:
1 2
1
( )
(
)
,
u
u
u
a




 
x
x
(5.2.11)
5.3. Балка Бернулли
5.3.1. Уравнения
Рис. 5.3-1
. Изгибаемый стержень
Рассмотрим задачу об изгибе прямолинейного стержня длиной a, изо- браженного на рис. 5.3-1, где х – продольная ось стержня, оси y и z совпадают с главными осями инерции сечения, q
y
(x), q
z
(x) – распределенные вдоль осей стержня нагрузки по направлениям осей y и z. На концы стержня действуют перерезывающие силы и моменты M
y
(0), Q
z
(0), M
z
(0), Q
y
(0), M
y
(a), M
z
(a), Q
z
(a) и Q
y
(a).
Из гипотезы плоских сечений углы поворота поперечного сечения

y
,

z
и кривизны

y
,

z
стержня относительно осей y и z связаны с прогибами w и v следующими соотношениями:

Глава 5. Стержни
145 2
2 2
2
,
,
,
z
d
d
w
v
d
d
d
d
d
d
w
v
d
d
d
d






 




 
y
z
y
y
z
x
x
=
=
x
x
x
x
(5.3.1)
Поле горизонтальных перемещений u точек стержня по теории Эйлера –
Бернулли:
d
d
u
z
w
y
v
d
d
 

(x)
(x)
(x)
x
x
(5.3.2)
Получаем геометрические уравнения из (3.1.4):
2 2
2 2
0
,
z
d
d
y
w
v
d
d










 






x
y
y
z
xy
xz
yz
z
z
y
x
x
(5.3.3)
Из закона Гука (3.1.6) следуют физические уравнения:
0
,
x
x
y
z
xy
yz
E











(5.3.4) где E – модуль Юнга.
Введем в точке x стержня осевые внутренние усилия M
y
(x) и M
z
(x) – изги- бающие моменты вокруг осей OY и OZ:
2 2
( )
,
( )
F
F
x
F
F
M
z dF
EdF
M
dF
EdF




 
 



 


y
x
y
z
z
x
z
x
y
y
(5.3.5)
Если модуль упругости E=const, то получаем, что
( )
( )
,
( )
( )
y
y
y
z
z
z
M
EI
M
EI




x
x
x
x
,
(5.3.6) где I
y
(x) и I
z
(x) – моменты инерции сечения стержня относительно осей OY и
OZ.
Из уравнений равновесия (3.1.2) следует, что касательные напряжения

xy
и

xz
не равны нулю. Введем в точке x стержня осевые внутренние усилия
Q
y
(x) и Q
z
(x) поперечные силы в направлении осей OY и OZ:
( )
,
( )
F
F
Q x
dF Q x
dF


 
 


y
xy
z
xz
(5.3.7)
После интегрирования по площади сечения уравнений равновесия (3.1.2) следует:
( )
( ),
( )
( )
z
d
d
Q
M
Q x
M
d
d
 

y
z
y
x
x
x
x
x
.
(5.3.8)
Получаем дифференциальные уравнения равновесия:
( )
( ),
( )
( )
y
y
d
d
Q x
q
Q x
q
d
d




z
z
x
x
x
x
,
(5.3.9) которые можно записать в следующем виде:

146
Глава 5. Стержни
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
( )
( )
( )
( ),
( )
( )
( )
( ).
y
y
z
z
d M
d
d
d
Q
w
q
d
d
d
d
d M
d
d
d
Q
v
q
d
d
d
d

 






z
z
y
y
x
x
EI x
x
x
x
x
x
x
x
EI
x
x
x
x
x
x
(5.3.10)
Статические краевые условия:
M
y
(0) = –M
y,0
, Q
z
(0) = –Q
z,0
,
M
y
(a) = M
y,a
, Q
z
(a) = Q
z,a
,
M
z
(0) = –M
z,0
, Q
y
(0) = –Q
y,0
,
M
z
(a) = M
z,a
, Q
y
(a) = Q
y,a
(5.3.11)
Кинематические краевые условия: v(0) = v0, v(a) = va,

z
(0) =
z,0, 
z
(a) =
z,a , w(0) = w0, w(a) = wa,

y
(0) =

y,0
,

y
(a) =

y,a
(5.3.12)
Функционал Лагранжа при нулевых краевых условиях:


2 2
2 2
2 2
0 0
1 2
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
a
z
y
a
d v
d w
w
d
d
d
q
v
q
w
d

























 
y
z
x
x
x
EI
EI
x
x
x x
x
x
x
(5.3.13)
В матричной форме векторы напряжений
σ
, деформаций εи перемеще- ний u на оси стержня состоят из двух компонент каждый:
 
,
,
y
y
z
z
M
v
w
M




 





 


 
σ
ε
u
(5.3.14)
Линейный матричный оператор A и матрица упругости C имеют вид в
(1.3.1) и (1.3.2):
2 2
2 2
0 0
d
d
d
d





 








x
x
A
,
0 0
( )
( )
z
EI
EI


 



у
x
x
С
,
B A
=
(5.3.15)
5.3.2. Учет сдвиговых деформаций
Рассмотрим стержень, изображенный на рис. 5.3-1. Будем считать, следуя
[59, 71], что существуют следующие зависимости для полных вертикального и горизонтального прогибов и углов поворота:
( )
( )
( ),
( )
( )
( ),
,
,
d
s
d
s
d
d
w
w
w
v
v
v
d
d
w
v
d
d






 

y
z
x
x
x
x
x
x
x
x
(5.3.16)

Глава 5. Стержни
147
где:
w
d
и v
d
– прогибы от изгиба, удовлетворяющие уравнениям равнове- сия (5.3.10);
w
s
и v
s
– прогибы от сдвига.
Если считать, что сдвиги по высоте поперечного сечения стержня распре- делены равномерно и сечение не испытывает депланации, то между углами сдвига

xz
,

yz и перерезывающими силами Q
z
(x), Q
y
(x) существуют зависимо- сти:
1 1
,
s
s
z
dw
dv
Q
Q
d
GF
dx
GF


 



xz
xy
y
y
z
x
(5.3.17)
Учитывая (5.3.8), получаем:
3 3
3 3
,
s
d
s
d
EF
dw
d w
dv
d v
EF
d
GF
d
GF
d
d

 

 
y
z
xy
y
z
x
x
x
x
(5.3.18)
Функционал Лагранжа при нулевых краевых условиях:


2 2
2 2
2 2
0 2
2 0
0 1
2 1
2
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
a
d
d
z
y
a
s
s
z
y
a
d v
d w
w
d
d
d
dv
dw
d
d
d
q
v
q
w
d






















































y
z
x
x
x
EI
EI
x
x
x
x
x
GF
GF
x
x
x x
x
x
x
(5.3.19)
5.3.3. Преднапряжение и сдвиг
Пусть в начальном состоянии в сечении стержня действует положитель- ная при растяжении ненулевая нормальная сила N(x). Она возникает, напри- мер, в железобетонном стержне при предварительно натянутой арматуре. То- гда уравнения равновесия (5.3.10) примут вид:
2 2
2 2
2 2
2 2
( )
( )
( ),
( )
( )
( ).
y
z
d
d
d
d
w
w
q
d
d
d
d
d
d
d
d
v
v
q
d
d
d
d




z
y
EI x
N(x) x
x
x
x
x
x
EI x
N(x) x
x
x
x
x
x
(5.3.20)
Вектор перемещений u, линейный матричный оператор A и матрицу уп- ругости D в (1.3.1) и (1.3.2) запишем в следующем виде:
2 2
2 2
0 0 0
0
T
d
d
d
d
d
d
d
d





 








x
x
x
x
A
,
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
( )
( )
( )
( )
z
EI
N
EI
N




 







у
x
x
x
x
D
(5.3.21)

148
Глава 5. Стержни
Функционал Лагранжа при нулевых краевых условиях:
   


2 2
2 2
2 2
2 2
0 0
1 2
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
a
z
y
a
d v
d w
dv
dw
d
N
d
d
d
d
q
v
q
w
d
w






 



























y
z
x
x
x
x
x
EI
EI
x
x
x
x
x x
x
x
x .
(5.3.22)
Если необходимо учесть сдвиг, то согласно [44], достаточно в (5.3.20)–
(5.3.22) заменить жестости
y
EI
и
z
EI на:
1 1
(
),
(
)
s
s
y
y
z
z
y
z
N
N
GF
GF




EI
EI
EI
EI
(5.3.23)
5.3.4. Степени свободы и аппроксимирующие функции
В узлах элемента определим четыре степени свободы – два перемещения по соответствующим осям и углы поворота вокруг них:
,
,
,
i
i
yi
zi
v w


, i=1,2.
(5.3.24)
Поле перемещений представим в следующем виде:
1 11 1 14 2 21 2 24 1 12 1 13 2 22 2 23
( )
,
( )
,
v
v
v
w
w
w

 

 

 

 








z,
z,
y,
y,
x
x
(5.3.25) где первый индекс при

– номер узла, второй – порядковый номер степени свободы в (5.3.24).
Рассмотрим невязку:
12 13 22 23 0
0
( )
( )
( )
( )
( )
( )
y
y
w
w
w a
a












x
x
(5.3.26)
Разложив w(x) в ряд, учитывая (5.3.1), получим:
2 2
3 3
0 0
0 2
3 2
2 3
12 13 0
22 0
0 0
2 3
2 2
3 3
23 0
0 0
2 3
0 2
6 0
2 0
2 6
( )
( )
( )
( )
dw
d w
d w
w
d
d
d
dw
dw
d w
a d w
w
a
d
d
d
d
dw
a d w
a d w
w
a
d
d
d








































x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
x
x
x
x
x
x
x
(5.3.27)
Тождества критерия полноты третьего порядка для w получаем, прирав- няв соответствующие коэффициенты при членах ряда:
12 22 22 13 23 2
2 22 23 3
3 22 23 1
2 3
,
,
a
a
a
a
a


















x,
x
x
(5.3.28)
Аналогично для v:

Глава 5. Стержни
149 11 21 21 14 24 2
2 21 24 3
3 21 24 1
2 3
,
,
a
a
a
a
a


















x,
x
x
(5.3.29)
Первые два тождества в (5.3.28) и (5.3.29) являются условиями равнове- сия стержня как жесткого тела.
Рассматривая систему тождеств (5.3.28) и (5.3.29) как системы уравнений, получаем аппроксимирующие функции, удовлетворяющие всем условиям
МКЭ:
11 1
14 2
21 3
24 4
13 2
12 1
22 3
23 4
( )
( , ),
( )
( , ),
( )
( , ),
( )
( , ),
( )
( , ),
( )
( , ),
( )
( , ),
( )
( , ),

  

  

  

  

  

  

  

  

 

 




x
x
x
x
x
x
x
x
(5.3.30) где
2 3
2 3
1 3
2 3
2 3
2 4
1 3 2
3 2
2
( )
,
( )
( )
(
),
( )
(
)
x
x
a
a













 



 




x
x
,
a

x .
(5.3.31)
Функции (5.3.31) являются решениями соответствующего однородного уравнения равновесия (5.3.10), если EI
y
=const и EI
z
=const.
При наличии сдвига или преднапряжения функции (5.3.31) уже не будут решениями уравнений равновесия. По теореме 2.4.1 для получения точных значений перемещений узлов и усилий в элементах желательно использовать аналитические решения соответствующих однородных уравнений.
Чистый сдвиг: N=0 и GF
y
0, GF
z
0.
С учетоми уравнений (5.3.16) и (5.3.18) решения для однородных уравне- ний равновесия (5.3.10) имеют вид [59, 71]:
2 3
1 2
3 4
2 4
5 4
5 2
3 2
1 5
2 3
4 2
3 1
2 3
4 2
4 5
4 5
2 3
2 1
5 2
3 4
6 6
,
,
(
),
,
,
(
),
d
y
s
y
d
z
s
z
w
C
C
C
C
EI
w
C
a C
GF
w C
C
C
C
C
a
v
B
B
B
B
EI
v
B
a
B
GF
v B
B
B
B
B
a




 


 
 
 




 


 
 
  



x
x
x
x +C
x +C
x
x
x
x
x
x
x
xB +
xB +
x
x
x
x
(5.3.32) где
2 2
6 6
,
y
z
y
z
EI
EI
a GF
a GF




Получим аппроксимирующие функции (5.3.25) для чистого сдвига:

150
Глава 5. Стержни








2 3
11 21 11 2
3 12 22 12 2
3 13 23 12 13 2
3 14 24 21 14 1
1 1
2 3
2 1 2 1
1 1
2 3
2 1 2 1
2 1 2 1
2 1 2
,
,
,
,
,
,
(
)
(
)
,
(
)
(
)
a
a
a
a
a
a



















  








  



 
 



 
 



 




 











(5.3.33)
1 12 1 13 2 22 2 23 1 11 1 14 2 21 2 24
( )
,
( )
s
y
y
s
z
z
w
w
w
v
v
w

 

 

 

 








x
x
(5.3.34)
11 14 24 12 13 23 21 22 2
1 2 1 2 2
1 2 1 2 2
2 1 2 1 2
,
,
,
,
,
a
a






















 




 








Cдвиг и обжатие: N
0.
Воспользуемся решениями однородных уравнений равновесия (5.3.20)
[43]:
1 2
3 4
1 2
3 4
2 2
2 2
( )
(
)
(
),
( )
(
)
(
).
v
C
C
C c
C s
w
B
B
B c
B s




 


 


x
x
x
x
(5.3.35) где
2 2
,
y
z
a
a
N
N
EI
EI




,


0 0
0 0
cos( ),
sin( ),
( )
,
( )
( ),
s ( ),
c
ch
h




x N
x N
x
s x
x N >
x N >
При учете сдвига подставляем в (5.3.35) величины и из (5.3.23).
Решив соответствующие системы уравнений (2.1.8), получим в (5.3.30) вместо функций (5.3.31) функции:








1 1
2 1
1 2
2 2
2 2
1 2 2
2 1 2
2 2
4 2
2 2
1
( , )
,
( )
( )
(
)
( ) (
)
( ( )
)
(
)
( )
(
)
( )
( ) (
)
( , )
,
( )
( ( )
)
(
)
(
)
t
c
s
t
c
t
t
sign N
c
a sign N
sign N s
t
t
c
t
  


  











  


 





















 









3 13 4
3 2
1
( , )
( ),
( , )
( , )
( , )
a
a
  

  
     

 



x
,
(5.3.36)

0 0
t ( ),
( )
( ),
g
t
th





N
N >
Функции (5.3.36) удовлетворяют только первым двум тождествам крите- рия полноты (5.3.28) – условиям равновесия стержня как твердого тела.
При учете сдвига подставляем в (5.3.36) величины и из (5.3.23).

Глава 5. Стержни
151
В связи с трансцендентностью функций и сложностью построения
(5.3.36) приведем матрицу жесткости элемента:
8 1
,
r
r
ij
i j
K

 
  
K
,
(5.3.37) учитывая, что
2 2
2 2
4 4
( )
( )
y
z
N
EI sign N
EI sign N
a
a




,








22 66 26 22 23 27 36 67 23 1
33 77
=
=
=
=
=
2
=
=
,
2 2
1
=
=
( )
,
( )
( )
(
)
,
( )
z
a
t
t
t
t
EI
a
t






 











k
k
N,
k
k
k
k
N,
k
k
k
k
k








11 55 15 11 14 18 36 67 14 1
33 77
=
=
=
=
=
2
=
=
,
2 2
1
=
=
( )
,
( )
(
)
,
( )
y
a
t
t
t
t
EI
a
t





 










k
k
N,
k
k
k
k
N,
k
k
k
k
k




1 28 1 2 2
(
)
( )
z
s
EI
a
t









k
,




1 28 1 2 2
2
(
)
(
)
( )
y
s
EI
a
s
t










k
. (5.3.38)
При отсутствии продольной силы в стержне (N=0) имеем в (5.3.38) не- определенности в силу вырождения соответствующих выражений.
5.4. Балка Тимошенко
Рассмотрим опять задачу об изгибе прямолинейного стержня длиной a, изображенного на рис. 5.3-1.
Горизонтальные перемещения u точек стержня по теории Тимошенко:
y
z
z
y




u(x)
(5.4.1)
Тогда геометрические уравнения (3.1.4):
0
,
,
,
,
z
xz
y
xy
z
y
d
d
w
w
d
d



















x
y
y
z
yz
z
x
x
(5.4.2) где параметры изгибной деформации:
,
z
z
y
d
d
d
d




 

y
x
x
(5.4.3)
Из закона Гука (3.1.6) следуют физические уравнения:
0
,
x
x
y
z
yz
E









(5.4.4)
Моменты (5.3.5) выражаются через параметры изгибной деформации
(5.4.3) соотношениями (5.3.6).
Считается, что перерезывающие силы Q
y
и Q
z
пропорциональны сдвигам

xz
и

xy
:
,
z
Q
GF
GF




z
y xz
y
xy
Q
,
(5.4.5)

152
Глава 5. Стержни где G – модуль сдвига, а F
y
и F
z
называются площадями сдвига и имеют раз- мерность площади.
Перерезывающие силы и моменты связаны соотношениями (5.3.8).
Система дифференциальных уравнений равновесия Эйлера:
0 0
( ),
,
( ),
,
y
y
y
z
z
z
d
Q
q
d
d
Q
M
d
d
Q
q
d
d
Q
M
d






 

z
y
x
x
x
x
x
x
или



 




 

0 0
( ),
,
( ),
z
y
z
z
z
z
z
y
z
y
y
y
y
y
d
d
GF
q
v
d
d
d
d
d
GF
v
d
d
d
d
d
GF
q
w
d
d
d
d
d
GF
w
d
d
d































x
x
x
EI
x
x
x
x
x
x
EI
x
x
x
(5.4.6)
Статические и кинематические краевые условия совпадают с(5.3.11) и
(5.3.12).
Функционал Лагранжа при нулевых краевых условиях:
2 2
0 0
2 2
0 0
1 2
1 2
( )
( ) ( )
( ) ( )
a
a
z
y
y
y
y
a
a
y
z
z
z
z
d
d
u
d
q
w
d
EI
GF
w
d
d
d
d
d
q
v
d
EI
GF
v
d
d





















































x
x
x x
x
x
x
x x x
x
x
(5.4.7)
В матричной форме векторы напряжений
σ
, деформаций εи перемеще- ний u на оси стержня:
,
,
xy
y
xz
z
y
y
y
z
z
z
Q
v
w
Q
M
M










 




 
 







 




 




 




 




u
ε
σ
(5.4.8)
Оператор геометрии A, оператор равновесия B

–A
T
и матрица упругости
С в (1.3.1), (1.3.2) и (1.3.3):
0 0 1
0 1
0 0
0 0
0 0
0
d
d
d
d
d
d
d
d









 










x
x
x
x
A
,
z
y
y
z
GF
GF




 







EI
EI
С
,
0 0
0 0
0 0
0 1
0 1
0 0
d
d
d
d
d
d
d
d










 











x
x
x
x
B
. (5.4.9)
Степени свободы и аппроксимирующие функции
В узлах элемента определим степени свободы (5.3.24), которым соответ- ствует система аппроксимирующих функций


,
,
,
,
,
,
,
y
z
T
ij
v ij
w ij
ij
ij







φ
,
i=1,2, j=1,2,3,4.
(5.4.10)

Глава 5. Стержни
153
Будем считать, что
1 4
1 4
2 3
2 3
0 0
,
,
,
,
,
,
,
,
y
y
z
z
w i
w i
i
i
v i
v i
i
i




















,
i=1,2.
(5.4.11)
Рассмотрим невязку по w и

y
:
12 13 13 22 23 22 0
0 0
0
,
,
,
,
,
,
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
w
y
w
w
y
w
y
w
w
w a
a






















ζ
φ
φ
φ
φ
x
x
x
(5.4.12)
Считаем, что
EI
y
=
const и GF
y
=
const.
Из уравнений равновесия (5.4.6):
2 3
2 3
1 1
...,
z
y
y
z
z
z
z
d
d
d
d
w
w
w
d
d
d
d





 

 



GF
x
x
EI
x
x
. (5.4.13)
Подставив (5.4.13) в (5.4.12) и разложив в ряды w(x), получим:
2 2
3 3
0 0
0 2
3 2
2 3
0 0
0 2
3 3
12 13 0
0 3
2 2
3 3
0 0
0 2
3 0
0 2
6 1
2 0
1 0
0 2
6
( )
( )
( )
( )
z
z
dw
d w
d w
w
d
d
d
dw
d w
d w
d
d
d
dw
d w
w
d
d
dw
d w
a d w
w
a
d
d
d
























 



































ζ
φ
φ
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
a
x
x
x
22



φ
2 2
3 23 0
0 0
2 3
1 2
z
dw
d w
d w
d
d
d



















φ
x
x
x
a
+
+a
x
x
x
(5.4.14)
Восемь тождеств критерия полноты третьего порядка получаем, прирав- няв соответствующие коэффициенты при членах ряда:
 четыре тождества критерия полноты 1-го порядка являются условиями равновесия стержня как жесткого тела:
12 22 12 22 22 13 23 22 13 23 1
0 1
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
;
y
y
y
y
y
w
w
w
w
w
a
a
























 
x,
(5.4.15)
 два тождества критерия полноты 2-го порядка:
2 2
2 22 23 22 23 2
2 2
,
,
,
,
y
y
w
w
a
a
a
a









 
x ,
x
(5.4.16)

154
Глава 5. Стержни
Тождества (5.4.16) обеспечивают выполнение тестов на постоянные мо- менты. Именно их невыполнение приводит к так называемому режиму запи- рания, когда для тонких стержней решение не сходится к аналитическому;
 два тождества критерия полноты 3-го порядка:
3 3
2 22 13 23 3
2 2
22 13 23 1
1 6
6 2
1 1
1 6
2 2
,
,
,
,
,
,
y
y
y
w
w
w
z
z
z
z
z
a
a
a
a




























 






x ,
x
(5.4.17)
Если сравнить (5.4.15) и (5.4.16) с (5.3.28), то увидим, что они совпадают.
Совпадут и тождества (5.4.17), если выполнено условие
13 23 1
,
,
y
y






(5.4.18)
Зададим функции вида (5.4.10):
 
12 13 22 23 12 22 13 23 13 1
0 1
2
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
y
y
w
w
w
w
w
a
a
a














 




 
 

x
x
x
x
(5.4.19)
Функции (5.4.19) удовлетворяют тождествам критерия полноты 2-го по- рядка (5.4.15) и (5.4.16). Потому при их использовании отсутствует эффект запирания. Они не зависят от жесткостных характеристик
1
Можно повысить точность вычислений. Все восемь тождеств критерия полноты третьего порядка являются системой уравнений для определения соответствующих функций (5.4.10). Получаем:


1 1
0 2
6 0 12
,
(
)
,
, ,
ij
ij
ij
T
c
a
a
a





φ
ψ
χ
χ
x
x
x
, i=1,2, j=2,3,
(5.4.20) где
– функции (5.4.19),
12 22 12 13 23 12 2
12 1
2 12
,
,
z
z
c
c
c
ac
a



 

 

c
c
(5.4.21)
Функции (5.4.20) являются решениями системы однородных уравнений равновесия для w при EI
y
=const и GF
y
=const. Они приведены, например, в
[48, 119].
Аналогично получаем для аппроксимаций, соответствующих v:
2 3
2 3
1 1
...,
y
z
z
y
y
y
y
d
d
d
d
v
w
v
d
d
d
d











GF
x
x
EI
x
x
;
(5.4.22)
 четыре тождества критерия полноты 1-го порядка, которые являются ус- ловиями ,равновесия стержня как жесткого тела:
1
Их можно применять как при переменных жесткостях, так и в случае, напри- мер, наличия упругого основания.

Глава 5. Стержни
155 11 21 11 21 21 14 24 21 14 24 1
0 1
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
;
z
z
z
z
z
v
v
v
v
v
a
a

























x,
(5.4.23)
 два тождества критерия полноты 2-го порядка:
2 2
2 21 24 21 24 2
2 2
,
,
,
,
;
z
z
v
v
a
a
a
a










x ,
x
(5.4.24)
 два тождества критерия полноты 3-го порядка:
2 3
3 21 14 24 2
3 2
21 14 24 1
1 2
6 6
1 1
1 2
6 2
,
,
,
,
,
,
z
z
z
v
v
v
y
y
y
y
y
a
a
a
a



































x ,
x
(5.4.25)
Получаем функции, соответствующие v:
2
,
ij
ij
ij
c


φ
ψ
χ , i=1,2, j=1,4,
(5.4.26) где:


2 2 0 0 6 12
(
)
T
a
a
a



χ
x
x
x, , ,
, i=1,2, j=1,4,
 
11 14 21 24 11 21 14 24 14 1
0 1
2
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
z
z
z
z
v
v
v
v
v
a
a
a














 





 

x
x
x
x
11 21 11 14 24 11 2
12 1
2 12
,
,
y
y
c
c
c
ac
a



 



c
c
5.5. Кручение
Рассматривается стержень постоянного сечения, изображенный на рис. 5.5-1 под действием крутящих моментов m
x
(x). Cчитаем, что в попереч- ных сечениях возникает только один силовой фактор – крутящий момент М
х
На концы стержня действуют вращающие моменты M
x
(0) и M
x
(a).
Рис. 5.5-1.
Кручение стержня
На нейтральной оси:
u=v=w=0.
(5.5.1)
Геометрические уравнения:
0
(
)
,
,
d
d














yz
x
x
y
z
xy
xz
x,y,z
x
(5.5.2)

156
Глава 5. Стержни где

x
– угол поворота сечения вокруг нейтральной оси;

– расстояние точки сечения до нейтральной оси.
Из закона Гука следуют физические уравнения:
0
,
G













yz
yz
x
y
z
xy
xz
(5.5.3)
Вводится в точке x стержня осевое внутреннее усилие как интеграл по се- чению F – крутящий момент:
2
( )
кр
F
F
d
d
M
dF
GdF
GI
d
d









x
yz
x
x
x
x
x
,
(5.5.4) где I
кр
– полярный момент инерции сечения стержня.
Дифференциальное уравнение равновесия:
( )
( ),
( )
( )
кр
dM
d
d
m
GI
M
m
d
d
d




x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
(5.5.5)
Статические краевые условия:
М
х
(0) =
М
х,0
;
М
х
(a) = –
М
х,a
Кинематические краевые условия:

x
(0) =

х,0
;

x
(a) =

х,a
Функционал Лагранжа, если заданы только кинематические краевые ус- ловия:
2 0
0 1
2
( )
( )
( )
( ) ( )
a
a
x
x
кр
d
GI
d
m
d
d

 











x
x
x
x
x
x
x x
x
(5.5.6)
В матричной форме векторы напряжений
σ, деформаций ε и перемещений
u
состоят из одной компоненты каждый:
σ = {
М
х
}, ε = {

yz
}, u = {

x
}.
(5.5.7)
Линейный матричный оператор A и матрица упругости С имеют вид в
(1.3.1) и (1.3.2):


  


d
dx
A
,
( )


 

кр
GI
x
С

B
A
=
(5.5.8)
Степени свободы и аппроксимирующие функции
В узлах элемента определим по одной степени свободы:

x,i
, i=1,2,
(5.5.9)
Поле обобщенных перемещений представим в следующем виде:
1 2
1
,
,
( )
(
)
,
a


  


 

x
x
x
x
x
(5.5.10)
5.6. Пространственный стержень
Рассмотрим прямолинейный стержень, изображенный на рис. 5.1-1, у ко- торого оси x, y и z совпадают с главными осями инерции сечения.
Стержень находится одновременно под действием:
 растяжения/сжатия;
 изгиба в двух плоскостях (балка Бернулли или стержень Тимошенко);
 кручения вокруг собственной оси.

Глава 5. Стержни
157
Считаем заданные воздействия независимыми.
В узлах элемента определим шесть степеней свободы – три перемещения по соответствующим осям и углы поворота вокруг них:
,
,
,
,
,
u v w



i
i
i
xi
yi
zi
, i=1,2 .
(5.6.1)
Строим матрицу жесткости элемента:
12 1
,
r
r
ij
i j
K

 
  
K
(5.6.2)
Для этого вычисляем элементы матриц жесткости частных случаев на- гружений и делаем их рассылку в (5.6.2) в соответствии с новой нумерацией степеней свободы узлов (5.6.1).
5.7. Тесты
Для проверки реализации конечного элемента стержня в вычислительном комплексе используются тесты, связанные с проверкой:
 смешения как жесткого тела;
 постоянных продольной силы, моментов, перерезывающих сил.
Таблица
5.7-1. Типы стержневых элеметов по гипотезе Бернулли
Тип элемента
Степени свободы
Описание стерженя
1
u, v
плоской фермы
2
u, v,
y
плоской рамы
3,7
w,
x
,
y
балочного ростверка
4
u, v, w пространственной фермы
5,6
u, v, w,
x
,
y
,
z
пространственный
10 по параметру универсальный
Таблица
5.7-2. Типы стержневых элеметов по гипотезе Тимошенко
Тип элемента
Степени свободы
Описание стерженя
102
u, v,
y
плоской рамы
103
w,
x
,
y
балочного ростверка
105
u, v, w,
x
,
y
,
z
пространственный
110 по параметру универсальный
Согласно теореме 2.4.1, если в расчетной схеме все одномерные элементы используют в качестве аппроксимирующих функций решения однородных уравнений равновесия, то в результате получаем для соответствующих тесто- вых задач точные аналитические решения.

158
Глава 5. Стержни
В таблицах 5.7-1 и 5.7-2 приведены цифровые коды типов элементов, ко- торые приняты в вычислительном комплексе SCAD [15]. Данные коды ис- пользуются при описании результатов числовых экспериментов.
Большое число тестовых задач приведено в [16].

Глава 6. Тонкие плиты
159
1   ...   14   15   16   17   18   19   20   21   ...   32


написать администратору сайта