Метод конечных элементов и задачи теории упругости. Карпиловский_FEM. В. С. Карпиловский Метод конечных элементов и задачи теории упругости

• Название: В. С. Карпиловский Метод конечных элементов и задачи теории упругости
• Анкор: Метод конечных элементов и задачи теории упругости
• Дата: 22.06.2022
• Размер: 5.35 Mb.
• Имя файла: Карпиловский_FEM.pdf
• Тип: Документы; #610414
• страница: 15 из 32

4.5. Элементы с квазивращательными степенями сво‐
боды (QRDF)
4.5.1. Трехузловой элемент
(QRDF3)
Рассмотрим треугольник, изображенный на рис 4.5-1. Заменой координат
(4.5.1) он преобразуется к прямоугольному треугольнику с единичными кате- тами, изображенному на рис. 4.4-1б.
Рис. 4.5-1.
Трехузловой элемент

110
Глава 4. Плоская задача теории упругости
1
(
),
,
b
a
c
c




 y
x
y
(4.5.1)
1 1
,
b
a
ac
c









 






x
y
,
 
 
 
12 13 23 13 23 0
1 1
1
,
,
c
c
b
a b
a
a






n
n
n
,
a
ij
– длины соответствующих сторон.
Условиям (4.3.6) удовлетворяет следующая аппроксимация перемещений:
1 2
3 3
2 1
3 1
2 3
2 1
3 2
1 3
1 1
2 2
1 1
2 1
2 2
(
) (
)
(
)
(
) (
)
(
) (
)v
(
)(
)
(
(
)(
).
c
c
u
u
u
u
a
v
v
v
a b
b
 


  
    
 



   
  

   
  





 

  



 





 

x,y
x,y
)
(4.5.2)
Т.е., функции системы (4.3.6) имеют вид [98]:
,
r
i j
φ
, j=1,2 – совпадают с линейными аппроксимациями (4.4.5);
 




13 23 33 1
2 1
2 1
1 2
с
,
,
(
)
(
)
(
)
r
r
r
a
b
с
a
b
c
a
b

 











 





 




φ
φ
φ
(4.5.3)
Функции (4.5.3) могут привести к геометрической изменяемости систем уравнений, если не заданы закрепления дополнительных степеней свободы.
Для условий (4.3.7) получаем c использованием полиномов 3-й степени
[117]:










1 2
1 2
3 2
1 3
3 1
1 3
2 1
2 3
2 3
( ) ...
(
)
( ) (
)
( ) (
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
  
 
 
 


 












u x
μ x
μ x
μ x
μ x
μ x
μ x
μ x
μ x
μ x
,
(4.5.4)
 
 
 
1 2
3 0
1 1
1 2 2
1 2
1 1
2 1
2
( )
(
)(
),
( )
(
),
( )
(
) (
).
a
c
a b
b

 
 
  
   

 
 







 


μ x
μ x
μ x
c
(4.5.5)
Тогда в (4.3.8):
3
,
i
i

χ

, i=1,2,3 – функции (4.5.3),

Глава 4. Плоская задача теории упругости
111


1 2
2 2
2 2
3 2
2 2
1 1
1 2 1
2 2
2 1 3 2
2 2
2 1 2 3
2 2
2 2
1 2 3
2 2
2
с (
)]
,
(
)
(
)
(
]
,
(
)
(
)]
(
)
(
)
(
)
a
b
с
a
b
c
a
b
 

 

 



  




 
  
 

 

  
 

 



 



 
 



 

 










  






 

   








ζ
ζ
ζ
(4.5.6)
4.5.2. Четырехузловой изопараметрический элемент
(QRDF4IP)
Рис. 4.5-2. Четырехугольный элемент
 
 
 
 
12 24 34 13 24 34 13 0
1 1
1 1
,
,
,
e
c e
c
a d
d b
b
a
a
a









n
n
n
n
Рассмотрим выпуклый четырехугольный конечный элемент, который изображен в местной системе координат на рис. 4.5-2. Заменой системы ко- ординат (4.4.32) с использованием функций (4.4.10) он преобразуется к еди- ничному квадрату.
Условиям (4.3.6) удовлетворяет следующая аппроксимация перемещений:
12 12 24 24 2
1 4
2 13 13 34 3
4 1
3 1
1 1
2 2
1 1
1 2
( ) ...
(
)(
)(
)
(
)(
)
(
) (
)
(
) (
)(
).
a
a
a


  

  

   
 
  
 













n
n
u x
n
n
(4.5.7)
1 1 2 2 3 3 4 4 1
3 4
2 3
4 1
1 2
1 1
2 2
(
)
(
)(
)(
)
(
) (
)
(
) (
),
c
u
u
u
u
u
e
c e






  

   

   















x,y
1 1 2 2 3 3 4 4 1
3 2
1 4
2 3
4 1
1 2
1 1
1 1
2 2
2
(
)
(
)(
)(
)
(
)(
)(
)
(
) (
)
(
) (
).
b
v
v
v
v
v
a
a d
d b






  


  

   

   




















x,y
Т.е. функции системы (4.3.6) имеют вид [99]:
,
r
i j
φ
, j=1,2 – совпадают с полилинейными аппроксимациями (4.4.10),

112
Глава 4. Плоская задача теории упругости
 






13 23 33 43 1
1 2
1 1
2 1
1 1
2 1
1 1
1 2
(
)(
)
,
(
)
,
(
) (
)
(
) (
)
(
)
,
(
)
(
)
(
) (e c)(
)
(
)(
) (
)(
)
r
r
r
r
c
b
a
e
a
d a
c
d b
b
e
b d
a d












 















   
  





  



  

φ
φ
φ
φ
c e
(4.5.8)
Иногда добавляют еще две функции:

 

1 2
1 1
0 0
1 1
(
) (
)
,
(
) (
)

  

  






Ψ
Ψ
(4.5.9)
Если потребовать выполнения условий (4.3.7), то получаем:
1 2
1 2
4 2
3 4
3 1
3 4
( ) ...
(
) ( ) (
)
( ) (
)
( )
(
)
( )
(
),
  
 
 
 
 







u x
μ x
μ x
μ x
μ x
(4.5.10)
 
 
 
 
1 2
3 4
0 1
1 1
1 1 2 1
1 2 2
2 1
1 1
1 2 1
1 1 2 2
2
( )
(
)(
)(
),
( )
(
) (
),
( )
(
) (
),
( )
(
)(
)(
).
e
a
a d
c e
c
d b
b





 


 





 

















μ x
μ x
μ x
μ x
(4.5.11)
Тогда в (4.3.8) [117]:
3
,
i
i

χ
ψ
, i=1,2,3,4 – функции (4.5.8),


1 1 2 1
1 1 2 1 2 2
(
)
(
)(
)
( )
,
(
)
(
)
c
b
a
















ζ x


2 1 2 1
1 1 2 1 2 2
(
)
(
)
( )
,
(
)(
) (
) (
)
e
a
d a














 

ζ x


3 1
1 2 1 2 1
1 2 1
1 2 2
(
)(
) (
) (
)
(
)
( )
,
(
) (
)
(
)(
))
c
c ‐ e
d b
b




 










 




ζ x


4 1
1 2 1
1 2 1
1 2 1
1 2 2
(
)(
) (
)(
)(
)
( )
(
)(
)(
) (
)(
)(
)
e
e c
b d
a d











 






 


ζ x
(4.5.12)
4.5.3. Четырехузловой элемент
(QRDF4SA)
Рассмотрим выпуклый четырехугольный конечный элемент, который изображен на рис. 4.4.8a. Линейным преобразованием (2.12.1) он преобразу- ется в четырехугольник, представленный на рис. 4.4-8б. Тогда в соответствии с условиями (4.3.6) можно записать [117]:

Глава 4. Плоская задача теории упругости
113 7 1 3
5 4
2 6
3 4
8 8
8
( , ) ...
(
)
(
)
(
)
c
e
c e
u x y
  
  
  

 





,
(4.5.13)
7 1 3
8 2
1 5
4 2
6 3
4 8
8 8
8
( , ) ...
(
)
(
)
(
)
(
)
b
a
a d
d b
v x y
  
  
  
  


 







, где:

i
, i=1,2,3,4 – функции системы (4.4.23),

i
, i=5,6,7,8 –(4.4.24).
Получаем, что функции, соответствующие квазивращательной степени свободы узла, имеют вид
1
:








7 13 7
8 5
23 8
5 7
6 33 6
7 5
6 43 6
5 1
8 1
8 1
8 1
8
,
,
(
)
( ‐ )
,
(
)
(
)
(
)
(
)
r
r
r
r
c
b
a
e
a
d a
c
c e
d b
b
e
e ‐ c
b d
a d


















   







 
φ
φ
φ
φ
(4.5.14)
Для выполнения условий (4.3.7) воспользуемся полиномами третьей сте- пени в представлении в (4.5.10):
 
 
 
 
1 8
2 5
3 6
4 7
0 1
8 1
2 1
2 1
2
( )
(
),
( )
(
),
( )
(
),
( )
(
).
B
a
e
a d
A
d b
A
B
b
 

  
 
















μ x
μ x
μ x
μ x
c e
c
(4.5.15)
Тогда в (4.3.8):
3
,
i
i

χ
ψ
, i=1,2,3,4 – функции (4.5.14),








7 1
7 8
5 2
8 5
7 6
3 6
7 5
6 4
6 5
1 8
1 8
1 8
1 8
(
)
,
(
)
(
)
(
)
,
(
) (
)
(
)
(
) (
) (
)
,
(
) (
)
(
)
(
) (e c) (
)
(
) (
) (
) (
)
c
A
B
b
A
B
a
B
e
a
B
d a
c
A
B
A
d b
A
b
A
B
e
A
b d
A
a d
  
  
  
  
  
  
  
 

 

  
  
 

 

  







 
  



 






  

  

 

ζ
ζ
ζ
ζ
c e
(4.5.16)
1
Если изопараметрический элемент использует для аппроксимаций полиномы третьей степени, то на каждой из подобластей мы имеем полиномы второй степени.

114
Глава 4. Плоская задача теории упругости
4.6. Несовместные элементы (DDFIC)
4.6.1. Алгоритм построения несовместных элементов
Применим алгоритм, изложенный в разд. 2.11, к рассматриваемой задаче.
Построим систему функций


3 2
0 1 2
,
( ),
( )
,
( ) (
, )
,
, ,
nk
n
n
i
r
r
r
r
r
n







λ x
λ x
λ
λ
i
i
i
i
L
k
L
i
R
, (4.6.1) удовлетворяющую уравнениям критерия несовместности (2.7.3), которые примут следующий вид:
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
или
0 0
0 0
,
r
r
r
r
i
i
d
d
































 
 




 
 




 
 




 
 








 
 












λ
λ
x
y
x
y
(4.6.2)
Если функции

x
не удовлетворяют уравнениям (4.6.2), откорректиру- ем их:
4 1
) ,
( )
( )
(
( )
r
r
r
r
i
i
ik
k
k
r
b


 


λ x
λ x
x
μ
i

,
(4.6.3) где функции

x , k=1,2,3,4 – функции с равными нулю значениями всех рассматриваемых степеней свободы:


0,
4 1 3 1 3 2
2
=
( ), k
, , , ,
( )
( )
,
, ,
ij
r
r
k
k
r
j



x
x
μ
μ
i
L
(4.6.4)
Коэффициенты в (4.6.3) найдем из систем уравнений (4.6.2).
Рассмотрим систему фукций соответствующего элемента без вращатель- ной степени свободы:


1 2
,
, ,
,
( ),
( ),( )
ij
kn
r
kn
ij
r
r
k
j n




Φ x
Φ
ij
i
L
(4.6.5)
Будем считать, что система функций (4.6.5) удовлетворяет, как минимум, тождествам критерия полноты (4.3.16).
Функции системы (4.3.14), соответствующие линейным смещениям, по- строим корректировкой функций (4.6.5):
3 1,2
,
(k)
( )
( )
( )
) ( )
(
,
r
k
ij
r
r
r
r
r

 


φ x
Φ x
λ x
Φ
ij
ij
k3
i
j =
L
(4.6.6)
Функции, соответствующие вращательным степеням свободы
 , будем искать в виде:
( )
( )
( )
r
i
r
i
r


φ x
Φ x
x
i3

, ( )
r

i
,
(4.6.7) где
x и
x соответственно совместные и несовметные аппроксима- ции.

Глава 4. Плоская задача теории упругости
115
При этом потребуем, чтобы функции
x удовлетворяли уравнениям
(4.6.2). Тогда полученные аппроксимации:
 по теореме (2.11.1) удовлетворяют критерию полноты (2.5.1) такого же порядка, как и система (4.6.5), т.к. она получена из нее добавлением но- вых функций;
 выполнен критерий несовместности порядка m=1: условие (4.6.2) эквива- лентно условию (2.7.3) теоремы 2.7.1. Для доказательства этого доста- точно взять в качестве совместной системы функций систему функций
(4.6.5), дополнив ее нулевыми аппроксимациями для вращательной сте- пени свободы

z
Следовательно, по теореме (2.8.2) обеспечивается сходимость метода.
Если в (4.6.7) функции

x отличны от нуля, то для выполнения тож- деств критерия полноты более высокого порядка (4.3.17) дополнительно тре- буется, чтобы:


( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
r
r
r
r
r
i
i
r
i
r








