Метод конечных элементов и задачи теории упругости. Карпиловский_FEM. В. С. Карпиловский Метод конечных элементов и задачи теории упругости
 Скачать 5.35 Mb.
|
|
С (4.1.16) закона Гука получаем новые константы: 1 1 y x x y xz zx yz zy E E E , E , 1 1 xy xz zy yx yz zx xy yx xz zy yz zx , (4.2.7) В случае анизотропии: 1 1 1 1 1 , , , , v v xy,x zx xy,x xy,y zy xy,z xy,x xy,y xz zx yz zy x,xy xz z,xy y,xy yz z,xy x,xy y,xy xy,z z,xy xy,x z,xy xy xy xy,z z,xy v v v v v v G G (4.2.8) Из (4.2.3) – (4.2.8) следует, что формулы закона Гука для случая плоской деформации отличаются от формул плоского напряженного состоянии (4.1.3) – (4.1.6) только упругими постоянными. При этом полностью совпадают: ус- ловия равновесия (4.1.7), формулы Коши (4.1.8), условия на поверхности (4.1.9) и уравнения совместности деформаций (4.1.10). Поэтому данные задачи объединяют в одну – плоскую задачу теории уп- ругости 4.3. Степени свободы и аппроксимации Для решения плоской задачи теории упругости используются, как прави- ло, конечные элементы, имеющие геометрическую форму треугольника, пря- моугольника и произвольного четырехугольника. Простейшие элементы имеют только узлы, совпадающие с вершинами многогранников. В элементах Глава 4. Плоская задача теории упругости 93 с повышенной аппроксимацией добавляются узлы, лежащие на их сторонах. Существуют также семейства серендиповых конечных элементов с сетью внутренних узлов [27, 28], примеры которых приведены на рис. 2.9-2. При этом внутренние узлы имеют такие же степени свободы, как и узлы в верши- нах области. Элементы с двумя степенями свободы в узле Классические конечные элементы в каждом узле имеют по две степени свободы: u i , v i , i=1,2,…,N r ., где N r – число узлов элемента. При построении большинства элементов перемещения аппрокси- мируются независимо по каждой координате. Т.е. вводится система функций 1 2 ( , ), ( , ) , r r φ ij y j x i , (4.3.1) а поле перемещений представляется в виде: 1 2 , , ( ) ( , ) ( ) r r r u v u φ φ i i i i i x y , (4.3.2) 1 2 0 0 , , , r r r r φ φ i i i i , i=1,2,…N r . (4.3.3) Конечные элементы имеют 2N r степеней свободы, которые при формиро- вании матрицы жесткости элемента располагаются в следующем порядке: 1 1 { } , ,..., , r r N N u v u v , и, соответственно, 11 1 2 1 2 { } , , , , , ,... , , r r r r r r N N φ φ φ φ (4.3.4) Существуют элементы, у которых поле перемещений представляется так, что обе компоненты вектора отличны от нуля: 1 2 1 1 2 , ,u , ,u , , , , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r r r N i i i i r r i i i v i i v u v u v u x,y φ x,y x,y x,y φ x,y , (4.3.5) 2 1 1 2 1 1 , , , , , , , , , , , r r r r i u i u i i r i v i v φ φ φ φ φ φ Элементы с вращательными степенями свободы Более сложными являются элементы метода перемещений с тремя степе- нями свободы в узле, когда к значениям перемещений u i , v i добавляется: усредненный угол поворота (4.1.23). Согласно [61] величина z характе- ризует поворот бесконечно малого объема, окружающего точку x. Данная величина инвариантна относительно ортогональных преобразований сис- тем координат. Следовательно, аппроксимации можно построить так, чтобы результат расчета не зависел от принятой системы координат по- строения элемента при выполнении условий сохранения симметрии рас- четной схемы. в работе [98] предложен и развит в работах [99, 113 и др.] подход, когда в узлах вводятся неизвестные j . При этом на стороне ij: 94 Глава 4. Плоская задача теории упругости а) касательное перемещение u τ изменяется по линейному закону; б) нормальное перемещение u n меняется по закону 1 1 2 ( ) ( ) ( ) n ni nj j i a u u u ij , (4.3.6) ( ), ( ) / i j i ij j i ij a x x x x τ x x , ij n – нормаль к стороне, | | ij j i a x x – длина стороны. Однако, при использовании закона (4.3.6) возникает геометрическая из- меняемость при равенстве всех степеней свободы j ; для исключения геометрической изменяемости будем нормальное пере- мещение u n вместо (4.3.6) изменять по закону, предложенному в [35, 117] при δ=const: 1 1 1 2 2 ( ) + + ( ) ( )( ) n ni nj i j i a u u u ij j (4.3.7) Будем называть квазивращательными степени свободы j , построенные по гипотезе (4.3.7). Функции, удовлетворяющие данной гипотезе, будем представлять в следующем виде: ( ) ( ) ( ) i i i φ x χ x ζ x , i=1,2,…,N, (4.3.8) где – функции, полученные по гипотезе (4.3.6), – корректирующие функ- ции по (4.3.7). Для функций x , построенных по (4.3.7): 0 5 1 ( 0 25 1 0 . ( ), ( )) ( ), , j z i x φ x i= j i j, сторона i j, диагональ (4.3.9) Если положить = –1, то из (4.3.8) получаем, что: 1 1 1 1 ( ) ( ) ( )( ( )) , , n ni nj u u u a j i ij (4.3.10) При этом: ( = ( ))| j j z i i x φ x , i, j=1,2,…,N r (4.3.11) Направление вектора нормали к стороне n ij в (4.3.6) и (4.3.7) выбирается таким образом, чтобы тройка n ij , τ ij и OZ была правой. В обоих случаях обес- печивается совместность соответствующей системы аппроксимирующих функций. Очевидно, что местные оси OZ всех конечных элементов должны совпадать. Закон (4.3.6) обладает следующими недостатками: а) т.к. степени свободы j в (4.3.6) входят только в виде разности значе- ний на сторонах, то необходимо при решении плоской задачи теории упруго- сти иногда делать дополнительные связи во избежание вырожденности сис- темы уравнений метода или вводить некоторые фиктивные жесткости; б) вычисленные значения j могут быть достаточно далеки от реальных углов поворота. Глава 4. Плоская задача теории упругости 95 Для (4.3.7): а) не требуется задавать дополнительные связи для расчетной схемы; б) при малых значениях , как показали численные эксперименты, полу- чаем хорошую точность результатов, практически совпадающую с результа- тами по перемещениям и напряжениям с элементами при =0. И получаем более реальные значения «углов поворота» в отличие от (4.3.6). Для (4.3.6) и (4.3.7): а) нагрузка в виде моментов некорректна; б) при построении элементов с промежуточными узлами на сторонах практически невозможно согласовать физический смысл j в вершинах и на сторонах. Степени свободы j в (4.3.6) и (4.3.7) уже не имеют определенного физи- ческого смысла. Их с трудом можно интерпретировать как «усредненные уг- лы поворота» , хотя соответствующие им аппроксимирующие функции не противоречат идеологии МКЭ как проекционно-сеточного метода и показы- вают хорошие результаты при расчете оболочек. Построено большое число элементов с вращательными степенями свобо- ды, основанных на использовании и отличных от функционала Лагранжа по- становках: на основе смешанного функционала гибридные элементы, метода Трефтца, разложения по формам перемещений и др. [100, 109, 111, 122, 123, 131, 132]. Конечно, список работ по данной тематике не полон. В настоящей работе рассматриваются только элементы, основанные на функционале Ла- гранжа (1.4.11). Для элементов, имеющих степени свободы z и обеспечивающих сходи- мость метода, можно в расчетной схеме задавать нагрузку в виде моментов: как узловых, так и распределенных на элементе (например, по стороне). При этом приведенные узловые моменты вычисляются по стандартной формуле: ( ( ) ) r r i ij r j d M M φ z x,y (4.3.12) Конечные элементы имеют 3N r степеней свободы, которые при формиро- вании матрицы жесткости элемента располагаются в следующем порядке: 1 1 1 { } , , ..., , , r r r N N N u v u v или 1 1 1 , , ..., , , { } r r r N N N u v u v , (4.3.13) и соответствующую им систему аппроксимирующих функций: 1 2 3 ( ), ( ) , , , r r φ ij x,y i j (4.3.14) Поле перемещений для степеней свободы i / i представляется в виде: 1 1 2 3 1 1 1 , , , , , , , , , ( ) ( ) r r r r r N N u u u r r r r r r v v v v v u u x φ φ φ i i i i2 i i3 i i i i i i i i i i i i2 i i3 u u v (4.3.15) Считаем, что , все компоненты функций (4.3.14) отличны от нуля. Запишем тождества критерия полноты (2.5.7) порядка m=1 для систем функций (4.3.1) и (4.3.14): 96 Глава 4. Плоская задача теории упругости для элементов с двумя степенями свободы в узле в случае независимой аппроксимации (4.3.3): 1 ( ) ( ) ( ) , , r r r r r r i i i i i i i i x x y y ; (4.3.16) для элементов со степенями свободы z : 1 1 1 3 1 0 0 0 ( ) ( ) ( ) , , ( ) r r r i i r r r r φ φ φ φ i i i i i i i x y x , y 2 2 3 2 0 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) , r r r r r r r φ φ φ φ i i i i i i i i i 0 , x y x y . (4.3.17) Для квазивращательных степеней свободы тождества (4.3.16) должны быть выполнены, ибо добавление независимых аппроксимаций не понижает порядок критерия полноты. Для совместных элементов выполнение тождеств (4.3.16) – (4.3.17) обеспечивает сходимость метода. Для несовместных для доказательства сходимости выполняем проверку критерия несовместности (2.7.3), или кусочного тестирования (2.7.1). Для высокоточных элементов дополним (4.3.16) и (4.3.17) тождествами критерия полноты 2-го порядка: в случае независимой аппроксимации (4.3.3): 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) , , r r r r r r i i i i i i i i i i x x x y xy y y ; (4.3.18) для элементов со степенями свободы z : 2 2 1 2 3 2 2 2 1 3 2 2 3 2 3 1 0 0 2 0 0 1 0 0 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , ( ) , , , ( ) , , ( ) , r r r r r T T T T T i i i i r r r r r r r r r r φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i x x x y xy , y y y , y y y x xy x x 2 ( ) r T i x (4.3.19) Для совместных элементов выполнение тождеств (4.3.18) – (4.3.19) обес- печивает повышенную скорость сходимости метода. 4.4. Элементы с двумя степенями свободы узла 4.4.1. Треугольник с узлами в вершинах Простейший треугольный конечный элемент изображен на рис. 4.4-1а. При построении системы аппроксимирующих функций (4.3.3) поле пере- мещений аппроксимируется по линейному закону: 1 2 3 ( ) i i i i C C C x,y x y (4.4.1) На основании свойств (2.1.7) составляем систему уравнений для одно- значного определения коэффициентов: 1 2 3 i i i j j j i C C C x y , j=1,2,3. (4.4.2) Глава 4. Плоская задача теории упругости 97 а) б) Рис. 4.4-1. Треугольник и его мастер-элемент Для упрощения дальнейших выкладок воспользуемся вспомогательной системой координат, выполнив не ортогональное в общем случае преобразо- вание с центром системы координат в первом узле: 1 2 1 3 1 1 2 1 3 1 ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x x y y y y y y (4.4.3) Матрица Якоби (2.10.3): 2 1 2 1 3 1 3 1 ( , ) , ( , ) const |