Метод конечных элементов и задачи теории упругости. Карпиловский_FEM. В. С. Карпиловский Метод конечных элементов и задачи теории упругости

• Название: В. С. Карпиловский Метод конечных элементов и задачи теории упругости
• Анкор: Метод конечных элементов и задачи теории упругости
• Дата: 22.06.2022
• Размер: 5.35 Mb.
• Имя файла: Карпиловский_FEM.pdf
• Тип: Документы; #610414
• страница: 11 из 32

Глава 4. Плоская задача теории упругости
4.1. Плоское напряженное состояние
Обобщенное плоское напряженное состояние характеризуется отсутстви- ем нормальных напряжений на площадках, параллельных одной из коорди- натных плоскостей XOY. Такое напряженное состояние появляется в тонких пластинках, у которых нагрузка приложена только силами, параллельными основаниям и равномерно распределенными по толщине пластинки
(рис. 4.1-1). Пластинку можно рассматривать как призматическое тело, высо- та которого (толщина пластинки) мала по сравнению с размерами основания.
Рис.4.1-1.
Плосконапряженное состояние
Будем считать, что толщина пластинки h=const, плоскость XOY равно удаленна от оснований и является ее срединной поверхностью.
Поскольку основания пластинки свободны от нагрузки, то на них σ
z
=0.
Из-за малой толщины пластинки можно полагать, что σ
z
 0. По тем же при- чинам можно считать

xz
 
yz
 0 по всему объему пластинки. Остальные на- пряжения можно считать постоянными по толщине пластинки и являющими- ся функциями только координат x и y:
( , ),
(
),
(
)
,
,









x
x
y
xy
xy
y
x y
x y
x y
.
(4.1.1)
Из третьей формулы закона Гука для изотропного тела следует, что


E
  
 

z
x
y
ε
,
(4.1.2) и, следовательно, будут деформироваться основания пластинки.
Подставляя (4.1.2) в (3.1.6), окончательно получаем закон Гука для изо- тропного материала:
1 1
1 2 1
(
),
(
),
,
(
)
E
G
E
E
G










x
x
y
y
y
x
xy
xy
ε
σ
σ
ε
σ
σ
γ
τ
,
(4.1.3) или
2 2
1 1
(
),
(
),
E
E
G














x
x
y
y
y
x
xy
xy
ε
ε
τ
γ
(4.1.4)
Для ортотропного тела закон Гука примет вид:

Глава 4. Плоская задача теории упругости
87 1
1 1
,
,
x











 


xy
yx
x
x
y
y
y
xy
xy
x
y
x
y
xy
ε
E
E
E
E
G
(4.1.5)
Для анизотропного материала:
1 1
1
,
,
,
(
),
(
),
(
).
y


 



 

 
















x
x
yx
y
xy x xy
x
y
x
x
y
xy,y xy
y
xy
x xy
x
y xy
y
xy
xy
E
E
G
(4.1.6)
В рассматриваемой точке уравнения равновесия Навье (3.1.2) для данной задачи имеют вид:
0 0
x
f
y
f





















y
x
x
xy
y
y
x
x
y
(4.1.7)
Из шести формул Коши (2.1.4) остаются три:
,
,
u
v
u
v















x
y
xy
x
x
y
x
(4.1.8)
Рассмотрим напряжения на наклонной линии на рис. 4.1-2. На боковых поверхностях проекция направляющего косинуса нормали на ось OZ равна нулю, и из трех уравнений равновесия на поверхности (3.1.17) остаются два:
Рис. 4.1-2.
Напряжения на наклонной линии
n
n
p
n
n
p








x x
xy y
x
xy x
y y
y
,
(4.1.9)
n
n
 
  
 
n
x
y
– нормаль к линии,
N
p
p
 
 
 
p
x
y
– проекции напряжения.
Шесть условий уравнений совместности деформаций (3.1.5) сводятся к одному:
2 2
2 2
2








 


y
xy
x
x y
y
x
(4.1.10)
Из трех усредненных углов поворота (3.1.16) остается только один

88
Глава 4. Плоская задача теории упругости
1 2
)
(
u







z
x
y
v
(4.1.11)
Уравнения равновесия Навье (4.1.7) записываются в виде системы двух дифференциальных уравнений Ляме относительно перемещений u и v:
0 0
*
*
(
)
(
)
G u
G
G v
G





   






   




x
y
f
x
f
y
,
(4.1.12) где
2 2
2 2
2









x
y
– оператор Лапласса;
u
v







x
y
,
2
* 1



Eν
ν
,
2 1
(
)
G



E
– модуль сдвига (3.1.8).
Запишем соотношения для плоской задачи в матричной форме:
2
{
}
( )
( ),v( )
u


u x
x
x
T
R
,
2
{
}
,
T



x
x
x,y
R
,
(4.1.13)
{
}
( )
( ), ( ) ,
x
y
T
f
f


f x
x
x
x
,
{
}
( )
( ),
,
( )
T


p x
x
x
x
x
y
p
p
Γ
, (4.1.14)
{
}
( )
( ),
( ),
( )
T




x
x
x
x
x
y
xy

,
{
}
( )
( ), ( ),
( )
T




x
x
x
x
x
y
xy

(4.1.15)
Оператор геометрии в уравнениях (1.3.2):
0 0
Т


















A
x
y
y
x
(4.1.16)
В физических уравнениях (1.3.1) матрицу упругости C – матрицу закона
Гука – соответственно для изотропного, ортотропного и анизотропного мате- риалов получаем из (4.1.4), (4.1.5) и (4.1.6):
2 1
0 0
1 0
2 1
1 0
E

















C
,
1 1
0 1
0 1
0 0
O
G




 


















yx
x
x
xy
y
y
xy
E
E
E
E
C
,
1 1
1 1
A
G
G
G







 
















yx
xy,x
x
x
x
xy
xy,y
y
y
y
x,xy
y,xy
xy
xy
xy
E
E
E
η
E
E
E
C
(4.1.17)
Преобразования систем координат
Рассмотрим две системы прямоугольных координат XY и X'Y', начала ко- торых совпадают, и пусть матрица ортогонального преобразования (матрица косинусов) имеет вид при повороте на угол φ:
 
x
Sx ,
   
'
'
,
,


x
x'
x
x
y
y
1 2
1 2
cos sin sin cos
l
l
m






 




 





S
m
(4.1.18)

Глава 4. Плоская задача теории упругости
89
Т.к. S
T
= S
-1
, то в (1.7.2) матрица Якоби J=S и
=
T
S


 


 





 




 





 


x
x
y
y
(4.1.19)
После соответствующих преобразований для деформаций и напряжений получаем следующие зависимости:
'
'
T




ε
S ε
σ
S σ

,
(4.1.20)
S

– матрица преобразования
2 2
2 2
1 1
1 1 2
2 2
2 2
2 2
1 2 1
2 1
2 2
1 2
2
+
sin cos sin sin os c
l
m
l m
l
m
l m
l l
m m
l m
l m



















S
2 2
2 2
2
cos sin cos sin cos c
cos sin n
o si s



















(4.1.21)
При этом, в силу ортогональности преобразования
 .
Матрица связи деформаций и напряжений С (4.1.17) в физических урав- нениях (1.3.1) при переходе к новой системе координат преобразуется сле- дующим образом:
'
T


S S
С
С .
(4.1.22)
Если материал тела изотропный, то матрица упругости С инвариантна от- носительно ортогонального преобразования (4.1.21): ' 
С
С .
Усредненный угол поворота

z
тоже инвариант при ортогональном пре- образовании:
1 1
2 2
(
)
(
)
u
u

















z
x
y
x
y
v v
(4.1.23)
Краевые условия
Краевыми условиями в точках на границе

тела
 могут быть:
 кинематические, когда заданы значения перемещений u и v. Если на части поверхности заданы обе нулевые компоненты перемещений, то го- ворят о жестком защемлении. Данные краевые условия являются главны- ми при решении вариационной задачи минимизации функционала Ла- гранжа;
 статические граничные условия – равенство внутренних усилий по- верхностным нагрузкам p
N
в точках границы, когда на границе области заданы нормальные и тангенциальные усилия. Данные краевые условия являются естественными при решении вариационной задачи минимиза- ции функционала Лагранжа;
 смешанные граничные условия – толькона части границы области Ω за- даны перемещения. Или на границе могут быть заданы одновременно и статические, и кинематические краевые условия. Например, закрепление

90
Глава 4. Плоская задача теории упругости по одному из направлений и действующая по другому направлению на- грузка.
Температурные воздействия
При изменении температуры на δt° деформации от температурных воз- действий получат приращения:
0
,
,
,
;
;
t
t
t
t
t










x
y
xy
Если нет возможности свободно расширяться, то возникают температур- ные/тепловые напряжения, которые необходимо учесть в физических уравне- ниях (1.3.1), где:
3 0
{
}
( )
, ,
T
t


ε x
α t α t
R
(4.1.24)
Для ортотропного материала коэффициенты температурного расширения могут быть разными по главными осям инерции:
0
{
}
( )
,
,
T
t



ε x
x
y
α
t α
t
(4.1.25)
Подставив (4.1.24) или (4.1.25) в (1.4.12) и проинтегрировав по z получим учет температурных деформаций в потенциальной энергии.
Главные напряжения и деформации
Для определения главных напряжений из системы уравнений (3.1.27) ос- тается два уравнения:
0 0
(
)
(
)
i i
i
i
i
i
l
m
l
 


 









x
xy
xy
y
m
, i=1,2 .
(4.1.26)
Получаем уравнение второго порядка, его решения σ
i
, i=1,2, σ
1
 σ
2
Для определения главных деформаций из системы уравнений (3.1.30) ос- тается также два уравнения:
2 0
2 0
(
)
(
)m
i i
i
i
i
i
l
m
l
 


 









x
xy
xy
y
, i=1,2 .
(4.1.27)
Получим решения уравнения второго порядка: ε
i
, i=1,2, ε
1
 ε
2
Функционалы
Уравнения равновесия в матричной форме имеют вид:
( )
( )

B x
f x

, где
T

B
A
(4.1.28)
Используя матричную запись, получим для плоской задачи теории упру- гости функционалы Лагранжа (1.4.11), Кастельяно (1.4.15), Рейсснера (1.4.16) и смешанный функционал (1.4.17).
Запишем работу внешних сил для изотропного материала в функционале
Лагранжа через функции перемещений без учета температурных воздейст- вий:
2 2
2 2
1 2
2 2 1
( )
(
)
E
u
v
u v
u
v
d
x








 

















 









 











u
x
y
x y
y
E
(4.1.29)

Глава 4. Плоская задача теории упругости
91
В функционал Лагранжа входят только производные первого порядка функций перемещений, и, следовательно, энергетическое пространство зада- чи совпадает с пространством Соболева
).
Т.к. перемещения, деформации и напряжения не зависят от z, то получа- ем, что при h=const интегралы по
 можно заменить на интегралы по сре- динной поверхности

xy
: g( )
g( )
xy
xy
d
h
d


 



x
x
4.2. Плоская деформация
Плоская деформация реализуется в призматическом или цилиндрическом теле, у которых один из размеров существенно превышает два других, а воз- никающие перемещения не зависят от направления этого размера. Такими конструкциями, например, являются плотины, массивные подпорные стенки и туннели (рис. 4.2-1).
Рис. 4.2-1. Плотина, массивная подпорная стена и тунель
Будем считать, что данное направление совпадает с осью OZ и практиче- ски бесконечно. Если все сечения тела плоскостями z=const равны и находят- ся в одинаковых условиях по связям и нагрузкам, а объемные и поверхност- ные силы перпендикулярны оси OZ, то вместо рассмотрения всей области, за- нятой телом, можно ограничиться рассмотрением его сечения Ω плоскостью
XOY.
Поскольку перемещения из плоскости w(x,y)  0, а перемещения u(x,y),
v(x,y) являются функциями только двух переменных, то из формул Коши
(3.1.4) следует, что
, ,
не зависят от z, и
0 0
0
,
,






z
yz
xz
(4.2.1)
Из закона Гука (3.1.6) следует, что напряжения
,
,
тоже не зависят от z, а для изотропного материала:
(
)
   


z
x
y
(4.2.2)
Т.е. отсутствие линейных деформаций
ε
z
вдоль оси OZ приводит к появ- лению нормальных напряжений

z
Подставляя (4.2.2) в (3.1.6), окончательно получаем:

92
Глава 4. Плоская задача теории упругости
1 1
1 1
1 1
1
(
),
(
),
,
G
E
E


 


 







x
x
y
y
y
x
xy
xy
(4.2.3) где введены обозначения для новых упругих постоянных:
1 2
1
E
E



,
1 1





,
G
1
=G.
(4.2.4)
В общем случае, из (3.1.11):


  



z
xz x
yz y
xy,z xy
v
v
(4.2.5)
Получаем для трансверсальной изотропии в (4.2.3):
1 1
1 2 1
,
,
(
)
 





xz zx
E
E
E
G
1 1
,


 






xz zx
xy
yx
xz zx
ν ν
ν ν
(4.2.6)
Для ортотропного и анизотропного материалов в выражении матрицы уп- ругости