Метод конечных элементов и задачи теории упругости. Карпиловский_FEM. В. С. Карпиловский Метод конечных элементов и задачи теории упругости

• Название: В. С. Карпиловский Метод конечных элементов и задачи теории упругости
• Анкор: Метод конечных элементов и задачи теории упругости
• Дата: 22.06.2022
• Размер: 5.35 Mb.
• Имя файла: Карпиловский_FEM.pdf
• Тип: Документы; #610414
• страница: 9 из 32

x
Sx ,
'
,
' ,
'


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x
x'
x
x
y
y
z
z
1 2
3 1
2 3
1 2
3
l
l
l
m
m
m
n









S
n
n
(3.1.19)
Т.к.
1
T


S
S , то в (2.10.2) матрица Якоби J=S,и
{
}
{
}
,
,
,
,
T
T
T

  
  



  
  
S
x y z
x
y
z
(3.1.20)
Тогда:
1 1
1 2
2 2
0 0
0 0
0
m
n
l
m
n
l























Au
x
y
z
x
y
z
3 3
3 2
2 2
1 1
1 3
3 3
0 0
n
n
l
m
n
l
m
l
m
l
m
n












































x
y
z
x
y
z
x
y
z
x
y
z
1 1
1 3
3 3
2 2
2 0
0
T
n
l
m
n
l
m
l
m
n
































































S u
x
y
z
x
y
z
x
y
z
, где u'(x)={u',v',w'}
T
– перемещения точки в системе координат X'Y'Z'.
После соответствующих преобразований получаем для деформаций и на- пряжений следующие зависимости:

Глава 3. Трехмерная задача теории упругости
65
'
'
T


ε
S ε
σ
S σ



,
S

– матрица преобразования,
(3.1.21)
2 2
2 1
1 1
1 1 1 1 1 1 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 3
3
l
m
n
l m
l n
m n
l
m
n
l m
l n
m n
l
m


S
2 3
3 3 3 3 3 3 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 3 1 3 1 3 1 3 3 1 1 3 3 1 1 3 3 1 2 3 2 3 2
2 2
+
+
+
2 2
2
+
+
+
2 2
2
n
l m
l n
m n
l l
m m
n n
l m l m
l n l n m n m n
l l
m m
n n
l m l m
l n l n m n m n
l l
m m
2 3 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2
+
+
+
n n
l m l m
l n l n m n m n
















. (3.1.22)
Tак как преобразование ортогонально, то
1
T


S
S


Матрица связи деформаций и напряжений C в физических уравнениях
(1.3.1) при S

– матрица преобразования перехода к новой системе координат:
',
σ
C'ε
' =
'
T



C
S CS
(3.1.23)
Если материал тела изотропный, то зависимости (3.1.6) и (3.1.7) для орто- гонального преобразования (3.1.19) инвариантны относительно преобразова- ния: С' = С.
Для вектора усредненных углов поворота преобразование совпадает с
(3.1.19):
x
x
y
y
z
z











 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
ω
S
(3.1.24)
Краевые условия
Краевыми условиями в точках на границе

тела
 могут быть:
 кинематические, когда заданы значения перемещений. Если на части поверхности заданы все три нулевые компоненты перемещений, то гово- рят о жестком защемлении. Данные краевые условия являются главными при решении вариационной задачи минимизации функционала Лагранжа;
 статические граничные условия – равенство внутренних усилий по- верхностным нагрузкам в точках границы. Данные краевые условия яв- ляются естественными при решении вариационной задачи минимизации функционала Лагранжа.
Пусть площадка АВС на рис 3.1-2 – касательная плоскость в точке xна границе

, {n
x
, n
y
, n
z
}
T
– нормаль к ней. Если p
N=
{p
x
, p
y
, p
z
}
T
– внешняя по- верхностная нагрузка, то (3.1.17) являются условиями равновесия в точке границы.
Очевидно, что в точке на границе могут быть заданы одновременно и ста- тические, и кинематические краевые условия. Например, закрепление по оси
ОХ и нагрузка, действующая по оси OY.

66
Глава 3. Трехмерная задача теории упругости
Температурные воздействия
В процессе эксплуатации конструкции температурные напряжения при ее нагреве или охлаждении могут быть определяющими при оценке напряженно деформированного состояния. Для зданий и сооружений является обязатель- ным учет изменения температуры по отношению к температуре в момент за- мыкания конструкции или ее части в законченную систему
1
Если рассмотреть элементарный параллелепипед из изотропного мате- риала и нагреть его на δ
t°, то в результате нагревания элемент длины ds по- лучает новую длину (
1+αδt)ds, где α – коэффициент линейного расширения материала. Т.е.
0
,
,
,
t
t
t


















x,t
y,t
z,t
xy,t
xz,t
yz,t
Если элемент не имеет возможности свободно расширяться, то возникают температурные/тепловые напряжения, которые необходимо учесть в физиче- ских уравнениях (1.3.1), где:
6 0 0 0
{
}
( )
, , , , ,
T
t


ε x
R
α t α t α t
(3.1.25)
Для ортотропного материала коэффициенты температурного расширения могут быть разными по главными осям инерции:
0 0 0
{
}
( )
,
,
, , ,
T
t




ε x
x
y
z
α
t α
t α
t
(3.1.26)
Подставив (3.1.25) или (3.1.26) в (1.4.12) получим учет температурных деформаций в потенциальной энергии.
Главные напряжения
При выборе системы координат вычисления усилий существует такая система координат, в которой касательные напряжения равны нулю. Пло- щадки, лежащие в координатных плоскостях этой системы координат, назы- ваются главными. Для вычисления направляющих косинусов преобразования
(3.1.19) к системе координат главных площадок рассматривается система уравнений:
0 0
0
(
)
(
)
(
)
i i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
l
m
n
l
n
l
m
 



 



 

















x
xy
xz
xy
y
yz
xz
yz
z
m
n
,
i=1,2,3,
(3.1.27) ненулевое решение которой существует при равенстве нулю ее определителя:
0
|
|
g
i


T
E

(3.1.28) где E – единичная матрица 3х3, а
g













 





T
x
xy
xz
xy
y
yz
xz
yz
z
– тензор напряжений.
(3.1.29)
1
Т.н. «температура замыкания».

Глава 3. Трехмерная задача теории упругости
67
Уравнение (3.1.28) в общем случае является уравнением третьего поряд- ка, его решения σ
i
,
i=1,2,3, σ
1
 σ
2
 σ
3
, называются
главными напряжениями, а значение определителя T
g
является инвариантом преобразований систем ко- ординат – не зависит от их выбора.
Главные деформации
При выборе системы координат существует такая система координат, в которой сдвиговые деформации равны нулю. Площадки, лежащие в коорди- натных плоскостях этой системы координат, называются главными направ- лениями. Для вычисления направляющих косинусов преобразования (3.1.19) к системе координат главных направлений рассматривается система уравне- ний:
2 0
2 0
2 0
(
)
(
)m
(
)
i i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
l
m
n
l
n
l
m
 



 



 

















x
xy
xz
xy
y
yz
xz
yz
z
n
,
i=1,2,3,
(3.1.30) ненулевое решение которой существует при равенстве нулю ее определителя:
|
0
|
i


T
E


,
(3.1.31)
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
















 







T
x
xy
xz
xy
y
yz
xz
yz
z
γ
– матрица тензора деформаций.
(3.1.32)
Уравнение (3.1.31) в общем случае является уравнением третьего поряд- ка, его решения ε
i
, i=1,2,3, ε
1
 ε
2
 ε
3
, называются
главными деформациями.
Функционалы
Запишем уравнения равновесия (3.1.2) в матричной форме, используя преставление (3.1.9) дифференциального матричного оператора А:
( )
( )

B
x
f x

, где
T
 
B
A
(3.1.33)
Заменив физические уравнения (1.3.1) на (3.1.7), геометрические уравне- ния (1.3.2) на (3.1.4), уравнения равновесия (1.3.3) на (3.1.6) или (3.1.11), учтя при этом температурные воздействия, получим для трехмерной задачи тео- рии упругости функционалы Лагранжа (1.4.11), Кастельяно (1.4.15), Рейссне- ра (1.4.16) и смешанный функционал (1.4.18).
В функционал Лагранжа входят только производные первого порядка функций перемещений, и, следовательно, энергетическое пространство зада- чи совпадает с пространством Соболева
(
).

68
Глава 3. Трехмерная задача теории упругости
3.2. Степени свободы трехмерных конечных элементов
Для решения трехмерной задачи теории упругости используются, как правило, конечные элементы, имеющие геометрическую форму тетраэдра, параллелепипеда, треугольной призмы. Если можно конформно отобразить область элемента на них, то говорят об изопараметрических элементах.
Простейшие элементы имеют узлы, совпадающие с вершинами много- гранников. В элементах с повышенной аппроксимацией добавляются узлы, лежащие на их ребрах.
Элементы с тремя степенями свободу в узле
Классические конечные элементы в каждом узле имеют по три степени свободы: u
i
, v
i
, w
i
, i=1,2,…,N
r
., где N
r
– число узлов элемента.
При построении большинства элементов перемещения для трехмерной задачи теории упругости аппроксимируются независимо по каждой коорди- нате. Т.е. вводится система функций
1 2
{
}
(
),
(
) ... ,
(
)
r
r
r
r
T
N
φ
φ
φ
x,y,z x,y,z
x,y,z

,
(3.2.1) а поле перемещений представляется в виде:
1 1
+
,
,
,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
r
r
r
i i
N
N
r
r
r
r
i i
i
r
i i
u
v
w




















u
φ
φ
φ
i i x
i i y
i i z
i
u
x,y,z
x,y,z
v
x,y,z
w
x,y,z
,
(3.2.2)
0 0
0 0
0 0
,
,
,
,
,
,
r
r
r
r


 
 




 
 





 
 


 
 
 
 




φ
φ
φ
i
i x
i y
i
i z
i
φi x
φ
φ
Конечные элементы имеют 3
N
r
степеней свободы, которые при формиро- вании матрицы жесткости элемента располагаются в следующем порядке:
1 1 1
{
}
,
,...,
,
r
r
r
N
N
N
u v w
u
v
w


, и, соответственно, порядок следования аппроксимаций в (2.1.6):
1 1
1
{
}
,
,
,
,
,
,
,
,...,
,
r
r
r
r
r
r
r
r
r
N
N
N
φ
φ
φ
φ
φ
φ
x
y
z
x
y
z


Элементы с вращательными степенями свободы
Более сложными являются элементы с шестью степенями свободы в узле:
 к значениям перемещений u
i
, v
i
,w
i
добавляются усредненные углы пово-
рота
(3.1.16):

x
,

y
,

z
Построение элементов с такими степенями сво- боды, как правило, приводит к несовместным аппроксимациям или нару- шениям существующей симметрии расчетной схемы;
 к значениям перемещений u
i
, v
i
,w
i
добавляются аналоги углов поворота
(3.1.16):

x
,

y
,

z
. Особенностью этих аппроксимаций является то, что ра-

Глава 3. Трехмерная задача теории упругости
69
венства (2.1.7) для данных степеней свободы заменяются условиями не- прерывности на ребрах и гранях.
Элементы с вращательными степенями свободы имеют 6
N
r
степеней сво- боды, которые при формировании матрицы жесткости элемента располага- ются в следующем порядке:
1 1 1
1 1
1
,
,
,
{
}
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,...,
,
r
r
r
r
r
r
x
y
z
N
N
N
x N
y N
z N
u v w
u
v w
  





,
(3.2.3) или
1 1 1
1 1
1
,
,
,
{
}
,
,
,
,
,
,
, ,
,
,...,
,
r
r
r
r
r
r
x
y
z
N
N
N
x N
y N
z N
u v w
u
v w
  





(3.2.4)
Соответствующая им система аппроксимирующих функций:


1 6
(
) )
,
(
,
r
r




φ
ij
i
j
x, y
(3.2.5)
Поле перемещений представляется в виде:
1 2
3 4
5 6
1
,
,
,
,x
,
,y
,
,
,
(
)
(
)
r
N
r
r
r
r
r
r
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i z
i
i
u
v
w











u
φ
φ
φ
φ
φ