Метод конечных элементов и задачи теории упругости. Карпиловский_FEM. В. С. Карпиловский Метод конечных элементов и задачи теории упругости

• Название: В. С. Карпиловский Метод конечных элементов и задачи теории упругости
• Анкор: Метод конечных элементов и задачи теории упругости
• Дата: 22.06.2022
• Размер: 5.35 Mb.
• Имя файла: Карпиловский_FEM.pdf
• Тип: Документы; #610414
• страница: 5 из 32

u
h
(x) сходитсяк точному решению u

(x) задачи
(1.3.7)
 по напряжениям (деформациям) с порядком l
1
, если
1
Например, это полиномы Эрмита для стержня Бернулли, трансцендентные функции Корноухова при учете сдвига.
2
Это не касается задач динамики и устойчивости.
3
У «одноузловых» элементов, моделирующих упругие связи, второй узел фор- мально не включается в ω
h
, ибо все значения его степеней свободы всегда равны ну- лю (закреплены).

36
Глава 2. Метод конечных элементов
1 1
*
,*
( )
( )
l
h
С h


u x
u x
A
;
(2.4.1)
 по перемещениям с порядком l
2
, если
2 2
2
*
( )
( )
l
h
С h


u x
u x
L
(2.4.2)
При этом константы С
1
и С
2
должны независеть от h.
Для совместных аппроксимаций МКЭ является проекционно-сеточным методом Ритца-Галеркина, и система функций (2.2.1) для сходимости метода должна удовлетворять следующим условиям:
 все функции системы принадлежат энергетическому пространству
L
A
рассматриваемой задачи (1.3.7);
 система функций линейно независима;
 система функций полна в энергетическом пространстве: для любого эле- мента энергетического пространства u(x)
L
A
и любого числа
 при доста- точно малом h≤h
0
выполняется неравенство
( )
( )
h



u x
u x
P
A
,
(2.4.3) где
1 2
s,
,
,
{
,
,...,
}
T
h
h
h
h

P
P P
P
– оператор проектирования на
L
h
:
(i)
( )
( )
( )
( )
r
h
i
i
r






u x
φ x L u x
u x
P
P
(2.4.4)
1 2
0
,
,
s,
( )
( )
( ),
( ) {
,
,...,
}
,
r
r
i
r
r
r
r
r
r
i
T










 



φ x
u x
x
u x
x
i
L
P
P P
P
При выполнении данных условий при h
0 последовательность прибли- женных решений {u
h
} сходится к точному решению вариационной задачи
(1.4.11) u

(x) по энергии (напряжениям) и в метрике исходного пространства
L
2
(Ω) (перемещениям). Т.к. рассматривается положительно определенный оператор
A
краевой задачи (1.3.7) геометрически неизменяемой системы, то для погрешности схемы u

(x) – u
h
справедливы оценки
2 0
0 0
*
*
( )
( )
,
( )
( )
,
h
h





u
u
u
x
x
x
u
x
h
A
L
(2.4.5)
Для несовместных конечных элементов система функций (2.2.1) не при- надлежит энергетическому пространству рассматриваемой задачи, и выпол- нения перечисленных условий уже недостаточно для сходимости метода. Из системы уравнений (2.1.19) получаем, что
2
*
*
* *
*
*
* *
,
[
,
]
(
) [ ,
]
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h











u
u
u
u u
u
u
u
u u
u
P
P
P
P
P
A
Согласно [88, 89] несовместная дискретная схема аппроксимирует задачу
(1.3.7), если система функций (2.2.1) полна в энергетическом пространстве в норме ||.||
A,
h и последовательность

Глава 2. Метод конечных элементов
37 0
,h
*
*
* *
*
(
) [
,
]
h
h
h
h
h
h
h








 

u
u
u u
u
u
u
P
P
P
A
при h
0.
(2.4.6)
Тогда, если выполнено условие (2.4.3):
*
*
*
*
,
,
,
( )
( )
( )
( )
( )
( )
h
h






u
u
u
u
u
u
x
x
x
x
x
x
h
h
h
h
h
P
P
A
A
A
Для совместных аппроксимаций

h
=0.
Расчетная схема называется устойчивой [80], если оператор дискретной задачи (2.1.20) положительно определен: для любой v
h

L
h
при любых доста- точно малых h
h
0
существует независящая от h и v
h
постоянная C, что
,
( )
( )
h
h
h
h
c


v x
v x
A
(2.4.7)
Для совместных аппроксимаций условие (2.4.7) следует из условия поло- жительной определенности оператора
A
задачи (1.3.7).
2.5. Критерий полноты
Самым простым при доказательстве сходимости МКЭ является проверка условия полноты (2.4.3) системы аппроксимирующих функций метода.
Обычно оно проверяется следующим образом [11, 57]:
 для произвольной достаточно гладкой функции u(x) строится функция
P
h
u
(x) – проекция на пространство аппроксимирующих функций
L
h
;
 значения степеней свободы функции u(x) раскладываются в ряды Тейлора до порядка p относительно произвольной точки элемента;
 компоненты функции u(x) раскладываются в ряды Тейлора до этого же порядка в этой же точке;
 если аппроксимации не являются полиномами, то они тоже представля- ются в виде рядов;
 исследуется разность u –
P
h
u после подстановки соответствующих раз- ложений и определяется порядок аппроксимации функции u(x) проекцией
P
h
u
(x).
Недостатком выше приведенной методики доказательства полноты сис- темы аппроксимирующих функций является невозможность применить ее на этапе построения конечного элемента, когда система функций (2.1.6) еще не определена. В [32, 36] был предложен новый метод доказательства полноты и порядка аппроксимации при полиномиальной аппроксимации. Он был сфор- мулирован и доказан для любых областей конечных элементов многомерных задач и применен при построении новых элементов.
Разложим компоненты функции перемещений v(x) в ряды Тейлора до по- рядка p в произвольной точке y:
0
p
| |
)
( )
(
),
(
( )
,
!
,
p
j
j
j
v
v
v






y
x
x
y
y x




D
1,2,...,

j
s
,
(2.5.1)

38
Глава 2. Метод конечных элементов где остаток разложения в ряд равен


1 1
1 0
1 1
)
(
)
( , ,
(
)
!
p
p
j
j
p
t
v
v
dt
t
t
p
t










y x
y
x
p
(2.5.2)
При этом справедливо равенство:
| |
(
)
(
)
, ,
, ,
j
j
v
v




y x
y x
p
p



D
D
(2.5.3)
Введем обозначение для остатка от разложения в ряды Тейлора всех ком- понент функции перемещений:
1
(
) {
(
),...,
(
) }
, ,
, ,
, ,
T
s
v
v



v y x
y x
y x
p
p
p

Используя разложения (2.5.1), получаем для значений степеней свободы в узлах с учетом равенств (2.5.3):
1 0
1
,
,
j
| |
( )
(
) |
( )
(
, , )
!
i
i
i j
j
i j
p
s
j
i
u
A
A u









 




u x
x y
y
y
x




x x
L
D
i p - m
, где m
i
– порядок дифференцирования в операторе степени свободы A
i
из
(2.1.5).
Тогда при x, y 
r
0 1
0 1
1
,
,
,
( )
| |
,
( )
k
| |
( )
)
!
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( , ,
!
( )
( )
(
) |
(
, , )
r
i
r
i
j
j
j
j
r
r
j h
j
i j
p
p
s
r
i j
i


































x
u x
x
x
u x
x
u x
x
x y
y
y x
y
x y
y
i
j
i
u
u
u
A
A u
x
x x
L








P
P
D
D
u
u
u
i p
k i , k p - m i , k k
1 0
0 1
1 1
k
,
( )
| |
,
(i)
| |
k
,
(i)
|
( ) (
)
(
)
( )
!
( )
(
) |
( )
!
( , , )
( )
(
, , ).
i
r
i
r
r
s
i
j
p
r
i j
p
s
r
i j
k j
r
i j



































x y
x
x
y
y
x y
y
x y
x
y x
j
i
A
x
u
A
u
u
A u
x x
x x









i i , j i , k p - m i , k k
k p
D
D
(2.5.4)
Пусть выполнены на конечном элементе Ω
r
тождества
,k
( )
|
(
)
(
)
( )
i
r
j
i
k




 


x y
x y
x
i
A


x x
i , j
,

p

| |
, j,k=1,2,…,s.
(2.5.5)
Тогда при x, y 
r
получаем, согласно (2.5.4), что для любой достаточно гладкой функции
1
)
)
)
) (
)
( , , )
r
h
h




 
u x
u x
u x
u x
u y x
(
(
(
(
p,r

P
P
P
(2.5.6)
Несложно доказать, что если условия (2.5.5) выполнены хотя бы для од- ной точки элемента, то они выполнены и для любой другой точки этого эле- мента. Поэтому запишем их в окончательном виде:

Глава 2. Метод конечных элементов
39
( )
,k
|
(
)
( )
i
r
j
k
i
A






x
x
x
i


x x
i , j
, или
,
,
( )
( )
( )
( )
r
s
s
j
j
i
L



x P
x
P
x
φ
α
α
i
i
,
(2.5.7)

p

| |
, j,k=1,2,…,s.
Тождества (2.5.7) назовем критерием полноты системы аппроксими- рующих функций (2.1.6) элемента. Их выполнение означает, что степень про- странства аппроксимирующих функций равна p :любой полином степени p точно представляется как их линейная комбинация.
Для упрощения выкладок будем в дальнейшем считать, что в операторе A геометрических уравнений (1.3.2) входят только производные порядка m. То- гда при p<m условия (2.5.7) известны как условия смещения конечного эле-
мента как твердого тела
, когда при ненулевых перемещениях деформации и, соответственно, напряжения в точках элемента равны нулю. При решении задач с более чем одним неизвестным к данным условиям относятся также некоторые комбинации условий (2.5.7) при p=m.
Теорема 2.5.1
Будем рассматривать такую границу Γ области тела Ω, что любую функ- цию из пространства Соболева
1 2
( ) W
( )
p


v x
можно продолжить на все про- странство
R
s
с сохранением класса, а расчетная схема удовлетворяет усло- виям:
 разбиение (2.1.1) области Ω на конечные элементы регулярно –выполне- ны условия (2.1.4);
 системы аппроксимирующих функций (2.1.6) на каждом конечном эле- менте Ω
r удовлетворяют критерию полноты (2.5.7) порядка p иусловиям
(2.1.9).
Тогда существует функция v
h
(x)
L
h
, что
1 1
,*
,
( )
( )
( )
p
l
h
l
p
Ch
 
 


v x
v x
v x
, 0≤l≤p,
(2.5.8) где константа С не зависит от h и v(x).
Доказательство
В работе [18] доказано, что для любой функции
1 2
W
( )
( )
p


v x
всегда су- ществует бесконечное число раз дифференцируемая функция
1 2
,
,...,
}
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
( ) { ( )
( )
( )
T
S
v
v
v

v x
x
x
x
, для которой при 0≤l≤p, |α|≤l
1 1
2 2
1 2
,
,
,*
,
,
ˆ
( )
( )
( )
ˆ
|
( )|
( )
( )
,
, ,..., ,
x h
x h
p
l
l
p
n
n
j
j
Ch
v
Ch
v
Ch
j
s

 
 









v x
v x
v x
x
x
v x
l,
l,
D
(2.5.9) где

x,
h
– шар радиуса h с центром в точке x, а константы не зависят от h и функции v(x).

40
Глава 2. Метод конечных элементов
Из выражения (2.5.2) для остатка ряда следует, согласно (2.5.9), что при
x, y 
r
1 1
2 1
1
r,
| |
| |
| |
,
| |
ˆ
ˆ
(
, , )
( )
( )
h
r
j
j
n
p
p
p
v
Ch
v
Ch

  
 

 

 






y x
y
v x
p
p
max







x
D
D
,(2.5.10) где r,
,
r
h
x h

 

x


– объединение всех шаров радиуса h с центрами в точках элемента.
Расчетная схема удовлетворяет условиям регулярности (2.1.4) и, следова- тельно:
 r,
m
h
mes
Ch
 

;
(2.5.11)
 число элементов, примыкающих к каждому узлу расчетной схемы, огра- ничено.
Т.к. выполнены условия критерия полноты (2.5.7) порядка
p, из оценок
(2.1.9) и (2.5.9):
1 1
)
,
,
,
k
(i)
)
ˆ
ˆ
ˆ
( ( )
( ))
(
)
( , , )
(
( , ,
( )
(
, , )
j
j h
j h
s
j
i j
i
v
u
A u





 




