Метод конечных элементов и задачи теории упругости. Карпиловский_FEM. В. С. Карпиловский Метод конечных элементов и задачи теории упругости

• Название: В. С. Карпиловский Метод конечных элементов и задачи теории упругости
• Анкор: Метод конечных элементов и задачи теории упругости
• Дата: 22.06.2022
• Размер: 5.35 Mb.
• Имя файла: Карпиловский_FEM.pdf
• Тип: Документы; #610414
• страница: 7 из 32

x
u
можно продолжить на все про- странство
R
s
с сохранением класса.

Глава 2. Метод конечных элементов
45
Теорема 2.8.1
Пусть при
h
0:
 разбиение области на конечные элементы Ω
h
регулярно;
 системы аппроксимирующих функций МКЭ (2.2.1) совместны – принад- лежат энергетическому пространству вариационной задачи (1.4.11);
 на каждом конечном элементе Ω
r
схемы выполняются тождества крите- рия полноты (2.5.7) порядка
p≥m.
Тогда справедлива оценка погрешности МКЭ:
1
||
||
||
||
*
,*
,
( )
( )
( )
h
p
Ch

 


u x u x
u x
l
,
(2.8.1) где u

(x) – решение задачи (1.3.7), u
h
(x) – решение задачи (2.1.20) и
=min(p+1–l,2(p+1–m)), 0≤l≤p.
Доказательство
Доказательство следует из теоремы 3.7 работы [88]. 
Рассмотрим теперь несовместные аппроксимации.
Теорема 2.8.2
Пусть при
h
0:
 разбиение области на конечные элементы Ω
h
регулярно;
 система аппроксимирующих функций МКЭ (2.2.1) удовлетворяет тожде- ствам критерия полноты (2.5.7) и несовместности (2.7.3) порядка
p,
m≤p<2m;
 системы функции (2.1.6) и (2.7.2) на каждом конечном элементе расчет- ной схемы удовлетворяют условиям (2.6.2) и неравенствам (2.1.9).
Тогда согласно [32, 36] обеспечивается устойчивость дискретной схемы и справедлива оценка погрешности метода:
1 1
1
*
*
,*
,
( )
( )
( )
h
p
p m
h
C
 
 


u x
u x
u x
A
,
(2.8.2)
2 1
*
*
,
*
( )
( )
( )
p
C h

 


u x
u x
u x
h
,
(2.8.3) где константы С
1
и С
2
не зависят от
h и u(x),
=min(p+1-l,2(p+1–m)), 0≤l≤p.
Доказательство
Выполнены условия теорем 2.5.1, 2.6.1 и 2.7.1. Поэтому система аппрок- симирующих функций МКЭ (2.2.1) полна в энергетическом пространстве, дискретная схема устойчива и согласно оценок (2.5.8) и (2.7.4) получаем, что выполнено неравенство (2.8.2).
Порядок сходимости по перемещениям в неравенстве (2.8.3) получим стандартным приемом Нитше [88], который состоит в рассмотрении вспомо- гательной задачи (1.3.7) с правой частью – невязкой решения.
*
h

 u u
A
(2.8.4)

46
Глава 2. Метод конечных элементов
Для решения

задачи (2.8.4) и произвольной функции

h

L
h
:
2
*
||
||
*
*
*
*
*
)
[
] [
] ( ,
)
[
] (
, ) .
(
,
,
,
,
h
h
h
h
h
h
h
h











u
u
u
u
u
u
u
u
u
f

 




A
A
(2.8.5)
Если считать

h
функцией наилучшего приближения, то по теореме 2.5.1 для любой совместной функции

ψ,h
, построенной по системе (2.7.2):
2 2
1 1
,*
p ,*
h
p
m
Ch
 



 

A
Выберем

ψ,h
как функцию наилучшего приближения

. Тогда по теореме
2.7.1 и оценке (2.7.4)
1
*
*
2 2 1
1 1
2
,
,
,
,
,
|
] ( ,
) |
,
[
h
h
p p
m
h
p
m
p
m
h
p
Ch
Ch

 
 



  






u
u
u
f
A
  



,
1 2 2 2
1 2
1
,
*
,
,
,
,*
|[
] (
, )
,
|
h
h
p p
p
m
p
m
h
m
m
h
Ch
Ch





  
 





u
u
u
u
u
A
A




Из теории дифференциальных уравнений известно, что
2
*
*
,
h
m
С



u
u

Применив полученные оценки в (2.8.5), получаем (2.8.3). 
Если при построении гибридных конечных элементов использовать одни и те же системы аппроксимирующих функций и для перемещений и для на- пряжений, то для них будут справедливы полученные оценки погрешности для решения вариационной задачи Лагранжа обычными элементами. Но при этом можно получить меньшие значения констант
С
1
и
С
2
Для каждого конечного элемента рассматриваются так называемые па-
тологические (pach) тесты
. Идея pach-теста состоит в том, что для «хоро- шей» задачи с известным аналитическим решением специально применяется крайне хаотично сконструированная расчетная модель.Они предназначены для проверки правильности программной реализации в вычислительном ком- плексе соответствующих алгоритмов его построения. Как правило, это тесты: проверяющие смещение конечного элемента как жесткого тела, наличие по- стоянных деформаций (усилий) при заданных воздействиях. Т.е. это фактиче- ски проверка соответствующих тождеств критерия полноты. Но надо пом- нить, что согласно доказанным в данном разделе теоремам, выполнение па- тологических тестов
не гарантирует сходимость метода.

Глава 2. Метод конечных элементов
47
2.9. Внутренние степени свободы конечных элементов
Часто конечный элемент представляет собой некоторую мини- конструкцию. Так, например, реализуются шарниры/ползуны в стержневых элементах.
Рис. 2.9-1.
Шарнир в стержневом элементе
Рассмотрим элемент на рис. 2.9-1. Узлы А и C элемента принадлежат рас- четной схеме, а узел B, соединенный шарнирно с А является «внутренним» узлом элемента. В систему уравнений МКЭ вводятся уравнения, связываю- щие неизвестные значения степеней свободы узлов А и С, а неизвестные зна- чения степеней свободы узла B можно исключить уже на этапе построения матрицы жесткости элемента.
Существуют конечные элементы с целой сетью внутренних узлов, приме- ры которых приведены на рис. 2.9-2.
Рис. 2.9-2.
Примеры плоских серендиповых элементов
Если данные узлы имеют такие же степени свободы, как и узлы в верши- нах области, то элементы со специальными методами построения аппрокси- маций
1
называются серендиповыми [27, 28]. Т.к. внутренние узлы не связаны с узлами других конечных элементов, то их степени свободы тоже можно ис- ключить на этапе построения систем аппроксимирующих функций.
Пусть на конечном элементе Ω
r
введены дополнительные
K степеней сво- боды, которые могут интерпретироваться, например, как значениями пере- мещений, деформаций или усилий во внутренних узлах элемента:
=
1 2
{
}
,
,
, ,...,
r
r k

q k =
K


(2.9.1)
1
Элементами серендипового типа называется последовательность элементов по- лученная повышением степени полинома аппроксимаций с увеличением числа узлов на сторонах/гранях элемента. При этом не обязательно возникают показанные на рис. 2.9-2 внутренние узлы сеток.

48
Глава 2. Метод конечных элементов
Внутренние степени свободы могут и не иметь реальное физическое со- держание и им необязательно должен соответствовать определенный диффе- ренциальный оператор.
Матрицу жесткости (2.1.11) элемента запишем в блочном виде
,
,B
,B
,C
r A
r
r
T
r
r


 



K
K
K
K
K

,
(2.9.2)
,
,A ( ),( )
[
]
r
r
r A
ij
i
j 

K
K
,
,
,B ( )
,( )
[
]
r
r
r
r B
ij
i
j



K
K

,
,
,C ( ),( )
[
]
r
r
r C
ij
i
j 

K
K

Подматрицы K
r,B
и K
r,С
могут быть построены, например, с помощью до- полнительных аппроксимирующих функций. При этом матрица K
r,С
должна быть невырожденной.
Аналогично для нагрузки получаем
,
,
r A
r
r


 



f
f
f
C

, где
,
,
( )
,
,
( )
,
r
r
T
T
r A
r
i
r
r
i
f
f


  
  
 


f
f
i
C
j



(2.9.3)
Уравнения, связывающие дополнительные степени свободы, имеют вид:
 
 
+
,B
,C
,С
( )
\
( )
r
r
rr
T
r
i
r
i
r
i
i
q
q





K
K
f


(2.9.4)
Поэтому,
 
 


1
,C
,С
,B
( )
( )
r
r
T
i
r
r
r
i
i
i
q
q





K
f
K

(2.9.5)
Cледовательно, матрица жесткости (2.1.11) конечного элемента Ω
r
и от- корректированный вектор нагрузки (2.1.18) имеют вид
1
:
1
,
,B
,
,B
T
r
r A
r
r C r



K
K
K K K
,
1
,A
,B
,C
,B
r
r
r
r
r



f
f
K K
f
(2.9.6)
Допустим, что всем дополнительным степеням свободы элемента из
r


можно поставить в соответствие некоторые функции. Тогда полную систему аппроксимирующих функций можно представить как:
=
,
= 0,
,
Ω
( ),
( )
,
( ) ( )
,( )
r
s
k
r
r
r
δ






φ
φ
φ x φ x
j
j
k
r
i
r
i
i
i
i j
k





R
L
L
. (2.9.7)
Функции системы (2.1.6) можно выразить через (2.9.7):
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
r
r
r
r
i
i
ij
a






 











φ x
φ x
φ x
r
r
r
i
i
i
j
j




,
(2.9.8) где коэффициенты а
ij
в (2.9.8) находятся из условия ортогональности функ- ций
,( )
r

φ
r
i
i
функциям
,( )
r
j
r

φ j


в норме || ||
A
:
1
Данный процесс называют еще конденсацией дополнительных степеней свобо- ды.

Глава 2. Метод конечных элементов
49 1
( )
( )
,B
,
( )
( )
( )
( )
r
r
r
r
r
r
i
i
j
i
r
r C
j
j






 










φ x
φ x
K K
φ x



(2.9.9)
Представленные алгоритмы позволяют значительно упростить построе- ние расчетных схем, включив некоторые действия внутрь конечного элемен- та и уменьшив при этом порядок системы уравнений метода.
При определении внутренних усилий в конечном элементе требуется при наличии дополнительных степеней свободы/уравнений решить обратную за- дачу: определить значения дополнительных степеней свободы элемента Ω
r
по значениям «внешних» степеней свободы. Это часто используют в случае, Ес- ли определена система функций (2.9.7), то при этом используется формула
(2.9.5).
2.10. О системах координат
При решении задачи МКЭ используются различные системы координат как для описания самой расчетной схемы и выдачи результатов вычислений, так и для упрощения реализации самих вычислений.
Система координат расчетной схемы
При описании задачи нам необходимо задать ее систему координат. Это может быть:
 трехмерная задача теории упругости в пространстве XYZ;
 плоская задача теории упругости в произвольной плоскости;
 изгибаемая плита в плоскости XOY;
 комбинированная система в трехмерном пространстве XYZ, включающая в себя стержни, плиты, оболочки и пространственные тела;
 плоскость, на которую отображена рассматриваемая пологая оболочка.
Очевидно, что возможны и другие, не перечисленные выше, варианты за- дания систем координат расчетной схемы.
Система координат жесткостных характеристик
Уже для ортотропного материала удобнее задавать направления главных осей, чем пересчитывать жесткости, например, в систему координат расчет- ной схемы, получая при этом анизотропию. Даже для плоской задачи в самом общем случае проще задать
девять чисел, чем двадцатьодно.
Системы координат узлов
Как правило, перемещения являются степенями свободы узлов расчетной схемы. Часто необходимо задать косую связь. Если не вводить дополнитель- но систему координат узла, то для ее реализации необходимо использовать специальные конечные элементы.
Системы координат конечных элементов
При построении конечного элемента часто вводится местная система, оп- ределенная только на нем и выбранная из соображений удобства соответст-

50
Глава 2. Метод конечных элементов вующих построений и проведения вычислений. Очевидно, что первоначально все степени свободы элемента рассматриваются в этой системе координат и в ней же выполняются соответствующие вычисления (построения).
Запишем преобразование местной системы координат элемента в систему координат расчетной схемы в следующем виде:
( )

x x x'
(2.10.1)
И, следовательно:
1 1
2 1
2
,
( )
,
,...,
,...,
T
T
s
s











 

 













x
x
x
x
x
x
x
J
(2.10.2)
1 2
1 1
1 1
2 2
2 2
1 2
( )
s
s
s
s
s
s




































 









x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
J
– матрица Якоби преобразования. (2.10.3)
Рассматриваются только такие невырожденные преобразования (2.10.1), для которых Якобиан
J = |J(x)| > 0 в любой точке элемента.
Интегралы преобразуются таким образом:
( )
( ( '))
'
( ')
d
d





x x
x x
x
J x
F
F
(2.10.4)
Из (2.10.2) следует, что в интегралах для вычисления элементов матрицы жесткости якобиан (2.10.3) будет стоять в степени 1-2
m, где m – порядок дифференцирования при вычислении деформаций.
Векторы степеней свободы, матрицы жесткости и приведенные узловые нагрузки в общей (глобальной) и местной системах координат связаны равен- ствами:
,
,
,
r
T
T
T
r
r
r r r
r r
r
r
K
K




q
q S
S
S
f
S f
=
=
1 2
0 0
r
r
r
N
r
r













S
S
S
S
,
(2.10.5) где матрица S
r
имеет блочно-диагональную структуру, а прямоугольные подматрицы S
r
i
имеют размерность числа степеней свободы узла элемента, которая может быть меньше числа степеней свободы узла расчетной схемы.
В большинстве случаев преобразование (2.10.1) – линейное, и, даже, ор- тогональное. В этом случае Якобиан является константой и выносится из под знака интеграла. Если при этом в узлах конечного элемента определены только значения всех
s линейных степеней свободы узла, а преобразование
(2.10.1) ортогонально, то подматрицы S
r
i
совпадают с матрицей Якоби
(2.10.3).

Глава 2. Метод конечных элементов
51
Если преобразование (2.10.1) нелинейно, то такие конечные элементы на- зываются
изопараметрическими, если преобразование производится на пра- вильный многогранник (квадрат, куб, …). При нелинейности преобразования
(2.10.1), как правило, достаточно сложно получить точные значения элемен- тов матрицы жесткости, но данная проблема решается использованием более точных кубатурных формул. (см.
Приложение). Надо помнить, что для эле- ментов, не являющихся правильными многогранниками (многоугольниками) в общем случае изопараметрические элементы
не гарантируют сохранение симметрии расчетной схемы в результатах расчета и инвариантность расче- тов при изменении порядка нумерации узлов.
Как правило, в преобразовании (2.10.1) используют аппроксимации дру- гих конечных элементов, имеющих только линейные степени свободы в тех же узлах. При этом преобразование выполняется на
мастер элемент – эле- мент «правильной» геометрической формы: квадрат, квадрат с узлами в сере- динах сторон, прямоугольный треугольник с единичными катетами, куб и т.п.
Система координат задания нагрузок
Задание нагрузок в современных вычислительных комплексах возможно:
 в глобальной системе координат – в системе координат основной схемы;
 в специальных системах координат: цилиндрической, сферической и т.п.
В этом случае производится автоматическое разложение, например, ра- диальной нагрузки на ее составляющие;
 в местной системе координат элемента: нагрузка по нормали к поверхно- сти оболочки и др.
Система координат выдачи усилий
При расчете часто необходимо получать усилия и напряжения в элемен- тах расчетной схемы в специальных системах координат, которые обуслов- лены конструктивными особенностями: например, расположением арматуры.
Особенности преобразований
Все выше перечисленные системы координат необходимо учитывать при построении конечных элементов:
 преобразование жесткостных характеристик в систему координат по- строения матрицы жесткости элемента;
 преобразование матрицы жесткости в систему (системы) координат узлов расчетной схемы;
 преобразование нагрузок, заданных в общей системе координат, к системе координат элемента;
 приведение местных нагрузок на элемент к узловым в их системах координат;
 преобразование вычисленных значений степеней свободы узлов в системы координат элементов;

52
Глава 2. Метод конечных элементов
 преобразование вычисленных характеристик напряженно-деформиро- ванного состояния к заданным системам координат.
2.11. Построение систем аппроксимирующих функций
При построении систем аппроксимирующих функций МКЭ наиболее простым в реализации является использование полиномов, для которых мож- но легко получить аналитические выражения для элементов матрицы жестко- сти или использовать точные формулы численного интегрирования.
Основываясь на доказанных теоремах, можно сформулировать методику исследования и построения новых конечных элементов с полиномиальными аппроксимациями:
 строится некоторое приближение – система функций (2.9.7), в которой определены как основные аппроксимации, так и аппроксимации внутрен- них степеней свободы
=
,
= 0,
,
Ω
( ),
( )
,
( ) ( )
,( )
r
s
k
r
r
r
δ






φ
φ
φ x φ x
j
j
k
r
i
r
i
i
i
i j
k





R
L
L
; ;(2.11.1)
 для каждого конечного элемента рассматриваются тождества критерия полноты (2.5.7) до порядка
p
 m, и непосредственной подстановкой про- веряется их выполнение для системы аппроксимирующих функций
(2.11.1), определенной на элементе;
 если критерий полноты не выполнен, то рассмотрим ненулевые невязки:


1 2
( )
( )
(
(
)
,
,
,...,
)
j
r
r
r
j
j
j
j
jk
r





φ x
λ x
α
α α
α
i
i
i
=

L P
P
Z


,
(2.11.2) где

1
,

2
,…–соответствующие степени полиномов.
Несложно проверить, что
0, (i) Ω
r
, j=1,2,…,k.
Возможны два варианта использования функций (2.11.2): а) ввести как внутренние степени свободы без привязки к конкретным
«внутренним узлам». Тогда
( )
r
φ x
i

=
(
)
i
r
α
λ
x , i=1,2,…,k.
(2.11.3)
Cистема функций (2.11.1) будет удовлетворять критерию полноты соот- ветствующего порядка; б) определить функции (2.1.6):
1
( )
( )
( )
k
r
ij j
j
r
r
b



 
φ x
φ x
λ x
i
i

,
(2.11.4) где константы
b
ij
будут заданы из условия выполнения соответствующих то- ждеств критерия полноты.
Подставим (2.11.4) в тождества критерия полноты:
1 1
( )
( )
( )
( )
( )
(
) (
)
(
(
) (
).
)
j
j
j
r
k
k
r
r
r
r
r
in n
in n
n
n
r
j
r
b
b







 



φ x
λ x
λ x
λ x
i
i
i
i
i

L P
L P
P



(2.11.5)
Получаем
k систем уравнений для определения b
ij
:

Глава 2. Метод конечных элементов
53 1
0
( )
,
(
)
,
|
,
r
ij
j
j
b
p








α α
α
α α
i
i
=
|

L P
(2.11.6)
Полученные системы уравнений могут быть не определены, если число аппроксимирующих функций больше числа тождеств критерия полноты.
Функции
, как правило, несовместны;
 для несовместных аппроксимаций выбирается совместная система функ- ций, соответствующая тем же степеням свободы и удовлетворяющая кри- терию полноты (2.5.7) порядка
p иусловиям (2.6.2):


,
( ),
( )
,
( ,
) ( )
j
s
j
r
r
r
r
r
j


 
χ x
χ x
χ
φ
i
i
i
i
i

R
L
L
(2.11.7)
Такой системой может быть, например, часть полной совместной систе- мы функций с большим числом степеней свободы без учета функций, со- ответствующих некоторым степеням свободы;
 проверяются условия критерия несовместности (2.7.3) порядка p  m. Ес- ли он не выполнен, то выполняется корректировка аппроксимаций.
Введем дополнительные функции по числу уравнений
k
p
критерия несо- вместности (2.7.3):


1 2 0
,
,
, ,
,
( )
,
( )
( )
r
p
r
k
i
k
r
k
k





μ x
μ x
i
L
(2.11.8)
Корректировку функций
( )
r
φ x
i

и
( )
r
φ x
i

выполим следующим образом:
1
( )
( )
( )
p
k
r
k k
k
r

 
 
ψ x
ψ x
μ x .
(2.11.9)
Коэффициенты в (2.11.9) получаем как решения систем ненулевых урав- нений из критерия несовместности (2.7.3) при |α|p:
1 1
,
,
,
,
[
( ),
( )]
[
( ),
( )
( )] , ( )
,
[
( ),
( )]
[
( ),
( )] , ( )
,
p
r
r
p
r
r
k
s
r
s
r
r
j
ik k
j
i
i
k
k
s
r
s
r
j
ik k
j
i
r
k
r
r
r













x
μ x
x φ x
χ x
x
μ x
x φ x
i
i







P
P
P
P
(2.11.10)


,
,...,
p
j
j
k

α
α α
α
=
Z
Функции
(x) должны обеспечивать невырожденность матрицы систем уравнений (2.11.10).
Покажем, что для системы функций (2.11.9) сохраняется порядок выпол- нения критерия полноты (2.5.7).
Теорема 2.11.1
Пусть система функций (2.11.1) удовлетворяет критерию полноты (2.5.7) порядка
p. Тогда корректировка ее по формулам (2.11.9) и (2.11.10) не пони- жает порядок критерия
.

54
Глава 2. Метод конечных элементов
Доказательство
Пусть существует ненулевая функция в (2.11.2)
0 0
0 0
,
,
( )
(
( ) (
)
)
s
s
j
j
i




ζ x
ψ x
i
P
P
L


i
(2.11.11)
Но тогда функция
(
)
ζ x
является линейной комбинацией функций (2.11.9), потому что
1 1
,
,
( )
( )
( )
(
( )
( ))
( )
( )
( )
)
(
p
p
k
k
r
s
r
s
r
i
j
ik k
j
ik k
k
k
r
r















ζ x
φ x
P
x
μ x
P
x
μ x
α
α
i
i
i
L
i ,
Следовательно, при ненулевых коэффициентах не будут выполнены ус- ловия несовместности, т.к. матрица уравнений (2.11.10) невырождена. 
2.12. Метод подобластей (SubAreas, SA)
Если полиномиальный закон определен на всем конечном элементе, то уже для реализующего теорию тонких плит Кирхгоффа-Лява прямоугольного элемента с тремя степенями свободы в узле невозможно построить совмест- ную систему аппроксимирующих функций, представляющую собой просто определенные на всей области элемента полиномы. А, как известно, несовме- стность приводит к значительной потере точности метода.
Существует методика построения совместных элементов для решения та- ких задач путем введения кусочно-полиномиальных аппроксимаций.
В работе [110] при построении треугольных КЭ плиты с 9-ю и 12-ю сте- пенями свободы был предложен метод подобластей, позволяющий значи- тельно расширить область применения полиномиальных аппроксимаций. В ней треугольник разбивается медианами на три треугольника, на каждом из которых используются полиномы третьей степени. Так как двумерный поли- ном третьей степени имеет 10-ть одночленов, то 30-ть коэффициентов одно- значно определяются из:
 условий МКЭ (2.1.7):
 ;
 условий совместности на границах элементов;
 дополнительных условий, обеспечивающих совместность на границах между областями.
В [37] данный прием был применен при построении треугольных КЭ пли- ты с 18-ю степенями свободы. На каждой из подобластей задавались полино- мы 4-й степени.
В работе [114] аналогичный прием был применен при построении систе- мы аппроксимирующих функций выпуклых четырехугольных конечных эле- ментов плиты с 12-ю и 16-ю степенями свободы, где элемент разбивался диа- гоналями на четыре треугольника. На каждой из областей использовались также полиномы третьей степени и ,соответственно, решалась система 40-го порядка. В [38] данный прием был использован при построении четырех-

Глава 2. Метод конечных элементов
55 угольных элементов с 24-мя степенями свободы с использованием полиномов
5-й степени. В [39, 117] приведены кусочные полиномы второго порядка для четырехугольного элемента плоской задачи теории упругости.
Будем считать, что все рассмотренные на рис. 2.12-1 КЭ лежат в пл. XOY.
При этом первыми всегда нумеруются их вершины, а только потом промежу- точные узлы на сторонах. a) б)
Рис. 2.12-1. Треугольный и четырехугольный элементы
Воспользуемся преобразованием системы координат XOY в специальную систему координат
О:

 


 

4 2
4 2
A
A
A
A
A
A

















x x
x
x
x
x
y y
y
y
y
y
(2.12.1) где: x
A
, y
A
для треугольных КЭ – точка пересечения медиан, для четыреуголь- ных – точка пересечения диагоналей. a) б)
Рис. 2.12-2. Треугольный и четырехугольный элементы в специальных системах координат
На рис. 2.12-2 изображены треугольный и четырехугольный элементы, преобразованные в специальные системы координат. На этих рисунках при- ведены используемые в дальнейшем нумерация узлов и подобластей, коор- динаты узлов после преобразования (их значения или обозначения).

56
Глава 2. Метод конечных элементов
Запишем (2.12.1) в матричной форме:
   
,
r
S



x
y
i
A
j
A
r
i
A
j
A
S




 





x
x
x
x
y
y
y
y
(2.12.2)
Преобразование вектора нормали N
k
к стороне элемента тогда запишется в следующем виде:


1
,
k
k
T
k
r
k
S
n
n





n
N
(2.12.3) а) б)
Рис. 2.12-3. Треугольный и четырехугольный элементы в местных системах координат
Преобразование можно значительно упростить, если расположить эле- менты так, как это показано на рис. 2.12-3.
Для треугольного элемента тогда:
1 2 2
3 2
1 3
((
)
( b a)
)
(
)
a b
a b
с




 



 


   


x
y
,
2 1
2 1
1 1
1 2 1
(
)
(
)
b
a
c
a
b
a
c
a


   



 




x
y
x
y
, (2.12.4) или

11 12 11 21 12 22 21 22 1
2 1
2 2
1
,
r
r
a
b
a b
r
r
r
r
r
r
a
a
ac
ac














x
y
,
,
,
x
y
. (2.12.5)
Для четырехугольного элемента:
1 1
1
(
)
(
)
(
)
d
d
a
e




  






 

 


β
x
β
β
β
y
β
β
β
,
1
(
)
(
)
(
)
ae


 






ex dy
cx+ a -b y - ac
cd + a -b e - ac
,
(2.12.6) или

11 12 21 22
r
r
r
r








x
y
x
y
, (2.12.7) где
11 12 21 22 1
(
)
(
)
r
r
r
r
a

 




d
c
a -b
,
,
,
ae
cd
a -b e- ac
cd
a -b e- ac
,
,
(
)



 

eb- dc
ac
ac
cd
a -b e- ac
Возможен такой подход к построению аппроксимаций:

Глава 2. Метод конечных элементов
57
 представим одномерные функции на каждой из подобластей  полино- мами соответствующей степени (не обязательно полными):
2 2
1 2
3 4
5 6
( , )
i
i
i
i
i
i
i
j
j
j
j
j
j
С
С
С
С
С
С
 














;
(2.12.8)
 составим уравнения совместности на границах между подобластями;
 составим уравнения МКЭ (2.1.7);
 добавим, при необходимости, условия совместности на сторонах элемен- та или уравнения критерия несовместности (2.11.10).
Пусть теперь известны функции

i
(
,), которые являются на каждой из подобластей
 полиномами требуемой степени, удовлетворяют условиям
МКЭ (2.1.7)и обеспечивают необходимую гладкость на границе элемента. Но у них могут быть нарушены условия совместности на границах подобластей.
Аппроксимирующие функции системы (2.1.6) для рассматриваемых эле- ментов будем искать в виде:
( , )
( , )
( , )
i
i
i
  

 





(2.12.9)
Дополнительные условия для обеспечения требуемой гладкости в

r и сходимости МКЭ обеспечим за счет корректирующих функций

i
(

,

). Пред- ставим их на каждой из подобластей

в следующем виде:
 
2 2
1 2
3 4
5 6
1
,
...)
(
) (
i
j
j
j
j
j
m
i
i
i
i
i
j
i
j
j
C
C
C
C
C
C
a
b


  





 






, (2.12.10) где:
m – индекс рассматриваемого пространства вариационной задачи
;
a
j
,b
j
– координаты вершин подобласти
 в системе координат

О

:
 для треугольных элементов a
3
b
2
1, b
3
a
2
0, a
2
b
3
1;
 для четырехугольных – a
3
b
4
1, b
3
a
4
 b
2
a
1
0, a
1


,
b
2


Коэффициенты в (2.12.10) могут быть найдены как решения систем линейных алгебраических уравнений, полученных из условий гладкости функции

n
(
,) в точке A – условий равенства для различных подобластей

значений функций и их производных (или их комбинаций):
 
0
,
, ,
,
(
)
, ( )
k
r
i j
k
ij
r
i
j
n
n
lim
 
 
 
 

 






 
n
(2.12.11)
Условия выбираются таким образом, чтобы обеспечить гладкость ап- проксимирующих функций и условия сходимости МКЭ. Конкретный вид данных условий и соответствующих им уравнений будет приведен при по- строении соответствующих конечных элементов.
Существует и другой способ применения функций

i
(

,

), если их доба- вить в качестве внутренних степеней свободы.
Применение метода подобластей несколько усложняет построение ап- проксимаций, но это плата за совместность. А в случае элементов сложной формы этот метод предпочтительнее, например, изопараметрических элемен-

58
Глава 2. Метод конечных элементов тов, использование которых приводит к появлению погрешности численного интегрирования.

Глава 3. Трехмерная задача теории упругости
59