Метод конечных элементов и задачи теории упругости. Карпиловский_FEM. В. С. Карпиловский Метод конечных элементов и задачи теории упругости
 Скачать 5.35 Mb.
|
|
Глава 3. Трехмерная задача теории упругости 3.1. Основные уравнения Рассмотрим напряженно-деформированное состояние в произвольной точке трехмерного тела x={x ,y, z} T , на которую действуют внешние объем- ные нагрузки f(x)={f x , f y , f z } T , под действием которых вызываются перемеще- ния u(x)={u, v, w} T Выделим вокруг этой точки элементарный параллелепипед, изобра- женный на рис. 3.1-1. На гранях параллелепипеда приложены напряжения, которые статически эквивалентны действию отброшенных частей тела: σ x , σ y , σ z – нормальные напряжения, параллельные осям X, Y и Z; τ xy , τ xy , τ yz – касательные напряжения в соответствующих плоскостях. Рис. 3.1-1. Напряжения в трехмерном теле Если объем параллелепипеда стремится к нулю, то напряженное состоя- ние в точке x характеризуется вектором нормальных и касательных напряже- ний { } ( ) , , , , , T σ x x y z xy xz yz (3.1.1) C учетом закона парности касательных напряжений: , , xy yx xz zz yz zy В рассматриваемой точке уравнения равновесия Навье имеют вид: 0 0 0 f f f yx x zx x xy y zy y yz y xz z x y z x y z x y z (3.1.2) Деформации Деформация точки x трехмерного тела описывается вектором 60 Глава 3. Трехмерная задача теории упругости { } ( ) , , , , , T ε x x y z xy xz yz , (3.1.3) где: ε x , ε y , ε z – линейные деформации, xy , xz , xz – сдвиговые. При линейной постановке соотношения между перемещениями u (x)={u, v, w} T и деформациями Коши (1.3.2) имеют вид: , , , , , x y z xy xz yz x y z y x z x z y u v w u v u w v w (3.1.4) В линейном случае деформации и перемещения связаны между собой до- полнительными шестью равенствами, т. н. уравнениями совместности де- формаций Сен-Венана: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ), ( ), ( ) , , , xz yz xy x xz y yz xy xz yz xy z y xy x x xz z y yz z y z x x y z x z y x y z x y z x y z x y y x x y z y x y z y (3.1.5) Обобщенный закон Гука При линейной зависимости деформации и изотропии материала напряже- ния и деформации связаны законом Гука в следующем виде без учета темпе- ратурных деформаций: 1 1 1 1 1 1 , ( ), , ( ), ( ), E G E G E G x x y z xy y x y z xz xz z x y z yz yz xy (3.1.6) Или, после обращения: Глава 3. Трехмерная задача теории упругости 61 2 2 2 , , , , , G G G G G G x x xy xy y y yz yz z z xz zx (3.1.7) где: E – модуль Юнга, – коэффициент Пуассона, x y z – объемная деформация, 1 1 2 2 1 , ( )( ) ( ) E E G – коэффициенты Ляме. (3.1.8) Матрицы A и C в (1.3.1) и (1.3.2): 0 0 0 0 0 0 0 0 0 T A x y z y x z z x y , 2 2 2 G G G G G G C (3.1.9) В самом общем случае для анизотропного тела матрица C связи напряже- ний и деформаций в (1.3.1) имеет вид [1,50]: 1 1 1 1 yx xy,x yz,x xz,x zx x x x x x x xy zy xy,y xz,y yz,y y y y y y y yz xy,z x xz z z z z E E E E E E E E E E E E E ν η η η ν E ν ν η η η E ν η η ν E C 1 1 z yz,z z,z z z x,xy y,xy z,xy xz,xy yz,xy xy xy xy xy xy y,x xy,xz yz,xz x,xz z,xz xz xz xz xz xz x,yz yz E E η μ μ η η G G G G G η G η η η η μ μ G G G G G 1 y,yz z,yz xy,yz xz,yz yz yz yz yz η η μ μ G G G G (3.1.10) И, следовательно: 1 1 1 ( ) ( ), , ( ) , x x yx y zx z xy,x xy xz,x xz yz,x yz x y xy x y zy z xy,y xy xz,y xz yz,y yz y z xz x yz y z xy,z xy xz,z xz yz,z yz z ν ν +η +η +η E ν + ν +η +η +η E ν ν + +η +η +η E 62 Глава 3. Трехмерная задача теории упругости 1 1 ( ), ( ), ( ), G G xy x,xy x y,xy y z,xy z xy xz,xy xz yz,xy yz xy xz x,xz x y,xz y z,xz z xy,xz xy xz yz,xz yz xz yz x,yz x y,yz y z,yz z xy,yz xy xz,yz xz yz yz η +η +η + + μ + μ 1 η +η +η + μ + + μ G η +η +η + μ + μ + (3.1.11) где: E x , E y и E z – модули упругости материала по осям X, Y и Z; G xy , G xz и G yz – модули сдвига в соответствующих плоскостях, характери- зующие изменение угла; xy , yx , xz , zx , yz , zy – коэффициенты Пуассона, характеризующие попе- речное сокращение при сжатии или расширение при растяжении в на- правлении соответствующих осей координат; xy,x , xy,y , xy,z , xz,x , xz,y , xz,z , yz,x , yz,y , yz,z – коэффициенты взаимовлия- ния первого рода, характеризующие удлинения в направлении осей коор- динат под действием касательных напряжений, действующих в коорди- натных плоскостях; x,xy , y,xy , z,xy , x,xz , y,xz , z,xz , x,yz , y,yz , z,yz – коэффициенты взаимовлия- ния второго рода, характеризующие сдвиги в координатных плоскостях от нормальных напряжений, действующих в направлении осей коорди- нат; μ xy,yz , μ xy,xz , μ yz,xy , μ xz,xy , μ xz,yz , μ yz,xz – коэффициенты, характеризующие сдвиги в плоскостях, параллельных координатным, вызванные касательными на- пряжениями, действующими в других плоскостях. При этом выполняются условия симметрии: yz zx x x,xy xy xy,x x x,yz yz y x x,xz xz xz,x y y,xy xy xy,y y y,xz xz xz,y z z,xy xy xy,z z z,xz xz xz,z xy xy,xz xz xz,xy xy xy,yz yz yz,x x xy y yx y z zy x xz z y = = E = = = E η = G η , E η = G η E η = G η , E η = G η E η = G η η ν E ν , E ν E ν E ν E ν , G E η = G E η = G η G G G , , , , , μ μ , μ μ , z,x y y,yz yz yz,y z z,yz yz yz,z xz zx,yz yz yz,xz = , E η = G η E η = G η G G , , μ μ . (3.1.12) Существуют три инварианта, связывающие перечисленные упругие по- стоянные. Таким образом, получаем из 36-ти всего 18-ть независимых вели- чин. Рассматриваются частные случаи анизотропии: ортотропия, когда три плоскости упругой симметрии совпадают с коор- динатными осями, и обобщенный закон Гука упрощается из-за равенства нулю всех дополнительных коэффициентов: Глава 3. Трехмерная задача теории упругости 63 1 1 1 1 1 1 , ; , , , , xy xz yz G G G xy zx x x y z xy xy x y z xy yz y x y z xz xz x y z yz zx z x y z yz yz x y z z E E E z E E E z E E E (3.1.13) трансверсальная ортотропия являетсячастным случаем ортотропии, когда жесткости по двум направлениям совпадают. Например, E x = E y = E, xy = yx , G xz = G yz .= G. (3.1.14) Для изотропного тела уравнения равновесия Навье (3.1.2) можно записать в виде системы дифференциальных уравнений Ляме: 0 0 0 ( ) ( ) ( ) G u G G v G G w G x y z f x f y f z , (3.1.15) 2 2 2 2 2 2 x y z – оператор Лапласса, u v w x y z , λ, G – коэффициенты Ляме (3.1.8). Усредненные углы поворота В [61] рассматриваются величины, которые можно интерпретировать как усредненные углы поворота вокруг соответствующих осей: 1 1 1 2 2 2 ) ( ), ( ), ( u x y z y x z x x y w v u w v (3.1.16) Существует большое число элементов, в которых вводятся степени сво- боды, соответствующие (3.1.16). Преобразования систем координат Рис. 3.1-2. Напряжения на наклонной площадке 64 Глава 3. Трехмерная задача теории упругости Пусть в рассматриваемой точке уже известны напряжения по площадкам, параллельным координатным плоскостям. Рассмотрим тетраэдр, изображен- ный на рис. 3.1-2 с ребрами dx, dy, dz и определим напряжения на наклонной площадке АВС. Составляя уравнения равновесия, получаем, что проекции напряжения { , , } T N p p p p x y z по нормали { , , } n n n n x y z к данной площадке равны: x x x xy y xz z y xy x y y yz z . z xz x yz y z z p = n + n + n , p = n + n + n , p = n + n + n (3.1.17) Но σ N , как равнодействующая, равна сумме проекций p N на нормаль: 2 2 2 2 2 2 N n n n n n n n n n x x y y z z xy x y xz x z yz y xz (3.1.18) Формулы для остальных компонент напряженно деформированного со- стояния получаем аналогично. Выведем формулы (3.1.18) как преобразование систем координат. Рас- смотрим две системы прямоугольных координат XYZ и X'Y'Z', начала которых совпадают и пусть матрица ортогонального преобразования (матрица коси- нусов) имеет вид: |