Метод конечных элементов и задачи теории упругости. Карпиловский_FEM. В. С. Карпиловский Метод конечных элементов и задачи теории упругости

• Название: В. С. Карпиловский Метод конечных элементов и задачи теории упругости
• Анкор: Метод конечных элементов и задачи теории упругости
• Дата: 22.06.2022
• Размер: 5.35 Mb.
• Имя файла: Карпиловский_FEM.pdf
• Тип: Документы; #610414
• страница: 6 из 32

x
v x
v y x
y x
x
y x
|
| |
|
|
|





P
D
D
D
P
p p
p - m i , k k
i
1 1
2 1
r,
| |
,
,
( )
)
ˆ
(
, , )
( )
(
, ,
( )
h
s
i
n
p
j
i j
u
v
A
Ch





  
 




x
y x
y
v x
k
p
i
x



| |
+
|
|
|
|
|
|
D
D
i p - m i , k k , r p - α
Т.е.
1 2
2
,*
,
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
( )
( )
(
( )
( )
)
r
h
h
l
l
r






v x
v x
v x
v x
P
P
1 1
2 1
2 2
1
r,
r p
,
,
(
( )
)
( )
h
n
p
l
p
l
l
r
mes
C h
Ch
  
 
 




 v x
v x

(2.5.12)
,*
,*
,*
,*
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
( )
( )
( )
( )
( )
( )
ˆ
ˆ
ˆ
( )
( )
( )
( )
h
h
l
l
h
l
l









v x
v x
v x v x v x
v x
v x v x
v x
v x
||
||
||
||
||
||
||
||
P
P
P
(2.5.13)
Согласно (2.5.9) и (2.5.12) из (2.5.13) получаем, что выполнено (2.5.8). 
Следствие
Для полноты системы аппроксимирующих функций (2.2.1) в
L
A
доста- точно, чтобы на каждом конечном элементе Ω
r были выполнены тождества критерия полноты порядка
p≥m для систем аппроксимирующих функций
(2.1.6).
Доказательство
Согласно теореме (2.5.1) выполнено (2.5.8) и существует функция
v
h
(x)
L
h
, что
1 1
,*
m,*
,
)
( )
( )
( )
( )
( )
p
m
h
h
p
C
C h
 
 






v x
v x
v x
v x
v x
A
(2.5.14) при
h
0 и p≥m.

Глава 2. Метод конечных элементов
41
Критерий полноты (2.5.7) согласно теореме 2.5.1 отвечает на вопрос об условиях полноты системы аппроксимирующих функций (2.2.1) и позволяет перевести анализ на отдельные конечные элементы для систем функций
(2.1.6).
2.6.
Устойчивость дискретной задачи
Если система аппроксимирующих функций (2.2.1) совместна, то условие устойчивости дискретной расчетной схемы (2.4.7) вытекает из условий (1.4.5) положительной определенности оператора
A
краевой задачи (1.3.7). Кон- станта в (2.4.7) ограничена наименьшим собственным число оператора
A
Рассмотрим теперь несовместные аппроксимации. В [32, 36] доказан под- ход, позволяющий свести анализ всей расчетной схемы к анализу конкретных элементов с проверкой тождеств критерия полноты.
Теорема 2.6.1
Для устойчивости дискретного оператора
A
h
достаточно выполнения следующих условий:
 разбиение на конечные элементы регулярно и удовлетворяет (2.1.4);
 на каждом конечном элементе с несовместными аппроксимациями (2.2.1) существует вспомогательная
совместная система функций, соответст- вующая тем же степеням свободы элементов


)
)
( ),
( )
,
, (
(
s
r
r
r
r
r

 

ψ
ψ
x
ψ
x
φ
i
i
i
i
i , j
R
L
L
j j
;
(2.6.1)
 системы функции (2.1.6) и (2.6.1) на каждом конечном элементе расчет- ной схемы удовлетворяют неравенствам (2.1.9);
 для систем функций (2.1.6) и (2.6.1) выполнены все тождества критерия полноты, обеспечивающие перемещение тела как жесткого целого. Для уравнений с одной неизвестной функцией и порядком операций диффе- ренцирования в (1.3.2)
m, это, как минимум, тождества порядка p=m–1.
Т.е., если K
r,

q
r,0
=0, где q
r,0
– собственный вектор, соответствующий нуле- вому собственному числу матрицы жесткости
1
, то
K
r,

q
r,0
=0 и
( )
( )
( )
( )
r
r
r
r
q
q





φ x
ψ x
i,0 i
i,0 i
i
i
(2.6.2)
Доказательство
Т.к., по определению, собственные векторы, соответствующие нулевому собственному числу в обеих матрицах совпадают, то:
1
Т.к. при
,
( )
|
|
s
i
m
 

x
P
A


, то соответствующими собственными векторами будут коэффициенты комбинаций критерия полноты порядка m-1, которым обе сис- темы функций удовлетворяют по определению. Возможны и другие векторы при
|α
i
|≥m, соответствующие нулевому собственному числу. Например, моделирующие чистый сдвиг в пространственной и плоской задачах теории упругости.

42
Глава 2. Метод конечных элементов
( ),( )
( ),( )
( ),
( )
( ),
( )
r
r
r
r
r
r
r
r
i j
i
j
r
i j
i
j
C
q q
q q















φ
φ
ψ
ψ
x
x
x
x
i j
i j
,
C
r
> 0.
(2.6.3)
Докажем, что константа
C
r
не зависит от
h. Поставим в соответствие эле- менту Ω
r
однотипный элемент Ω´ с коэффициентом подобия областей ζ. Ес- ли элементы расположить соответствующим образом в пространстве, то сис- тему аппроксимирующих функций Ω´можно представить в следующем виде согласно (2.1.9):
( )
( )
i
m
r
r
i
i



x
φ x
φ

(2.6.4)
Но тогда:
2
( ),( )
( )
´
,( )
( ),
( )
( ),
( )
[
]
[
]
i
j
r
r
r
m m
r
r
i j
i
о
r
r
n
m
i j
i
j
q q
q q














φ
x
x
φ x φ x
φ
i j
i j
и
2
( ),( )
( ),( )
´
(
[
( ),
( )]
[
),
( )]
i
j
r
r
r
m m
r
r
j
i
о
r
r
n
m
i j
i
j
q q
q q
i














x
x
ψ x ψ x
ψ
ψ
i j
i j
Сделаем замену
i
i
m
i
q
h
q

 
и получим, что неравенство (2.6.3) не зависит от коэффициента пропорциональности
ζ. Из этого следует, что при регуляр- ности разбиения области на конечные элементы существует коэффициент
C
r
в (2.6.3), который не зависит от
h, и для матриц жесткости элемента (2.1.11), построенных по системам функций (2.1.6) и (2.6.1), выполнено неравенство
,
,
r
r
K
K



r
C
Таким образом:
1 2
1
,
,
,
,*
[
,
]
( )
(
( )
( )
)
( )
r
h
h
h
h
C
C







v x
v
x v
x
v
x
r
A
A
,
(2.6.5) где v
h,ψ
(x) – совместная функция, построенная по аппроксимациям (2.6.1), для которой устойчивость дискретной схемы при геометрически неизменяемой системе выполнена. 
2.7. Критерий несовместности
Если система функций (2.2.1) несовместна, то для сходимости МКЭ, кро- ме условий полноты (2.5.7), при
p≥m требуется также доказать условие
(2.4.6). Для его доказательства Б.М. Айронс [101] предложил метод "кусочно-
го тестирования
", заключающийся в проверке равенств
,
*
[
( ),
( )]
s
j
k

x φ x

P
,
= m

| |
,
j=1,2,...,s; (k)
,
(2.7.1) с помощью которого в [62, 88] проанализировано большое число известных несовместных конечных элементов.
Большим недостатком кусочного тестирования является необходимость анализа каждой функции системы (2.2.1) на соответствующей звезде конеч-

Глава 2. Метод конечных элементов
43 ных элементов, что является довольно трудоемкой задачей уже для обычного треугольника.
Предложенный в [23, 24] "
критерий несовместности" и обобщенный в
[32, 36] подход позволил свести анализ к отдельным элементам.
Теорема 2.7.1
Будем рассматривать такую границу
Γ области тела Ω, что любую функ- цию из пространства Соболева
1 2
( ) W
( )
p


u x
можно продолжить на все про- странство
R
s
с сохранением класса.
Пусть при
h
0 разбиение области на конечные элементы регулярно, а на каждом конечном элементе:
 функции системы (2.1.6) удовлетворяют критерию полноты (2.5.7) по- рядка
p, m≤p<2m;
 существует совместная система функций


)
)
( ),
( )
,
, (
(
r
r
s
r
r
r


 
ψ
x
ψ
x
ψ
φ
i
i
i
i
i , j
L
L
R
j j
,
(2.7.2) соответствующая тем же степеням свободы, что и функции системы (2.1.6), и удовлетворяющая на каждом КЭ

r критерию полноты порядка
m–1 и равен- ствам:
,
[
( ),
( )
( )]
r
s
j
k
k



x φ x ψ x

P
(2.7.3) при
m
|

|
 p, j=1,2,...,s; (k)
r
 системы функции (2.1.6) и (2.7.2) на каждом конечном элементе расчет- ной схемы удовлетворяют условиям (2.6.2) и неравенствам (2.1.9).
Тогда существует функция u
h
(x)
L
h
, и справедлива оценка Θ
h
в выраже- нии (2.4.6):
1 1
*
*
* *
*
,
*
,h
(
,
( )
) [
]
p
h
h
h
h
p
h
h
h
Ch


 
 





 


u
u
u u
u
u
u
u
P
P
P
x
A
m
, (2.7.4) где константа
С не зависит от h.
Доказательство
Для упрощения доказательства будем считать, что заданы однородные главные краевые условия рассматриваемой задачи, что не нарушает общно- сти доказательства.
Т.к. система функций (2.7.2) совместна, выполнены условия несовместно- сти (2.7.3) порядка
m≤p<2m, то получаем, что для произвольного вектор- полинома P(x) степени p:
*
*
*
* *
,h
*
*
*
*
*
*
*
( ( ),
)
[ ,
]
( ),
(
)
[
( ),
(
)]
( )
(
)
(
)
r
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h


































 


 
u
u
x u
u
u u
u
x u
u
u
u
u
x u
u
u
u
x
u
u
u
u
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
f
f
f
A


*
,h
,h
,h
( )
(
)]
*
* *
h
h



 

  





u
x
u
u
u
u
P
A
A
A
P
P
P
,
(2.7.5)

44
Глава 2. Метод конечных элементов где

P
– оператор проектирования на пространство совместных аппрокси- маций
L
h,


L
A
.
Но т.к.
,
h h
h


P P
P
, то из теоремы 2.5.1 следует, что
*
*
*
(
)
(
)
m
h
h
h
m
Ch








 

 



u
u
u
u
u
u
P
P
P
P
P
(2.7.6)
Из положительной определенности оператора
A
краевой задачи (1.3.7) и теоремы об устойчивости расчетной схемы 2.6.1 следует:
1
,
*
,
*
*
(
)
(
)
)
h
h
h
m
h
h
h
h
h
С
С







  

   

u
u
u
u
u
u
P
P
P
P
P
A
A
(2.7.7)
Т.к. P(x) – полином степени p, то по теореме 2.5.1 для любой функции
u

(x) его можно выбрать таким, чтобы
1 1
*
*
,
,*
( )
( )
( )
p
l
p
l
Ch
 
 


u
x
x
P
u x
, 0≤
l≤p.
(2.7.8)
Из (2.7.5) – (2.7.8) следует (2.7.4). 
Будем говорить, что несовместная система функций (2.2.1) удовлетворяет
критерию несовместности порядка p
, если на каждом конечном элементе для системы функций (2.1.6) выполнены условия теоремы 2.7.1.
В критерии несовместности (2.7.3) путем введения совместной, но не полной в энергетическом пространстве системы функций (2.7.2), удается све- сти анализ несовместности системы функций (2.2.1) на подсистемы (2.1.6), определенные на конкретных элементах. При этом по теореме 2.6.1 обеспе- чивается также и устойчивость дискретной схемы.
Условиям теоремы можно дать следующую интерпретацию: совместной равновесной системе аппроксимирующих функций
(x) можно дать такие несовместные приращения
(x)–
(x), для которых работа внутренних сил на перемещениях, соответствующих постоянным, линейным и т.д. деформа- циям элемента, равна нулю. При этом система функций
(x) удовлетворяет равенствам критерия полноты, обеспечивающим соответствующий порядок аппроксимации.
2.8. Оценки скорости сходимости метода
Для совместных аппроксимирующих функций (2.2.1) МКЭ является ва- риационным методом, для которого давно установлены необходимые и дос- таточные условия сходимости. При несовместности аппроксимаций задача усложняется, т.к. требуется доказать устойчивость расчетной схемы (2.4.7) и условие аппроксимации (2.4.6) задачи (1.3.7).
Будем рассматривать такую границу
Γ области тела Ω, что любую функ- цию из пространства Соболева
1 2
( ) W
( )
p

