Метод конечных элементов и задачи теории упругости. Карпиловский_FEM. В. С. Карпиловский Метод конечных элементов и задачи теории упругости
 Скачать 5.35 Mb.
|
|
Глава 2. Метод конечных элементов 2.1. Конечные элементы метода перемещений В МКЭ упругое тело Ω, представляющее собой открытую связную об- ласть с бесконечным числом степеней свободы, аппроксимируется дискрет- ной моделью: , , { } r r h i j i j , (2.1.1) где Ω h представляется как совокупность открытых областей Ω r , называемых конечными элементами (КЭ) 1 Каждый конечный элемент Ω r характеризуется следующими свойствами: размерностью используемого пространства (одномерное, двумерное, трехмерное и т.д.); геометрической формой, которая чаще всего является одной из простей- ших геометрических фигур (отрезок прямой, треугольник, прямоуголь- ник, четырехугольник, тетраэдр и т.п.); набором узлов, располагаемых, как правило, на линиях (поверхностях) раздела элементов и являющихся общими для граничащих друг с другом элементов; набором используемых степеней свободы, отнесенных чаще всего к узлам (что не обязательно) – перемещения, углы поворота и т.п.; правилами, определяющими зависимость между перемещениями узлов конечного элемента и узлами системы. Узлы элемента, например, могут быть прикреплены к узлам системы жестко или шарнирно; системой аппроксимирующих функций, определенных внутри области Ω r и позволяющих приближенно выразить компоненты перемещений в лю- бой точке элемента через его степени свободы; физическим законом, определяющим зависимость между внутренними усилиями и перемещениями; классом задач, к которым применим данный тип конечного элемента: пла- стины плоского напряженного состояния, плиты Кирхгофа-Лява, плиты Рейсснера, стержень Тимошенко для пространственной задачи и т.д.; набором допустимых нагрузок и воздействий, которые могут быть при- ложены непосредственно к конечному элементу, и способом их задания; сохранением или не сохранением симметрии при расчете симметричной расчетной схемы; 1 Условия разбиения на конечные элементы (2.1.1) идеализируют расчетную схе- му. Например, при расчете пологих оболочек плоскими конечными элементами Ω h ≠ Ω ребра жесткости пластин могут моделироваться стержнями, лежащими на поверхно- сти плоских элементов и т.п. 26 Глава 2. Метод конечных элементов зависимостью или независимостью результатов расчета от порядка нуме- рации узлов элемента в расчетной схеме; и последним (по списку, но не по значимости!) – перечнем ограничений и рекомендаций по применению. В вычислительных комплексах реализованы, как правило, следующие ме- стные нагрузки на конечные элементы: сосредоточенные, которые приложены к точке x элемента. Очевидно, что в реальной жизни такие нагрузки не существуют, т.к. это идеализация сило- вых воздействий, приложенных на малые площадки. В общем случае в точке приложения нагрузки получаем особенность решения; равномерно распределенные, интенсивность которых постоянна во всех точках элемента. Например, собственный вес; трапециевидные 1 , интенсивность которых меняется на элементе по задан- ному закону. Например, давление воды на подпорную стенку; равномерно распределенные по грани элемента. Это может быть как дав- ление на грань объемного элемента, так и нагрузка по ребру пластины; трапециевидные по грани (стороне) элемента; температурное воздействие как в виде общего нагрева (охлаждения) по от- ношению к температуре замыкания, вызывающее растяжение (сжатие), так и как разность температур на внешних поверхностях, вызывающая изгиб элемента. В МКЭ рассматривается сетка узлов расчетной схемы: , 1,2,..., h i i N x , N – число всех узлов сетки. (2.1.2) Конечные элементы взаимодействуют между собой только в точках сетки ω h . Будем считать, что узлы расчетной схемы геометрически совпадают с уз- лами элементов, соединены с ними жестко и имеют одинаковые имена (но- мера). Элементы могут иметь и не включенные в сетку дополнительные узлы для реализации жестких вставок, шарнирного соединения и т.п. Теоретические исследования и опыт эксплуатации вычислительных ком- плексов показывают, что при разбиении области Ω на конечные элементы появление элементов вырождающейся геометрической формы: прямоуголь- ников с большим соотношением длин сторон, вытянутых треугольников с малыми углами (так называемых “игольчатых” элементов) приводит к неус- тойчивости вычислительного процесса из-за сильного увеличения числа обу- словленности матрицы системы уравнений [80]. Поэтому одной из важнейших характеристик конечноэлементной модели является максимальный диаметр элементов h – минимальный диаметр шара, в который можно вложить любой конечный элемент расчетной схемы: 1 Нагрузка получила название от стержневых конечных элементов, на которых она при графическом отображении имеет вид трапеции. Глава 2. Метод конечных элементов 27 ( sup ) r r h max p x,y x y , (2.1.3) с которым часто связывают оценки погрешности метода. Будем рассматривать только регулярные [89] разбиения области Ω на ко- нечные элементы, когда предполагается, что при бесконечном уменьшении диаметра, т.е. при h 0, соблюдаются следующие условия: 2 i j 1 | ‐ | , , , r h C h i j C h x x , (2.1.4) где Ω ρ – шар радиуса ρ, а константы С 1 , и C 2 не зависят от h. Условия (2.1.4) означают, что расстояние между любыми узлами элемен- та сравнимо по величине с h, в каждый КЭ Ω r расчетной схемы можно вло- жить шар радиуса ρ, а вокруг него описать шар радиуса h. В общем случае в расчетной схеме могут быть узлы с совпадающими ко- ординатами для реализации связей конечной жесткости (специальные эле- менты), или т. н. "шарнирного" соединения элементов конструкции. Но тогда матрицы жесткости элементов при наличии таких узлов не зависят от рас- стояния между ними. Степенями свободы расчетной схемы МКЭ в форме метода перемеще- ний являются значения компонент функции u(x) и некоторых их производ- ных 1 в узлах сетки ω h . Поставим в соответствие каждой степени свободы опе- ратор L k , которому соответствует дифференциальный оператор A k : 1 = = ( )| ( )| k k s k k k x x k,j j x x j q A u u A u x x L (2.1.5) Если степень свободы – перемещение по направлению i, то A k,i =1 при ра- венстве нулю остальных компонент. Операторы L k определены следующим образом: при равенстве нулю всех степеней свободы конечный элемент не может превращаться в механизм – быть геометрически изменяемым, если его рассматривать в отдельности от расчетной схемы; разные степени свободы не могут иметь один и тот же физический смысл и, следовательно, операторы L k линейно независимы; для степени свободы q k все соответствующие ей отличные от нуля диф- ференциальные операторы A k,j имеют один и тот же порядок дифферен- цирования m k ., j=1,…,s. Введем следующие обозначения: (j) x i – все степени свободы узла x i сетки ω h ; (j) Ω r – все степени свободы КЭ Ω r , степени свободы всех принадлежащих ему узлов; 1 Это могут быть значения углов поворота, деформаций ε(x) или напряжений σ(x) для гибридной схемы метода. 28 Глава 2. Метод конечных элементов (i) Ω h – все степени свободы расчетной схемы. Соответственно: ( ) Ω r r i i q q – вектор значений степеней свободы КЭ Ω r ; ( ) h i i q h q – вектор значений степеней свободы всей расчетной схемы. Каждой i-ой степени свободы КЭ соответствует функция, моделирующая перемещения по области элемента при единичном перемещении (прогибе, угле поворота, деформации и т.д.) в направлении данной степени свободы и закреплении (нулевых значениях) остальных степеней свободы элемента. Т. е. на каждом элементе Ω r определена линейно-независимая система функ- ций ( ), ( ) , = , ( ) s r r j r r r φ x φ x supp i i i R (2.1.6) Все функции этой системы отличны от нуля и достаточное число раз дифференцируемы на Ω r , только одна степень свободы от каждой из них от- лична от нуля и равна единице: = , ) ( ,( ) j j r i i r δ φ i j L , i k – символ Кронекера. (2.1.7) Существуют конечные элементы, у которых условие (2.1.7) не выполня- ется для некоторых специальных или, даже, всех степеней свободы. В этом случае получаем более общий вариант вариационного метода с конечноэле- ментной реализацией. Система функций (2.1.6) определяет перемещения (деформации) в любой точке элемента по значениям его степеней свободы: ( ) ( ) ( ) r r r q u x φ x i i i , ( ) ( ) , i i r r q i u x L (2.1.8) Как правило, в методе конечных элементов (МКЭ) аппроксимирующие функции являются полиномиальными или кусочно-полиномиальными (метод подобластей, SubAreas, SA ), дробно-рациональными (так называемые изопа- раметрические элементы), тригонометрическими, логарифмическими и дру- гими аппроксимациями поля перемещений. Выбор степеней свободы элемен- та и соответствующих аппроксимирующих функций полностью определяет точность решения метода. Считаем, что аппроксимирующие функции системы (2.1.6) достаточно гладкие, а их производные удовлетворяют следующим неравенствам 1 : | | , ( ) , , = i m i j h const x С С Z D | | , (2.1.9) где 1 2 , ,..., n Z –постранству векторов с целочисленными компо- нентами, размерность которого совпадает с размерностью ; 1 Условиям (2.1.9) всегда удовлетворяют полиномиальные аппроксимации. В данной книге не рассматриваются специальные элементы для определения напря- женно-деформированного состояния в особых точках. Глава 2. Метод конечных элементов 29 1 2 1 2 , n n | | ; 1 2 1 2 n n x x x x – полиномом степени α: x, α R n ; 1 12 1 2 | | = n n x x x D – оператор дифференцирования; 1 1 0,...0 0,...0 , ( ) = { , , } s i i s i P x x α α – полином степени α по направлению i в s R Рассмотрим потенциальную энергию элемента r при введении закона аппроксимации (2.1.6): 1 2 ( ),( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) h r r r r t r r r i j i j i i t r q q q φ x φ x DAφ ε u i j i , E E Ω Ω , или в матричном виде , ( ) ( ) r T r r r r T r r t t r u q K q f q E E E Ω , (2.1.10) где: ( ),( ) r r r ij i j K K – матрица жесткости (МЖ) конечного элемента, ) ( ), ( ) ( ( )) ( r r r r r i j i j r d φ x φ x Αφ x DΑφ x r r ij ji K = K ; (2.1.11) f r,t – приведенные к узловым нагрузки от температурного воздействия: , , ( ) r i t r r t f f i , , ( ) r i t r r i t f DA φ ε , Ω (2.1.12) Коэффициенты имеют физический смысл усилий (реакций), возни- кающих по направлению свободы i от единичного перемещения степени сво- боды j при равенстве нулю всех остальных степеней свободы элемента. По направлениям всех остальных степеней свободы элемента накладываются связи, в которых возникают реакции. Для того, чтобы их найти, используется принцип возможных перемещений: если система находится в равновесии, то на любых возможных для нее перемещениях работа внешних сил равна рабо- те внутренних сил. Если не учитывать силы, возникающие при взаимодействии конечных элементов расчетной схемы, то работу , ( ) σ r σ r u внешних статических воздействий на конечном элементе Ω r можно записать в следующем виде , ( ) ( ) ( , ) r r r r r r r T i i u i i i r r q q f φ A φ f f q Γ i i , , (2.1.13) где f r – приведенные к узловым нагрузки от внешних статических воздейст- вий на элемент: ( ) r r r i i f f , ( , ) r r r i r r i u i f φ φ f A Γ Γ , (2.1.14) 30 Глава 2. Метод конечных элементов В МКЭ выбор степеней свободы и, соответственно, построение матрицы жесткости и приведенных узловых внешних воздействий производится, как правило, в местной системе координат элемента, выбранной из соображений удобства соответствующих построений и проведения вычислений. В даль- нейшем будем считать, что степени свободы всех узлов расчетной схемы, матрицы жесткости и приведенные узловые нагрузки для всех конечных эле- ментов получены в глобальной системе координат. Полная потенциальная энергия тела функционала Лагранжа (1.4.11) в МКЭ рассматривается без учета энергии взаимосвязи элементов между со- бой: 1 ( ) 2 , , ( ) ( ) h T T T r r r r r r t r r t r r r r r K q q f f q E E Ω (2.1.15) Или в матричном виде 1 2 ( ) h T T h h h h h t q q q Ω K F E , (2.1.16) где K h называется матрицей жесткости всей системы. Ее коэффициенты вы- числяются следующим образом 1 : ( ),( ) , ( ), ( ) r r r h ij ij ij i i j r r r j x x K K K |