|
|
Вопросы к экзамену. Вопросы к экзамену (зачету)
Опыт Ламмерта.
Прямые измерения скорости атомов ртути в пучке были выполнены Ламмертом в 1929 году.
Упрощенная схема опыта Ламмерта:
1 - быстро вращающиеся диски,
2 - узкие щели,
3 - печь,
4 - коллиматор,
5 - траектория молекул,
6 - детектор
Два диска 1, насаженные на общую ось, имели радиальные прорези 2, сдвинутые друг относительно друга на угол φ. Напротив щелей находилась печь 3, в которой нагревался до высокой температуры легкоплавкий металл. Разогретые атомы металла, в данном случае ртути, вылетали из печи и с помощью коллиматора 4 направлялись в необходимом направлении. Наличие двух щелей в коллиматоре обеспечивало движение частиц между дисками по прямолинейной траектории 5, параллельной их оси. Атомы, прошедшие через прорези в дисках, регистрировались с помощью детектора 6. Вся установка помещалась в глубокий вакуум.
 При вращении дисков с постоянной угловой скоростью ω, через их прорези беспрепятственно проходили только атомы, имевшие скорость υ:
где L- расстояние между вращающимися дисками.
Опыт Эстермана.
Несколько иначе был организован эксперимент по определению распределения по скоростям для атомов цезия, выполненный в 1947 году немецким физиком-экспериментатором Иммануэлем Эстерманом (1900 - 1973) совместно с О. Симпсоном и Штерном.
На рисунке приведено схематическое изображение опыта Эстермана. Пучок атомов цезия вылетал через отверстие в печи 1 с некоторой скоростью v и под действием силы тяжести начинал двигаться по параболе. Атомы, прошедшие через узкую щель в диафрагме 2, улавливались детектором 3, который можно было располагать на различных высотах h.
Величина отклонения h пучка в гравитационном поле Земли зависела от скорости атома. В этих опытах отклонение h составляло величину порядка нескольких долей миллиметра при расстоянии L от печи до детектора равном 2 метрам. Перемещая датчик и регистрируя количество атомов цезия, попадающих в детектор за единицу времени, можно было построить зависимость интенсивности пучка от величины h. Последующий пересчет, с учетом известной зависимости высоты h от скорости атома υ, давал распределение по скоростям атомов цезия.
Схема опыта Эстермана:
1 – печь;
2 - диафрагма с узкой щелью;
3 – детектор.
Все проведенные эксперименты подтвердили справедливость полученного Максвеллом распределения по скоростям для атомных и молекулярных пучков.
28. Барометрическая формула. Распределения Больцмана.
Распределение Больцмана.
Предположим, что на систему не действуют внешние силы и она находится в состоянии термодинамического равновесия, то концентрация микрочастиц будет одинакова во всех точках системы: n(x, y, z)=const. В случае, когда на микрочастицы системы воздействует внешнее силовое поле, например, гравитационное, то их концентрация становится различной в разных точках пространства. При этом состояние термодинамического равновесия также должно сохраняться.
Идеальный газ во внешнем гравитационном поле.
Пусть ИГ находится во внешнем гравитационном поле (в поле силы тяжести Земли). При нахождении концентрации молекул газа n(x, y, z) в этом поле будем исходить из предположения, что любой бесконечно малый объем газа находится в состоянии механического равновесия, а температура газа T во всех точках одинакова. Только при выполнении этих условий состояние газа можно считать равновесным, так как иначе в газе возникли бы потоки вещества и теплоты, что сделало бы состояние газа неравновесным.
Поле силы тяжести Земли будем считать однородным. Ось OZ направлена вертикально вверх. Тогда концентрация молекул газа будет зависеть только от координаты z (высоты h): n=n(z)или n=n(h). На рис. (1) схематически изображен бесконечно малый выделенный объем газа dV=dSdz, находящийся в равновесии.
 Снизу на этот выделенный объем газа воздействует давление p, а сверху – соответственно давление p+dp. Разность давлений на нижнее и верхнее основание выделенного объема газа dV=dSdz равна гидростатическому давлению:
 где: r=(Mp)/(RT) – плотность газа, g – ускорение свободного падения, M – молярная масса газа.
Отсюда
  Подставим в полученное выражения плотность газа:
 Из этого уравнения следует, что
 Интегрирование последнего уравнения при условии позволяет определить зависимость давления от высоты:
 гдеp0- давление газа на высоте, принятой за начало отсчета.
С учетом формулы для постоянной Больцмана:
и того, что М = m0NA и z = h
 Барометрическая формула:
Барометрическая формула позволяет рассчитывать зависимость давления атмосферы от высоты в случае, если температура атмосферы постоянна, а гравитационное поле - однородно. Для реальной атмосферы Земли на высотах примерно до 10 км её температура уменьшается в среднем на 6 К на 1 км подъема. Далее до высот порядка 20 км температура остается практически постоянной, а выше - постепенно возрастает до
270 К на высоте около 55 км. На этой высоте давление атмосферы становится уже меньше 0,001 от атмосферного давления на уровне моря.
Несмотря на указанную зависимость температуры атмосферы Земли от высоты, барометрическая формула позволяет достаточно точно определять высоту по результатам измерения давления, что нашло применение в приборах, предназначенных для определения высоты полета самолетов.
Распределение Больцмана было получено в 1866 году Л. Больцманом. Это распределение позволяет рассчитывать концентрацию газа, находящегося в равновесном состоянии во внешнем силовом поле. Причем это поле не должно быть обязательно гравитационным, а может иметь любое происхождение, в частности, быть электростатическим или полем сил инерции.
Анализ распределения Больцмана показывает, что концентрация молекул газа тем выше, чем меньше их потенциальная энергия. Кроме этого, с понижением температуры увеличивается отличие концентраций в точках с различными значениями потенциальной энергии молекул. А при стремлении температуры к абсолютному нулю, молекулы начинают скапливаться в месте, где их потенциальная энергия принимает наименьшее значение. Указанные особенности распределения Больцмана являются следствием теплового движения молекул, так как кинетическая энергия их поступательного движения в среднем равна Wк=(3/2)kT и уменьшается пропорционально уменьшению температуры. А уменьшение кинетической энергии приводит к уменьшению количества молекул, способных преодолеть потенциальный порог, высота которого характеризуется величиной потенциальной энергии высотойWp.
Опыт Перрена.
Распределение Больцмана было использовано французским физиком Жаном Батистом Перреном (1870–1942) при экспериментальном определения постоянной Больцмана k и постоянной АвогадроNA.
 В работах, выполненных Перреном в 1908-1911 гг., измерялось распределение концентрации микроскопических частиц во внешнем гравитационном поле. Отметим, что совокупность микрочастиц, находящихся во взвешенном состоянии в жидкости, близка по своей молекулярно-кинетической структуре к идеальному газу и может описываться газовыми законами. Это дает возможность при определении распределения микрочастиц во внешнем силовом поле использовать формулу Больцмана.
 Исследуя в микроскоп броуновское движение, Ж. Перрен убедился, что броуновские частицы распределяются по высоте подобно молекулам газа в поле тяготения. Применив к этим частицам больцмановское распределение, можно записать:
где m – масса частицы,
m1 – масса вытесненной ею жидкости;
m=4/3πr3ρ, m1= 4/3πr3ρ1
 (r – радиус частицы, ρ – плотность частицы, ρ1– плотность жидкости).
Если n1 и n2 – концентрации частиц на уровнях h1 и h2,
Значение NA, получаемое из работ Ж. Перрена, соответствовало значениям, полученным в других опытах. Это подтверждает применимость к броуновским частицам распределения Больцмана.
Статистика Максвелла–Больцмана.
 Полученные распределения Больцмана и Максвелла позволяют определить соответственно зависимость концентрации молекул от координат n(x, y, z)и функцию распределения по скоростям f(υx, υy, υz). При этом распределение Больцмана описывается в пространстве координат x, yи z, а распределение Максвелла в пространстве скоростей υx, υy, υz.
Если ввести 6-мерное пространство, координатами молекулы в котором являются величины x, y, z, υx, υy, υz, то функция распределения в таком пространстве будет зависеть от этих шести переменных: nf(x, y, z, υx, υy, υz). Считая пространственные переменные x, y, zи компоненты скорости υx, υy, υzстатистически независимыми друг от друга, можно записать:
nf(x, y, z, υx, υy, υz)=n(x, y, z)f(υx, υy, υz)или
где выражение для кинетической энергии имеет вид:
Формула (1) описывает распределение, называющееся распределением Максвелла-Больцмана. Она может быть использована в случае, когда полная энергия молекулы равна сумме её потенциальной энергий во внешнем силовом поле и кинетической энергии её поступательного движения: W=Wp+Wк.
29. Средняя длина свободного пробега. Явление диффузии.
Среднее число столкновений и средняя длина свободного пробега.
Конечные размеры молекул их огромная концентрация в газах при обычных условиях приводят к тому, что молекулы непрерывно сталкиваются друг с другом. Между двумя последовательными столкновениями молекулы движутся равномерно и прямолинейно.
Расстояние λ, которое проходит молекула за время свободного пробега от одного столкновения до следующего называется длиной свободного пробега.
Эти расстояния различны, так как в молекулярной физике имеем дело с огромным числом молекул и они находятся в беспорядочном движении, то можно говорить о средней длине свободного пробега молекул <λ>.
Для вычисления длины свободного пробега примем определенную модель молекул газа. Будем считать, что молекулы представляют собой шарики диаметром d порядка 10-10 м, зависящие от химической природы газа. Минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры двух молекул, называется эффективным диаметром молекулы d (рис.1).
Рассчитаем среднее число столкновений <z>, которое испытывает молекула за единицу времени при своем движении в однородном газе.
Так за 1 с молекула проходит путь, равный средней арифметической скорости <υарф>, и если <z> – среднее число столкновений, испытываемых одной молекулой газа за 1 с, то средняя длина свободного пробега:
Для определения <z> представим себе молекулу в виде шарика диаметром d, которая движется среди других «застывших» молекул, со скоростью равной средней арифметической скорости <υарф>.
При своем движении молекула будет сталкиваться со всеми молекулами газа, центры которых отстоят от траектории движения ее центра на расстояниях меньших или равных диаметру молекулы d, т.е. лежат внутри «ломанного» цилиндра радиусом d (рис.2). За единицу времени рассматриваемая молекула столкнется со всеми частицами, центры которых лежат внутри этого цилиндра.
   Среднее число столкновений за 1 с равно числу молекул в объеме «ломанного» цилиндра:
 где n – концентрация молекул, ( - средняя скорость молекул газа или путь, пройденный ею за 1 с). Таким образом, среднее число столкновений:
   В начале было сделано неверное предположение о том, что все молекулы, кроме одной неподвижны. В действительности все молекулы движутся и возможность их соударения зависит от их относительной скорости. Поэтому в формулу вместо средней арифметической скорости должна входить средняя относительная скорость , которая равна:
Поэтому среднее число соударений должно определяться по формуле:
 Средняя длина свободного пробега:
   Из уравнения состояния идеального газа:
следует: , тогда
 Получаем, что при постоянной температуре концентрация молекул пропорциональна давлению газа, то средняя длина свободного пробега обратно пропорциональна давлению:
 Для данного газа при постоянной температуре (Т=const) и различных давлениях р1 и р2 имеем:
 С другой стороны имеем:
Диффузия. Закон Фика. Коэффициент диффузии.
Явление, связанное с взаимным проникновением двух граничащих веществ при их непосредственном соприкосновении называется диффузией.
Диффузия обусловлена тепловым движением молекул в результате которого происходит самопроизвольное выравнивание концентраций в смеси несколько различных веществ.
Ограничимся рассмотрением только газообразных сред.
Рассмотрим только двухкомпонентную смесь газов.
 Пусть в единице объема смеси находится концентрация n1 молекул одного газа и концентрация n2 молекул другого газа. Концентрацию смеси газов найдем по формуле:
 Относительной концентрацией i-й компоненты в смеси называется безразмерная величина:
Сумма относительных концентраций всех компонент (газов) равна единице:
 Абсолютной концентрацией какого-либо газа называется масса молекул данного газа, содержащаяся в единице объема. Определенная таким образом концентрация представляет собой парциальную плотность данного газа. Если масса молекулы i-го газа mi, то абсолютная концентрация будет равна:
 Давление газовой смеси равно сумме парциальных давлений отдельных газов и определяется:
Может случиться так, что концентрация отдельных газов в различных точках пространства будет неодинакова. В этом случае вследствие теплового движения молекул будет происходить процесс выравнивания концентраций, сопровождающийся переносом массы i-го газа в направлении убывания его концентрации. Этот процесс называется диффузией.
   Предположим, что концентрации n1 и n2 изменяются вдоль оси z. Быстрота этого изменения характеризуется производными и
Производную называют градиентом концентрации.
Чтобы наблюдать процесс диффузии в чистом виде, будем считать давление в газообразных смесях постоянным, т.е. не зависящем от z, так что гидродинамические потоки не возникают.
  
Производные и в этом случае имеют разные знаки.
 Вследствие теплового движения возникает поток молекул каждой из компонент газа в направлении убыли ее концентрации. Экспериментально установлено, что поток молекул i-й компоненты через перпендикулярную к оси z поверхность S определяется уравнением.
|
|
|
Скачать 2.73 Mb.