Вопросы к экзамену. Вопросы к экзамену (зачету)
 Скачать 2.73 Mb.
|
|
(dm < 0) Разделим переменные:    Формула Циолковского:где m0 – стартовая масса ракеты (вместе с топливом);  m = m0 – mтоп – полезная масса (масса ракеты без топлива).Пусть V » 1 км/с, u = uI = 7,9 км/с Þ = 2697 15. Закон сохранения механической энергии.  Закон сохранения механической энергии.Воспользуемся теоремой о кинетической энергии: При малом перемещении системы изменение этой энергии равно сумме работ, совершаемые при этом внешними и внутренними силами.  Сумму элементарных работ всех сил приложенных к м.т. входящую в рассматриваемую механическую систему, разделим на две части:  Тогда получим:  Из определения потенциальной энергии следует, чтоПолучаем:  Это уравнение выражает закон изменения механической энергии, где Если механическая система замкнута и консервативна, то на нее не действуют внешние силы, тогда работа внешних сил равна нулю. Для таких систем выполняется закон сохранения механической энергии. Закон сохранения механической энергии:  Полная механическая энергия замкнутой системы тел между которыми действуют только консервативные силы, остается постоянной.Закон сохранения механической энергии является основным законом механики. Закон сохранения механической энергии связан с однородностью времени. Однородность времени проявляется в том, что физические законы инвариантны относительно выбора начала отсчета времени.  Если система замкнута, то изменение ее механической энергии обусловлено только действием в ней непотенциальных сил:Системы, в которых действуют непотенциальные силы и их механическая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие (немеханические) формы энергии, то они называются диссипативными системами. Диссипация это рассеяние, в данном случае рассеяние энергии. В природе все системы являются диссипативными. Закон сохранения и превращения энергии – фундаментальный закон природы, он справедлив как для систем макроскопических тел, так и для систем микротел. 16. Применение законов сохранения к анализу механического удара. Применение законов сохранения импульса и энергии к расчету абсолютно упругого и неупругого удара. Удар. Ударом называется явление изменение скоростей тел на конечные значения за очень короткий промежуток времени, происходящее при их столкновениях. Силы взаимодействия (внутренние силы) между сталкивающимися телами столь велики, что внешними силами, действующими на них можно пренебречь. Это позволяет систему тел в процессе их соударения приближенно рассматривать как замкнутую систему и применять к ней законы сохранения. Сущность удара заключается в том, что кинетическая энергия относительного движения соударяющихся тел на короткое время преобразуется в энергию упругой деформации. Во время удара имеет место перераспределение энергии между соударяющимися телами.  В природе нет идеально упругих тел и идеально гладких поверхностей, поэтому относительная скорость тел после удара не достигает своего прежнего значения. Отношение нормальных составляющих относительной скорости тел после удара и до удара называется коэффициентом восстановления e: где un – скорость тела до удара, – скорость тела после удара.Если для сталкивающихся тел e=0, то такие тела называются абсолютно неупругими, если e=1 – абсолютно упругими. Прямая, проходящая через точку соприкосновения тел и нормальная к поверхности их соприкосновения, называется линией удара. Удар называется прямым, если перед ударом скорости центров масс соударяющихся тел параллельны линии удара, в противном случае удар называется косым. Удар называется центральным, если центры масс соударяющихся тел лежат на линии удара. Абсолютно неупругий удар. Удар называется абсолютно неупругим, если после удара тела объединяются и дальше движутся как одно целое, т.е. с одной и той же скоростью. Приабсолютно неупругом ударевыполняетсязакон сохранения импульса, а закон сохранения энергиине выполняется. m1 и m2 – массы соударяющихся тел, u1 и u2 - скорости этих тел до удара, найдем скорость u этих тел после удара.    Запишем закон сохранения импульса:    При абсолютно неупругом ударе закон сохранения энергии не выполняется, так как часть механической энергии переходит во внутреннюю (в тепло), т.е. соударяющиеся тела нагреваются.  Абсолютно упругий удар. Абсолютно упругим ударом называется такой удар, при котором механическая энергия соударяющихся тел не преобразуется в другие виды энергии. При абсолютном упругом ударе выполняются законы сохранения импульса и энергии. При абсолютно упругом ударе происходит перераспределение механической энергии между соударяющимися телами, и после удара тела движутся с разными скоростями. В процессе удара систему соударяющихся упругих тел можно считать замкнутой и консервативной. m1 и m2 – массы соударяющихся тел, u1 и u2 - скорости этих тел до удара, найдем скорость u1 и u2 этих тел после удара.  Запишем закон сохранения энергии: Запишем закон сохранения импульса:  т.к. все скорости направлены вдоль оси ОХ, то из ЗСИ следует, что  ЗСЭ запишем в следующем виде ЗСИ запишем в следующем форме теперь перепишем ЗСЭ  Произведя сокращения получим: Выразим скорость второго тела после удара Эту формулу подставим в ЗСИ, получим Из этого уравнения находим скорость первого тела после удара: Произведя аналогичные рассуждения получаем формулу для расчёта скорости второго тела после удара: 17. Кинематика вращательного движения. Кинематика вращательного движения. Вращательным движением твердого тела называется движение при котором все его точки движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения. Ось вращения может проходить как через вращающееся тело, так и находиться вне этого тела. Вращающееся тело имеет одну степень свободы вокруг неподвижной оси. Положение тела в пространстве определяется значением угла поворота вокруг оси вращения.  Рассмотрим вращение м.т. по окружности радиуса R. Пусть в начальный момент времени t0 м.т. находится в положении M и ее скорость равна u0. Спустя промежуток времени dt = t1 – t0 м.т. пройдет по окружности путь l и окажется в положении M1. Радиус-вектор точки, проведенный из центра O окружности, повернется на угол j. Угол j называется угловым путем (углом поворота). Размерность углового пути [j] = 1 рад. Из геометрии известно, что длина дуги, на которую опирается центральный угол MOM1, равна: l = jR Положение тела в пространстве полностью определяется значением угла поворота вокруг оси вращения из некоторого, условно выбранного начального положения этого тела. Для описания вращательного движения тела неудобно пользоваться понятиями кинематики, как: 1) перемещение; 2) пройденный путь; 3) скорость; 4) ускорение.  В случае вращательного движения мерой перемещения всего тела за малый промежуток времени dt служит вектор элементарного угла поворота тела . 18. Момент инерции материальной точки и момент инерции твердого тела. Теорема Штейнера. Моменты инерции. Момент инерции. Рассмотрим твердое тело вращающееся вокруг неподвижной оси OZ.  Основной закон динамики тела, вращающегося вокруг неподвижной оси OZ, имеет вид: Найдем связь между моментом импульса Lz и угловой скоростью ω. Момент импульса тела относительно начала координат О. Моменты импульсов точек лежащих на оси вращения равны нулю: Так как вектор перпендикулярен оси OZ  Вектор направлен оси OZ. Таким образом,  Величина, равная сумме произведений масс всех материальных точек, образующих механическую систему, на квадраты их расстояний от данной оси вращения, называется моментом инерции системы относительно этой оси: Таким образом, момент импульса тела относительно оси OZ равен: где I – момент инерции тела относительно оси вращения OZ.  Если известен закон распределения массы тела, то момент инерции твердого тела можно определить по формуле: Моментом инерции м.т. относительно некоторой оси называют скалярную физическую величину, равную произведению массы материальной точки на квадрат расстояния до оси вращения:   Уравнение с учетом можно написать в виде:  В процессе вращения считается, что I=const, т.е. тело не деформируется:  Из уравнения видно, что угловое ускорение обратно пропорционально моменту инерции. Следовательно, момент инерции тела относительно оси является мерой инертности тела в его вращении вокруг этой оси.Основное уравнение динамики вращательного движения: В динамике вращательного движения момент инерции играет ту же роль, что и масса в динамике поступательного движения. Момент инерции определяет величину углового ускорения, получаемого телом под действием данного момента силы. Величина момента инерции определяется не только массой тела, но и распределением этой массы относительно оси вращения. Одно и то же тело может иметь различные моменты инерции относительно разных осей, и тела разной массы могут при определенном распределении масс в них иметь одинаковые моменты инерции. Моменты инерции однородных тел правильной формы.
     
     
   4.Момент инерции однородного сплошного диска (цилиндра) массы m и радиуса R относительно его оси. Масса диска m = rV = rpR2h, следовательно     Значения моментов инерции для некоторых тел (тела считаются однородными, m – масса тела) Тонкое кольцо, материальная точка, полый тонкостенный цилиндр (ось симметрии) :   Сплошной цилиндр, диск (ось симметрии):  Диск (ось вращения проходит через диагональ):  Шар:  Полая тонкостенная сфера:  Прямой тонкий стержень длиной l, ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину:  Прямой тонкий стержень длиной l, ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец: Моменты инерции однородных тел относительно произвольной оси. Теорема Штейнера: Момент инерции тела относительно любой оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс и произведение массы тела на квадрат расстояния между осями.  Покажем справедливость теоремы Штейнера на примере со стержнем: Применение теоремы Штейнера к расчету момента инерции тонкого стержня массой m и длинной l относительно оси, проходящей через один из концов стержня перпендикулярно его длине.     19. Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела. Аналогии между поступательным и вращательным движениями. Движение твердого тела (плоское движение). Любое тело можно представить как систему материальных точек. Если расстояние между этими точками остается неизменным, при действии любых сил, то такое тело называют абсолютно твердым. |