Введение в механику. Введение в динамику космического полёта
 Скачать 2.84 Mb.
|
|
1. Задача двух тел Рассмотрим задачу двух тел. Точнее, задачу о движении двух гравитирующих по закону Ньютона материальных точек. Она носит название невозмущенная задача. Говоря «тело», будем подразуме- вать, что это либо материальная точка, либо тело со сферически симметричным распределением масс, потенциал которого эквива- лентен потенциалу точки с массой, равной массе тела. 1.1. Уравнения движения. Первые интегралы движения Рассмотрим систему, состоящую из двух тел материальных точек (далее точек) с массами 1 m и 2 m , положение которых в инерциальном пространстве задается соответственно векторами 1 R и 2 R относительно некоторой точки a O (рис. 1.1). Согласно закону всемирного тяготения на точку массой 1 m со стороны точки массой 2 m действует сила 1 1 2 2 1 m m r r r F , (1.1) где универсальная гравитационная постоянная, 2 1 r R R радиус-вектор точки с массой 2 m относительно точки с массой 1 m , r r . Поле, обладающее указанной зависимостью силы от расстояния, носит название центральное ньютоново поле. Уравнения движения этих двух материальных точек имеют вид 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 , d d m m dt dt R R F F (1.2) Складывая эти два уравнения с учетом соотношения между действующими на точки силами 1 2 = F F , получаем 2 1 1 2 2 2 ( ) = 0 d m m dt R R (1.3) 13 Введем барицентр системы этих двух точек. Его положение определяется радиус-вектором , R c удовлетворяющим соотноше- нию 1 1 2 2 1 2 ( ) R R R c m m m m (1.4) Рис. 1.1. Система из двух материальных точек Подставляя (1.4) в (1.3), получаем уравнение, описывающее движение барицентра системы: 2 2 0 c d dt R , где произведено деление на положительную величину 1 2 ( ) m m Дважды интегрируя это уравнение, получаем два векторных первых интеграла 1 2 , c c c c d t dt R V C R V C (1.5) Здесь 1 2 , C C постоянные первых интегралов и введено обозначение c V для скорости центра масс системы. Напомним, что первым интегралом называется функция, зависящая от координат, скоростей и времени, остающаяся постоянной в силу уравнений движения на любых движениях системы. Наличие полученных шести скалярных первых интегралов отражает вполне очевидный факт, что центр масс системы, не подверженной действию внешних сил, движется прямолинейно и равномерно в инерциальном пространстве. 14 Перенесем начало координат в центр масс системы. Для этого подставим выражения ( , ) 1 2 R R r j c j j в (1.4), откуда полу- чаем 1 1 2 2 0 m m r r (1.6) Здесь 1 r и 2 r суть радиус-векторы точек относительно их общего центра масс. Подставляя выражения ( , ) 1 2 R R r j c j j в уравнения (1.2), имеем 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 , d d m m dt dt r r F F . (1.7) Выражаем из (1.6) 2 1 1 2 = m m r r и подставляем в 2 1 r r r , тогда формула (1.1) для гравитационной силы, действующей на точку с массой 1 m , принимает вид 1 1 1 2 1 3 1 ( ) F r m m m r Введем обозначение 1 2 ( ) m m , именуемое гравитационным параметром системы, и перепишем с учетом полученного выражения для силы первое уравнение из (1.7): 2 1 1 2 3 d dt r r r (1.8) Аналогичные операции можно провести со вторым уравнением из (1.7), а проще выразить 2 1 1 2 m m r r из (1.6) и подставить его в (1.8). В результате получаем 2 2 2 2 3 d dt r r r (1.9) Вспоминая, что 2 1 r r r , вычтем почленно из уравнения (1.9) уравнение (1.8): 2 2 3 d dt r r r (1.10) 15 Последние три уравнения (1.8), (1.9) и (1.10) показывают, что движение каждой точки вокруг общего центра масс, как и движение одной относительно другой, подобны. Уравнение (1.10) можно ин- терпретировать как уравнение, описывающее движение точки в поле притягивающего центра. Вводя проекции , , x y z вектора r на оси инерциальной си- стемы координат, перепишем уравнение (1.10) в коодинатном виде 2 2 2 2 3 2 3 2 3 , , d x x d y y d z z dt r dt r dt r (1.11) Исследуя далее уравнение (1.10), будем иметь в виду, что результаты можно будет перенести и на движения, описываемые подобными ему уравнениями (1.8) и (1.9). Теперь найдем недостающие шесть первых интегралов урав- нения (1.10). 1.2. Интеграл энергии Умножим левую и правую части уравнения (1.10) скалярно на 2 d dt r и получим 3 2 2 d d d d dt dt dt r dt r r r r Используя очевидные равенства 2 2 , d dr d dr r dt dt dt dt r r r , вытекающие из определения скалярного произведения, получаем 2 2 0 d dr dt dt r Интегрируем это уравнение и, вводя обозначение = , r V d dt получаем окончательно интеграл энергии 2 2 V h r , (1.12) 16 где h постоянная интегрирования, именуемая постоянной энергии. Именно она определяет характер движения, что можно символически классифицировать следующим образом: при > 0 h и r V вещественная при 0 h и r 0 V при < 0 h и r V мнимая В последнем случае мнимость V означает, что движение финитное, то есть существует конечное расстояние между материальными точками, дальше которого они разойтись не могут. 1.3. Интеграл площадей Умножим левую и правую части уравнения (1.10) векторно на r : 2 2 0 d dt r r (1.13) Продифференцируем выражение 2 2 2 2 = = r r r r r r r r d d d d d d dt dt dt dt dt dt Тогда уравнение (1.13) приобретает вид 0 r r d d dt dt Его интегрирование немедленно дает векторный интеграл площадей = d dt r r c . (1.14) Переходя к обозначению скорости, перепишем этот интеграл в виде r V c (1.15) Постоянная интегрирования вектор c по сути, это вектор кинетического момента, отнесенного к массе системы. Если обозначить через , , i j k орты инерциальной системы координат, центр которой совпадает с притягивающей точкой, то можно 17 записать 1 2 3 c i c j c k c , = xi yj zk r , и векторный интеграл (1.15) приобретает вид 1 2 3 , , dz dy dx dz dy dx c y z c z x c x y dt dt dt dt dt dt . (1.16) Умножая левую и правые части выражения (1.15) скалярно на r и записывая скалярное произведение в координатном виде, имеем 1 2 3 0 c x c y c z (1.17) Следовательно, координаты , , x y z движущегося тела удовлетворяют уравнению плоскости, идущей через начало координат, совпадающее с центральным телом, и ортогональной вектору c . Таким образом, движение тела плоское. Если орт k направить вдоль вектора c , то в такой системе , , d dx dy xi yj i j ck dt dt dt r r c , причем dy dx c x y dt dt . В выбранной системе координат перейдем к полярным координатам cos , sin . x r y r В новых переменных постоянная c приобретает вид 2 cos sin cos sin cos sin dy dx c x y dt dt dr d dr d d r r r r r dt dt dt dt dt То есть 2 d c r dt , что позволяет сделать некоторые важные следующие выводы. 1. Из вида 2 d c dt r следует, что угловая скорость тем меньше, чем дальше тело удалено от притягивающего центра. 2. За малый промежуток времени t радиус-вектор тела сместится на малый угол , заметая площадь сектора (рис. 1.2). 18 Рис. 1.2. Заметаемая радиус-вектором площадь за элементарный промежуток времени С точностью до 2 (( ) ) O площадь сектора определяется вы- ражением 2 2 S r . Рассматривая предел, получаем цепочку соотношений: 2 0 1 1 lim 2 2 t S dS d r c t dt dt Производная dS dt называется секториальной скоростью, сохра- няющейся при движении в центральном поле. Площадь , S заме- таемая радиус-вектором за время от момента 1 t до момента 2 t , определяется квадратурой 2 1 2 1 1 ( ) 2 t t S dS c t t 1.4. Интеграл Лапласа Воспользуемся уравнением (1.10). Умножим его правую и ле- вую части справа на вектор c : 2 2 3 d dt r r r c c 19 В левой части заменим d dt r на V и внесем вектор c под знак производной. Воспользуемся выражением для двойного векторного произведения ( ) ( ) ( ) a b c b a c c a b в правой части, подставив выражение для c из (1.14): 3 1 ( ) ( ) r r V c r r r r d d d dt r dt dt Продолжим преобразования правой части этого уравнения: 2 3 1 ( ) d dr d r r dt r dt dt r V c r После сокращения числителя и знаменателя в правой части на r и «усмотрения» в выражении, оставшемся в квадратных скобках, производной дроби получаем уравнение ( ) d d dt dt r r V c Интегрируя его, имеем интеграл Лапласа 1 : r r V c f Итак, получено семь скалярных первых интегралов, описыва- ющих вращательное движение системы, при порядке уравнения (1.10), равном шести, и ни один из них не содержит явно времени. Поэтому необходимо установить две связи между полученными первыми интегралами и найти один неавтономный первый инте- грал. Легко напрямую убедиться, что интеграл Лапласа f связан с вектором c соотношением 0. cf Действительно, = 0 r r r r cf r V V c c V c r V 1 Пьер-Симон, маркиз де Лаплас (Pierre-Simon de Laplace, 1749–1827) французский математик, механик, физик и астроном. Работы по небесной механике, дифференциальным уравнениям. Один из создателей теории вероятностей. 20 Последнее равенство в этой цепочке справедливо в силу ортогональности векторов в скалярных произведениях. Вычислим квадрат вектора Лапласа, записав цепочку выраже- ний: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = 2 = 2 2 f r r r V c c V r r r r r V c V c V c c r V Подставляя в круглые скобки в последнем выражении этой цепочки постоянную энергии h из интеграла энергии (1.12), окончательно получаем вторую связь между интегралами: 2 2 2 f hc (1.18) Следовательно, модуль вектора f определен постоянными энергии и момента количества движения и сам вектор, будучи нормальным вектору c , лежит в плоскости движения. Свободный параметр это его положение в плоскости движения. Вычислим скалярное произведение радиус-вектора r точки относительно притягивающего центра и интеграла Лапласа: 2 = c r r r r f r V c Зададим вектор Лапласа его проекциями 1 2 3 , , f f f на оси ранее упомянутой инерциальной системы координат. Тогда траектория движения точки определяется этим произведением, записанным через введенные проекции вектора f , и полученным ранее (1.17) уравнением плоскости движения: 2 1 2 3 1 2 3 = , = 0. c xf yf zf r c x c y c z Введем новую систему координат с осями , , O O O , направив O по вектору f , а O – по c . Это можно сделать, так как = 0. cf Тогда выполняются равенства 1 2 = = 0, c c 3 = , c c 1 = , f f 2 3 = = 0 f f и предыдущая система приобретает вид 21 2 = , = 0, r c f где 2 2 = r Перейдем к полярным координатам (радиус-вектору r и истинной аномалии ) по стандартным формулам: = cos , = sin . r r Тогда 2 = cos r c fr или = , 1 cos p r e (1.19) где введены обозначения 2 = , = c f p e (1.20) Из (1.19) следует, что материальные точки (небесные тела в приближении материальными точками) движутся по коническим сечениям. Выражения (1.20) устанавливают связь между параметрами конического сечения и постоянными первых интегралов, а следовательно, и начальными условиями движения материальных точек. При = 0 величина r имеет наименьшее значение; назовем соответствующую ей точку траектории перицентром, наиболее удаленную точку, достигаемую при = , апоцентром. При = 0 вектор |