Введение в механику. Введение в динамику космического полёта
 Скачать 2.84 Mb.
|
|
4.4. Инвариантные многообразия как способ экономного передвижения по Солнечной системе Продолжим изучение точек либрации, но сейчас обратим наше внимание на коллинеарные точки. Опустим вывод уравнений дви- жения, линеаризованных в окрестности коллинеарной точки, и по- лучение их характеристического уравнения. Собственные числа линейной системы, описывающей движение в плоскости орбиты массивных тел, можно представить в виде и , iv где 0, 0, v i – мнимая единица и для уравнения, описывающего движе- ния в перпендикулярном этой плоскости направлении, в виде iw , где также 0 w (см., например, W.S. Koon 18 ). Что означает не- устойчивость коллинеарных точек либрации. Более того, фазовым портретом в окрестности коллинеарной точки либрации оказыва- ется комбинация «седла» и «центра». В достаточно малой окрестности коллинеарных точек либрации можно выделить четыре класса движений и соответствующие им орбиты: периодические орбиты, известные также как орбиты Ляпунова 19 ; асимптотические орбиты, стремящиеся к орбитам Ляпунова или уходящие от них; по динамике космических полётов. Был первым исследователем траекто- рий перелетов Земля Луна. Лауреат Ленинской премии (1962). 17 Егоров В.А. О некоторых задачах динамики полета к Луне // Успехи физических наук. 1957. Т. 63, вып. 1а. С. 73–118. 18 Koon W.S. et al. Dynamical systems, the three-body problem and space mis- sion design. Marsden Books, 2011. 312 p. 19 Орбита Ляпунова – периодическая орбита вокруг неустойчивой коллинеарной точки либрации в ограниченной круговой задаче трех тел. Различают плоские, лежащие в плоскости движения двух массивных тел, и вертикальные орбиты. 58 орбиты, соответствующие транзитным орбитам. Движение КА в этом случае происходит из области главного тела в область второго тела или во внешнюю область; орбиты, соответствующие нетранзитным орбитам. Движение КА между областями в этом случае не происходит. Тем самым движение КА в окрестности коллинеарной точки либрации рассматривается как суперпозиция трех типов реальных движений: устойчивого, неустойчивого и ограниченного. На рис. 4.6 представлены 20 плоские и вертикальные орбиты Ляпунова. Рис. 4.6. Плоские и вертикальные орбиты Ляпунова в окрестностях коллинеарных точек либрации системы Солнце–Земля Однако в рамках ограниченной круговой задачи трех тел по- мимо орбит Ляпунова существуют также и другие виды периоди- ческих орбит. Их существование определяется нелинейными эф- фектами задачи трех тел (в первом и даже втором приближении они 20 García Yárnoz D., Sanchez J.P., McInnes C.R. Easily retrievable objects among the NEO population // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. August 2013. V. 116, I. 4. P. 367–388. 59 не существуют), и это доказано аналитически Ляпуновым и Мозе- ром 21 Среди периодических орбит, отличных от орбит Ляпунова, самыми популярными являются так называемые гало-орбиты. Впервые они были обнаружены Фаркуа 22 в 1960-х годах в рамках «лунной гонки», когда появилась идея создания станции связи в коллинеарной точке либрации 2 L системы Земля–Луна. Эта ор- бита достаточно велика, ее не закрывает Луна, и она позволяет держать постоянной радиосвязь с объектами на обратной стороне Луны (рис. 4.7). Рис. 4.7. Схема расположения КА на гало-орбите около точки либрации 2 L Сделаем несколько замечаний. Во-первых, отметим существо- вание устойчивых и неустойчивых инвариантных многообразий, движение вдоль которых приближает либо удаляет КА от перио- 21 Юрген Курт Мозер (Jürgen Kurt Moser, 1928–1999). Германский, американский и швейцарский математик. Основные результаты получены в области дифференциальных уравнений и теории динамических систем. Один из создателей КАМ-теории хаоса (теории Колмогорова–Арнольда– Мозера). 22 Farquhar R.W. Station-keeping in the vicinity of collinear libration points with an application to a Lunar communications problem // Space Flight Mechanics, Science and Technology Series. New York: American Astronautical Society, 1967. V. 11. P. 519–535. 60 дической орбиты. Во-вторых, асимптотические орбиты оказыва- ются частями устойчивого и неустойчивого многообразий орбиты Ляпунова, разделяющие два типа движения: транзитные орбиты и нетранзитные орбиты (рис. 4.8). Другими словами, в фазовом про- странстве эти многообразия представляют собой некие поверхно- сти, которые не могут пересекать другие траектории той же энергии. Поэтому если какая-нибудь траектория приближается к этим по- верхностям, то она либо «отразится» от них, либо пройдет «вблизи» и проникнет из одной области (окрестность, например, Солнца) в другую область (окрестность Земли). Тем самым асимптотические орбиты здесь играют роль сепаратрис. В-третьих, все качественные результаты, полученные здесь для динамики системы линеаризо- ванных уравнений, сохраняются также и для нелинейных уравне- ний. Это означает существование всех указанных выше видов ор- бит, а также устойчивых и неустойчивых инвариантных многооб- разий 23 и в нелинейной динамике. Рис. 4.8. Асимптотические траектории, связанные с орбитами Ляпунова 23 Инвариантное многообразие динамической системы подмногообразие фазового пространства динамической системы, инвариантное относитель- но фазового потока (сдвигов по времени). 61 Как же осуществляется проектирование периодических траек- торий, а также связанных с ними асимптотических орбит, прохо- дящих вдоль устойчивых или неустойчивых многообразий? Поша- гово алгоритм построения асимптотических орбит выглядит сле- дующим образом. Выбирается подходящий уровень энергии. Рассчитываются начальные условия периодической траектории линеаризованной системы уравнений движения. С помощью метода дифференциальной коррекции 24 и метода продолжения по параметру рассчитываются периодические орбиты исходной нелинейной системы уравнений. Рассчитываются устойчивые и неустойчивые собственные векторы матрицы монодромии. Исходя из них, вычисляются направления в фазовом пространстве, интегрирование вдоль которых позволяет строить асимптотические траектории. Орбиты Ляпунова построены в работе И.С. Ильина и др. 25 с подробным изложением методики нахождения периодических ре- шений применительно в проектируемым отечественным миссиям. Следует заметить, что орбиты Ляпунова бывают плоские (они малоинтересны для приложений) и бывают вертикальные орбиты, имеющие вид восьмерки. Орбиты Ляпунова существуют и в ли- нейном, и в нелинейном приближении. Гало-орбиты существуют только в нелинейном приближении. Существует амплитуда плоской орбиты Ляпунова, для которой происходит бифуркация, тогда кроме большей орбиты Ляпунова появляются еще гало-орбиты (так называемая северная и южная гало-орбита). Можно сделать вывод, что поскольку межпланетное простран- ство пронизано инвариантными многообразиями описанное выше касалось напрямую лишь орбит Ляпунова, еще присутствуют ква- зипериодические орбиты Лиссажу, окружающие точки либрации 24 Метод дифференциальной коррекции итеративная процедура, ис- пользующая аналитическое приближение периодической орбиты лине- аризованных уравнений движения в качестве начального приближения. Этот метод позволяет получать начальные условия, соответствующие пе- риодической орбите нелинейных уравнений движения. 25 Ильин И.С., Сазонов В.В., Тучин А.Г. Построение ограниченных орбит в окрестности точки либрации L 2 системы Солнце–Земля // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. 2012. № 65. 28 с. (http://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2012-65) 62 различных пар планет и пар планета–Солнце, то при небольшой энергетической разнице траекторий на этих многообразиях можно совершать переходы с одного многообразия на другое, передвигаясь из одного уголка Солнечной системы в другой космический HighWay 26 . Хотя здесь не все так просто. Проблема заключается в том, что инвариантные многообразия внутренних планет (до Марса включительно) не пересекаются, поэтому с Земли до Марса лететь все же придется традиционным способом на химических источ- никах или на малой тяге. Многообразия внешних планет (начиная от Юпитера) пересе- каются, поэтому там можно почти «бесплатно» перебраться от Юпитера до Плутона. Схему передвижения можно проинтерпре- тировать как переход-пересадка из одного поезда в другой, летящих по параллельным путям в одном направлении с близкими скоро- стями (вот где важно требование энергетической близости), в даль- нейшем уходящих один на север, а другой на восток. 26 http://www.nasa.gov/mission-pages/genesis/media/jpl-release-071702.html 63 5. Грависферы В целом ряде случаев задача n тел, если одно из них обладает очень большой, а одно пренебрежимо малой массой, может быть заменена ( 1) n задачами двух тел. Поясним это на примере меж- планетных перелетов. Пусть траектория космического аппарата, стартовавшего с Земли, проходит мимо Марса. Тогда, считая, что аппарат не влияет на движение планет вокруг Солнца, можно предположить, что в начале полета его движение определяет си- стема аппарат–Земля, затем аппарат–Солнце, затем аппарат–Марс, если полет продолжается, то вновь аппарат–Солнце и так далее. Истинная траектория заменяется приближенной, «склеенной» из отрезков конических сечений, определяемых последовательным решением задач двух тел в названном выше порядке. Условия склейки очевидны: параметры конечной точки траектории, полу- ченной в системе аппарат–Земля, должны совпадать (в абсолютном пространстве) с параметрами начальной точки участка, получаемого в системе аппарат–Солнце и так далее. Параметры, о которых идет речь, это положение КА и вектор его абсолютной скорости. Такой подход требует решения задачи о положении введенных выше точек склейки траектории. Здесь можно допустить, что каждая планета окружена некоторой сферой (конечно, не в геометрическом смысле этого слова), отделяющей области пространства, в которых «командует» гравитационное поле планеты от области, где эта роль переходит к Солнцу. Существуют разные подходы к нахождению этих сфер, носящих название гравитационных сфер или грависфер. Будем рассматривать случай, когда масса Солнца 1 , m планеты 2 m и космического аппарата m подчиняются очевидным услови- ям 1 2 , m m а m пренебрежимо мала. Начнем рассмотрение с простейшего случая. 5.1. Сфера притяжения Казалось бы, наиболее естественным определением грависферы является условие, по которому силы притяжения аппарата со сто- роны Солнца и планеты на поверхности грависферы должны стать равными между собой по модулю. 64 Пусть R и r – гелиоцентрические координаты 2 m и , m s геоцентрическая координата m (рис. 5.1). Рис. 5.1. Взаимное расположение Солнца 1 ( ) m , планеты 2 ( ) m и КА ( ) m В силу условия 1 2 m m граница сферы притяжения планеты лежит на малом расстоянии от нее, и, следовательно, можно пред- положить, что R s Пусть силы притяжения Солнца и планеты, действующие на , m будут равны друг другу по модулю. Тогда после сокращения на m найдем 2 2 2 1 2 2 m r m s m R Приравнивая первое и последнее выражения в этой цепочке, получаем радиус сферы притяжения 2 1 m r R m (5.1) На самом деле, следуя строгим выкладкам, граница сферы притяжения – действительно сфера (она носит название сфера Аполлония), но ее центр не совпадает с центром планеты, а отстоит от него на расстоянии 2 2 1 1 1 m m R m m 65 в сторону, противоположную 1 m Ее радиус 2 2 1 1 1 m m R m m Так, например, для системы Луна–Земля отношение их масс 2 1 1 81, m m а взаимное расстояние 380 000 км. R Радиус сферы притяжения и смещение центра сферы от центры Луны, вы- численные по вышеприведенным формулам, составляют 42 750 км и 4750 км соответственно. Вычисление радиуса этой грависферы по формуле (5.1) дает не сильно отличающийся результат прибли- зительно 42 000 км. Полученное уравнение границы сферы притяжения не решает, однако, поставленной задачи. Дело в том, что ход рассуждений, хотя и носит, казалось бы, естественный характер, на самом деле со- держит грубую ошибку. Он неявно исходит из предположения о взаимной неподвижности тел 1 m и 2 m и является типично стати- ческим. На самом деле, под действием гравитационных полей находится не только тело , m но и тела 1 m и 2 , m которые взаимно притягиваются. Поэтому решение задачи о грависферах следует решать, основываясь не на законах статики, а на законах динамики. 5.2. Сфера действия (грависфера Лапласа) Лаплас решал задачу о движении тела m под действием гра- витационных полей тел 1 m и 2 m методом численного интегриро- вания уравнений движения. При этом возник вопрос о том, в какой системе координат такое интегрирование потребовало бы наимень- ших усилий (не следует забывать, что в то время еще не существо- вало электронно-вычислительных машин, поэтому исследователям приходилось идти на всякие ухищрения для проведения численного интегрирования). В любой точке пространства тело m находится под действием двух сил, связанных с существованием тел 1 m и 2 m В качестве естественных систем координат можно избрать гелиоцентрическую или планетоцентрическую. В первом случае будем использовать индексы «1», а во втором – индексы «2». Сле- довательно, суммарное ускорение тела m можно записать в виде 66 1 1 B b или 2 2 B b . Здесь буквой B с соответствующим индек- сом обозначено «главное» ускорение, вызванное телом, центр ко- торого принят за начало системы отсчета, а буквой b с тем же индексом – ускорение, вызванное другим телом, которое есте- ственно назвать возмущающим. Очевидно, что, чем меньше воз- мущающее ускорение (и чем ближе, следовательно, задача к задаче двух тел), тем удобнее вести расчеты. Следовательно, из двух воз- можных систем координат надо выбирать ту, в которой возмуща- ющее ускорение меньше. Поскольку тело m движется, оно может перейти из области, где предпочтительна гелиоцентрическая система координат, в область, где следует предпочесть планетоцентрическую (или наоборот). Лаплас предложил определять границу между этими двумя областями равенством 1 2 1 2 b b B B , (5.2) то есть считать определяющим параметром величину относитель- ного возмущающего ускорения. Назовем сферой действия (или грависферой Лапласа) поверхность, окружающую планету, на которой выполняется условие (5.2). Запишем уравнения движения тел 1 2 , , m m m в инерциальной системе координат с центром в точке , O учитывая, что масса тела m пренебрежимо мала (рис. 5.2), то есть движение тел 1 2 , m m определяется их взаимным притяжением, а движение аппарата притяжением обоих этих тел: 2 1 2 2 3 2 2 1 2 3 2 1 2 2 3 3 , , m d m dt R d m dt R d m m dt s r r R r R r s r (5.3) Вычитая из второго и третьего уравнений в (5.3) первое, перейдем к гелиоцентрической системе координат: 67 2 1 2 2 3 2 1 2 2 3 3 3 ( ) , = d m m dt R d m m dt s r R R R s s r R (5.4) Первое из полученных уравнений тривиально, оно говорит о том, что планета движется вокруг Солнца по кеплеровой орбите. Второе уравнение (5.4) описывает движение тела m в гелиоцентрической системе коодинат. Первое слагаемое в квадратных скобках определяет «главное» ускорение 1 B , связанное с гравитационным полем Солнца, а второе – возмущающее ускорение 1 , b вызванное полем притяжения планеты. Чтобы записать движение тела m в планетоцентрической си- стеме координат, следует вычесть из второго уравнения первое в (5.4), что приводит к выражению 2 2 1 2 3 3 3 d m m dt r s R r r s R (5.5) Как и в уравнениях (5.4), здесь первое слагаемое описывает основное (теперь планетоцентрическое) ускорение 2 , B а второе возмущающее (теперь связанное с Солнцем) ускорение 2 b Рис. 5.2. Взаимное расположение Солнца 1 ( ) m , планеты 2 ( ) m и КА ( ) m относительно точки O 68 Уравнения (5.4) и (5.5) описывают одно и то же движение и совершенно эквивалентны. Вопрос о предпочтительности того или иного уравнения это вопрос простоты вычислений. Если исполь- зовать для определения условий рациональности перехода от одной возможной записи к другой равенство (5.2), то это приведет к сле- дующему определению поверхности сферы действия: 2 1 3 3 3 3 1 2 3 3 = m m r R s R m m s r |