Введение в механику. Введение в динамику космического полёта
 Скачать 2.84 Mb.
|
|
3. Возмущенное движение. Задача n тел В небесной механике «невозмущенным» считается движение, происходящее по законам взаимодействия двух тел. Обычно такое движение называют кеплеровым. Поэтому все случаи отклонения законов движения от кеплеровых относят к разделу возмущенное движение. В частности, задача n тел, не дающая при > 2 n , во- обще говоря, кеплеровых траекторий, является классическим при- мером возмущенного движения. 3.1. Первые интегралы в задаче n тел Рассмотрим n материальных точек, взаимодействующих по закону тяготения Ньютона. Найдем первые интегралы такого дви- жения. Обозначим массы этих точек 0 1 1 , , , n m m m . Очевидно, что сила ij F , действующая на i-ю материальную точку со стороны j-й с радиусами-векторами соответственно , i j r r относительно начала инерциальной системы координат, будет определяться выражением 3 j i ij i j ij m m r r r F Поэтому система уравнений, описывающих движение гравитирующих между собой материальных точек, приобретает вид ( ) 2 1 2 3 0 i n j i i i i j ij d m m m dt r r r r (3.1) Здесь | | ij j i r r r ; ( ) 1 0 i n сумма по j от 0 j до 1, j n за исключением слагаемого с = . j i Эти векторные уравнения в проекциях на оси декартовой системы координат O имеют вид ( ) ( ) 2 2 1 1 2 3 2 3 0 0 , ..., i i n n j i j i i i i i j i i j ij ij d d m m m m m m dt r dt r . (3.2) 38 Введем функцию , i j ij m m U S r где S – сумма, в которой каждая комбинация i и j встречается лишь один раз и нет членов с i j Тогда система уравнений (3.2) приобретает вид 2 2 2 2 , , ( 0, ..., 1) i i i i i i d d U U m m i n dt dt Умножая почленно каждое уравнение на , , i i i d d d dt dt dt соответственно и складывая, получаем 2 2 2 1 2 2 2 0 n i i i i i i i d d d d d d dU m dt dt dt dt dt dt dt и, интегрируя, = , T U h (3.3) где 2 2 2 1 0 1 2 n i i i i d d d T m dt dt dt кинетическая энергия системы, U силовая функция системы, h постоянная интеграла энергии, каковым является соотношение (3.3). Другие первые интегралы можно попытаться получить из следующих соображений. Система n материальных точек находится под действием только внутренних сил, и поэтому главный вектор импульса системы равен нулю. То же самое можно сказать и о главном моменте. Из уравнений (3.1) следует после выполнения суммирования правых частей, что 2 2 1 1 2 2 0 0 0, 0 n n i i i i i d d m m dt dt r r r 39 Интегрируя первое уравнение дважды, а второе однократно, полу- чим 1 1 1 0 0 0 , , n n n i i i i i i i d d m m t m dt dt r r a r a b r c . (3.4) Эти интегралы содержат три векторные константы , , . a b c Тем самым получено еще девять скалярных первых интегралов. Их механический смысл очевиден первые два соотношения говорят о том, что центр масс системы движется прямолинейно и равномерно, а последнее говорит о постоянстве кинетического момента системы. Наличие последнего из трех в (3.4) первого интеграла позволяет указать на удобную для расчетов систему координат O . Если выбрать ее начало в центре масс системы , O а ось O направить параллельно вектору , c то плоскость O будет неподвижной в пространстве относительно инерциальной системы отсчета, дви- жущейся вместе с центром масс системы. Плоскость O обычно называют плоскостью Лапласа. В задаче двух тел плоскость Лапласа совпадает с плоскостью, в которой лежит траектория дви- жения небесного тела. Итак, всего вместе с интегралом энергии найдено десять пер- вых интегралов. Их обычно называют классическими. Многочис- ленные попытки найти другие первые интегралы задачи n тел оказались безрезультатными. В XIX веке Брунс 5 , Пуанкаре 6 и Пен- леве 7 доказали, что уравнения движения (3.1) не имеют других не- 5 Карл Христиан Брунс (Karl Christian Bruhns, 1830–1881). Немецкий астроном и метеоролог. В 1856 году, защитив диссертацию на тему «O малых планетах», занял место директора обсерватории и кафедру астрономии в Лейпциге. Им были произведены наблюдения по опреде- лению положения планет, комет, звёзд, благодаря чему были открыты множество небесных тел. 6 Жюль Анри Пуанкаре (фр. Jules Henri Poincaré, 1854–1912). Французский математик, механик, физик, астроном и философ. Глава Парижской акаде- мии наук (1906), член Французской академии (1908) и ещё более 30 акаде- мий мира, в том числе иностранный член-корреспондент Петербургской академии наук (1895). 7 Поль Пенлеве (Poul Painlevé, 1863–1933). Французский математик, меха- ник, государственный и политический деятель, доктор математических 40 зависимых алгебраических первых интегралов и даже первых ин- тегралов, выражающихся через однозначные трансцендентные функции, если > 2. n Наличие первых интегралов позволяет понизить порядок си- стемы уравнений. Следовательно, классические первые интегралы понижают порядок системы на 10 единиц. Кроме того, оказывается возможным понизить его еще на две единицы, используя тот факт, что действующие силы зависят не от координат точек, а от их вза- имных расстояний, и исключив время t путем перехода к новой независимой переменной и добавления квадратуры: d dt dt В качестве переменной можно использовать одну из независи- мых переменных исходной задачи. Следовательно, в задаче n тел возможно понижение порядка на 12 единиц. Если, например, счи- тать, что Солнечная система состоит из 10 тел, то порядок соответствующей системы уравнений будет 60. Возможное по- нижение порядка системы дает новую систему, имеющую поря- док 48. Однако изучать систему 60-ти простых уравнений лучше, чем иметь дело с 48 сложными уравнениями. 3.2. Планетная форма уравнений относительного движения Планетная форма уравнений удобна в том случае, когда изу- чается относительное движение материальных точек в рамках за- дачи n тел и одно из тел имеет массу, во много раз большую, чем остальные тела, например, при изучении движения планет вокруг Солнца. Возьмем за основное тело материальную точку 0 m Перенесем начало в нее, введя систему координат 0 O xyz с осями, параллель- ными осям системы O Получим формулы пересчета коорди- нат: наук (1887), член Парижской академии (1900). Его математические работы относятся к теории дифференциальных уравнений. Особенно известны его исследования о поведении интегралов дифференциальных уравнений вблизи особых точек. 41 0 0 , , = i i i i x z Тогда уравнения (3.2) после деления их на i m принимают вид ( ) ( ) 2 1 1 0 2 3 3 3 0 1 0 (0) ( ) 2 1 1 0 2 3 3 3 0 1 0 0 0 , 0 , i i n n j i j i i i j j ij i ij i n n j j i j i j j i j x x x x d x m m m dt r r r x x d x m m m dt r r r где записаны уравнения только для координаты , x остальные уравнения для координат , y z имеют аналогичный вид. Здесь во втором уравнении выделено i-е слагаемое ( 0) i . Полагая для крат- кости записи 0 = i i r r и вычитая из первого уравнения второе, получим ( ) 2 1 0 2 3 3 3 1 ( ) i n j i j i i i j i ij j x x x d x x m m m dt r r r Введем пертурбационную функцию i R R , где ( ) 1 3 1 1 i n i j i j i j i j ij j x x y y z z R m r r Тогда уравнения движения для =1, ..., 1 i n можно записать так: 2 2 0 0 2 3 2 3 ( ) , ..., ( ) i i i i i i i i i i i i d x x R d z z R m m m m dt r x dt r z . (3.5) Если положить 0 i R , то система уравнений (3.5) распадается на 3( 1) n независимых уравнений, каждое из которых будет иметь тот же вид, что и уравнение движения в задаче двух тел. Механичес- кий смысл результата заключается в следующем. Равенство = 0 i R говорит об отсутствии взаимного влияния планет на движение их вокруг Солнца, но тогда задача естественно распадается на ( 1) n отдельных задач двух тел. На самом деле 0, i R но для Солнечной системы производные от i R по координатам достаточно малы, и поэтому движение планет вокруг Солнца в основном правильно описывается в рамках задачи двух тел, а взаимное влияние планет на их движение можно рассматривать как относительно малые воз- 42 мущения основного движения. Малость i R является следствием очевидного неравенства 0 i m m 43 4. Возмущенное движение. Задача трех тел Поскольку задача n тел в общем виде не решается, естественна попытка решить ее для наименьшего > 2, n то есть для = 3. n В 1912 году Зундман 8 дал ее полное решение в виде сходящихся рядов, однако было видно, что сходятся они слишком медленно и для вычислений не пригодны. Произведенная в 1933 году оценка показала, что для вычислений с точностью обычных астрономиче- ских ежегодников надо взять 8000000 10 членов ряда. Таким образом, решение Зундмана имеет, скорее, теоретический, а не вычисли- тельный интерес. Более обозримые результаты оказалось возмож- ным получить, наложив на задачу трех тел дополнительные условия на начальные условия и соотношение масс тел. Наложение допол- нительных условий на начальные условия движения тел приводит к случаям Эйлера и Лагранжа. Рассмотрим их. 4.1. Кеплеровы движения Эйлер и Лагранж сформулировали вопрос о том, существуют ли такие начальные условия для трех тел произвольной массы, которые приведут к движению каждого из трех тел по кеплеровым орбитам. Пусть три тела имеют конечные массы 0 1 2 , , m m m . Найдем такие начальные условия, при которых все три тела будут двигаться по кеплеровым орбитам (коническим сечениям). Векторы 0 1 2 , , r r r со- единяют эти массы (рис. 4.1) в треугольник. Очевидно соотношение 0 1 2 = 0 r r r Уравнения относительного движения в планетной форме имеют вид для движения точки с массами 1 m и 2 m относительно 0 m и с массой 2 m относительно 1 m соответственно: 8 Карл Фритьёф Зундман, или Сундман (швед. Karl Frithiof Sundman, 1873– 1949) финский астроном и математик шведского происхождения, нашедший в 1906–1912 годах общее аналитическое решение задачи трех тел в виде сходящихся рядов. В 1913 году эти исследования были отмечены премией Финской академии наук. 44 2 2 2 1 2 1 0 1 2 2 3 3 3 2 0 1 0 2 1 0 1 2 3 3 3 2 0 1 2 1 1 2 1 2 0 2 1 2 3 3 3 1 0 2 0 1 2 0 2 1 3 3 3 1 0 2 2 0 1 2 ( ) = ( ) , = ( ) ( ) , ( d m m m dt r r r m m m r r r d m m m dt r r r m m m r r r d m dt r r r r r r r r r r r r r r r r r 0 2 0 2 2 0 3 3 3 0 1 2 0 1 2 1 2 0 3 3 3 0 1 2 ) ( ) m m r r r m m m r r r r r r r r r r Рис. 4.1. К задаче трех тел в случаях Эйлера и Лагранжа Так как движения должны быть по условию кеплеровыми, то они должны удовлетворять уравнениям 2 2 3 = ( = 0,1, 2) r r i i i i d h i dt r , |