Введение в механику. Введение в динамику космического полёта
 Скачать 2.84 Mb.
|
|
6.2. Уравнения возмущенного движения Найденное здесь общее решение системы (1.11) соответствует классической задаче о двух материальных точках, движущихся под действием сил взаимного гравитационного притяжения. Выше было показано, что уже введение в рассмотрение третьей материальной точки, а тем более n материальных точек, вообще говоря, приводит к значительно более сложным движениям. Дело еще больше усложняется, если учесть, что планеты далеко не всегда можно считать материальными точками, и если еще учитывать не только силы гравитации, но и силы давления солнечной радиации или тормозящий эффект верхней разряженной атмосферы планет, ра- боту ракетных двигателей космического аппарата и так далее. По- этому примем, что движение КА около некоторой материальной точки происходит не только под действием сил притяжения по- следней, но и под действием возмущающих сил, природа которых может быть достаточно произвольной. Тогда уравнениям движения (1.11) придадим такой вид – 0 0 0 , , , , , , dx dy dx X X Y Y Z Z dt dt dt dx dy dz x y z dt dt dt (6.6) где 0 0 0 3 3 3 , , x y z X Y Z r r r компоненты «основного» ускорения за счет притяжения центрального тела, а величины , , X Y Z суть ускорения, испытываемые аппаратом в результате действия всех внешних сил за исключением силы притяжения центрального тела, принимаемого за материальную точку. 6.3. Введение оскулирующих элементов. Основная операция Совокупность равенств (6.4) и (6.5) теперь не будет общим ре- шением системы (6.6). Воспользуемся этими равенствами в качестве уравнений преобразования для перехода от шести исходных пере- менных , , , , , x y z x y z к шести новым переменным , , , , , , i p e ведь при наличии возмущений они уже не константы. Если проде- 82 лать нужные выкладки, то вместо системы уравнений (6.6) получим новую систему 1 2 6 ( , , , , , , ), ( , , , , , , ), , ( , , , , , , ), d f i p e t dt di f i p e t dt d f i p e t dt (6.7) эквивалентную исходной. Совокупность переменных , , , , , x y z x y z дает для каждого t положение КА и компоненты его вектора скорости. Геометрически это соответствует заданию точки на траектории и касательной к ней. В этом случае траектория получается как огибающая семейства прямых (касательных). Совокупность переменных , , , , , i p e дает для каждо- го t некоторое мгновенное коническое сечение и положение на нем КА (при этом однозначно определен и вектор скорости КА). Тра- ектория движения КА получается в этом случае как огибающая семейства конических сечений. Переход от обычного (в декартовых координатах) представле- ния траектории к новому имеет смысл лишь в тех случаях, когда возмущающие ускорения с компонентами , , X Y Z много меньше «основного» 0 0 0 , , X Y Z . В этих случаях задание шести элементов , , , , , i p e позволяет получить не только точные координаты и скорость КА для некоторого момента времени t , но и в силу ма- лости возмущений приближенный вид траектории его движения на достаточно большом интервале значений t , в то время как для задания обычных шести элементов , , , , , x y z x y z для некоторого t позволяет судить лишь о мгновенном значении координат и вектора скорости и не дает ни малейшего представления о характере пред- шествующего и последующего движений КА. Поэтому переход от сравнительно простой системы уравнений движения (6.6) к более громоздкой системе (6.7) имеет смысл только при малых возму- 83 щающих ускорениях, хотя сама система (6.7) справедлива для лю- бых значений возмущающих ускорений. Поскольку геометрически истинная траектория получается в последнем случае как огибающая мгновенных конических сечений, каждое такое коническое сечение называется оскулирующим (касательным), шесть элементов , , , , , i p e оскулирующими элементами, а t моментом (эпохой) оскуляции. Иными словами, оскулирующими элементами для момента t называются такие , , , , , , i p e которые дают положение и скорость для этого t по формулам кеплерова движе- ния. Координаты и скорость КА выражаются через оскулирующие элементы одинаково с той лишь разницей, что в невозмущенном движении они остаются постоянными, а в возмущенном изменя- ются со временем. Использование равенств (6.4) и (6.5) для перехода от системы (6.6) к системе (6.7) приводит к неоправданно громоздким выклад- кам. Систему уравнений движения (6.7) можно получить проще, зная первые интегралы движения. Пусть ( , , , , , ) F x y z x y z C (6.8) один из первых интегралов кеплерова движения, то есть системы уравнений (1.11). Тогда, учтя, что в этом случае 0 0 0 , , x X y Y z Z , получаем 0 0 0 0 F F F F F F F x y z X Y Z t x y z x y z Если движение будет возмущенным, то равенство (6.8) останется справедливым, если считать величину C не постоянной, а функцией времени. Тогда, учитывая уравнение (6.6), получаем 0 0 0 ( ) ( ) ( ) F F F F F F F dC x y z X X Y Y Z Z t x y z x y z dt Так как для любого момента времени t координаты и скорости истинного и оскулирующего движений совпадают, то, вычитая почленно из последнего равенства предыдущее, найдем 84 dC F F F X Y Z dt x y z Записанное здесь соотношение иногда называют основной операцией. Она сводится к дифференцированию по t первых ин- тегралов (6.8) при формальном допущении, что стоящие под знаком функции F координаты и время t являются постоянными, и подстановке вместо производных от скоростей возмущающих ускорений. Используем основную операцию для вывода уравнений в оскулирующих элементах. Применим основную операцию к интегралу площадей кепле- рова движения (1.16). В результате получим 1 2 3 , , z y x x z y y x z dc yF zF M dt dc zF xF M dt dc xF yF M dt (6.9) Здесь , , x y z F F F суть компоненты возмущающих ускорений, , , x y z M M M компоненты соответствующих моментов возмуща- ющих ускорений. Перейдем от координат Oxyz к координатам , O непо- средственно связанным с мгновенным оскулирующим коническим сечением. Направим ось O по линии узлов орбиты, ось O – по вектору кинетического момента , c а ось O – так, чтобы обра- зовалась правая система координат (рис. 6.3). В новой системе координат уравнения (6.9) принимают вид , , dc dc dc M M M dt dt dt (6.10) Проекции , , dc dc dc возникнут вследствие элементарного изме- нения вектора , c а именно элементарных (малых) поворотов 85 вокруг оси , O вокруг оси O и вследствие изменения его модуля с p (1.22). Рассмотрим приращение dc . При малом повороте век- тора c вокруг оси O на угол d получим = dc cd (рис. 6.4). Рис. 6.3. Переход от координат Oxyz к координатам O 86 Рис. 6.4. Связь между элементарным приращением dc и элементарным поворотом d В связи с поворотом вектора c повернется и плоскость O в новое положение 1 O . Тогда на неизменной плоскости Oxy произойдет смещение восходящего узла в новое положение на ве- личину d . Это дает sin d id . Следовательно, sin dc p id (6.11) Аналогично, составляющая dc связана с элементарным поворотом вектора c вокруг оси O на угол di (рис. 6.5). 87 Рис. 6.5. Связь между элементарным приращением dc и элементарным поворотом di Очевидно, что dc p di (6.12) Составляющая dc связана с изменением модуля вектора c и получается его дифференцированием: 1 2 dc dp p (6.13) Найдем теперь соответствующие компоненты вектора момента возмущающих ускорений (рис. 6.6). Пусть космический аппарат находится в точке , M принад- лежащей плоскости O (напомним, что эта плоскость совпадает с мгновенной плоскостью оскулирующей орбиты). Тогда положе- ние M определяется углом u и радиус-вектором r Пусть воз- мущающее ускорение разложено на три ортогональные составля- ющие , , , S T W направленные вдоль , r перпендикулярно r и перпендикулярно плоскости O соответственно. Положитель- ными направлениями для , , S T W примем совпадающие с направлением радиуса, направлением вращения по орбите и 88 направлением вектора кинетического момента соответственно. То- гда очевидно, что sin , cos , M W r u M W r u M T r (6.14) Рис. 6.6. Определение компонент вектора момента возмущающих ускорений Подставляя найденные значения из (6.11), (6.12), (6.13) и (6.14) в (6.10), получим sin , cos , 2 sin d r u di r dp p W uW rT dt i dt dt p p . (6.15) Эти уравнения являются тремя из шести искомых уравнениями движения, записанными через оскулирующие элементы. Найдем соответствующие уравнения для e и Изменение аргумента перицентра , вообще говоря, связано с двумя причи- нами: смещением направления на перицентр и смещением восхо- дящего узла, от которого начинается отсчет угла Рассмотрим следствие первой из названных причин. Угловое расстояние от восходящего узла до направления на небесное тело M определя- ется выражением , u причем в нашем случае = const, u поскольку узел не смещается в силу сделанного предположения, а тело M считается «неподвижным» в рамках применяемой основ- ной операции. Но тогда 89 0 d d dt dt (6.16) Здесь следует подчеркнуть, что величина d dt не описывает в рассматриваемом случае движения КА во времени, а говорит об изменении вследствие движения начала отсчета этого угла – линии узлов. Вторая причина изменения смещение восходящего узла, что дает (рис. 6.7) cos d id (6.17) Рис. 6.7. Изменение Действительно, неподвижность точки M (в силу основной операции) делает возможным смещение лишь вследствие пово- рота плоскости орбиты. Пусть первоначально плоскость орбиты пересекалась с плоскостью экватора Э в точке , A а вследствие элементарного поворота первой плоскости стала пересекать ее в точке . B Тогда «уменьшение» углового расстояния M от вос- ходящего узла будет соответствовать изменению расстояния AM до BM Учет обеих причин изменения (6.16) и (6.17) приводит окончательно к зависимости 90 = cos d d id (6.18) Интеграл энергии позволяет вычислить только модуль скорости КА. Найдем проекции = , = r n dr d V V r dt dt вектора скорости КА на радиальное и нормальное направления. В выбранной системе ко- ординат с учетом того, что = , c p интеграл площадей сводится к выражению 2 d r p dt (6.19) Тогда, используя равенства (1.19) и (6.19), можно написать sin r dr d V e d dt p (6.20) и (1 cos ) n d V r e dt p (6.21) Полученные выражения (6.20) и (6.21) тоже является первыми интегралами системы (1.11), так как связывают e и p с переменными ( ), ( ) r n V t V t и ( ) t Применим основную операцию к первым интегралам кеплерова движения (6.20) и (6.21), подставив вместо производных r dV dt и n dV dt соответствующие возмущающие ускорения S и T : 1 1 sin cos sin , 2 1 cos sin (1 cos ). 2 de d p dp e S e dt dt p dt de d p dp e T e dt dt dt 91 Подставив сюда dp dt из (6.15) и выражая de dt и d dt , получим cos 1 sin d p p r e S T dt p (6.22) и sin 1 cos de p p r r S T e T dt p p (6.23) Использовав равенства (6.18) и (6.22), найдем 1 cos sin sin ctg d p p r S T e W i dt e p (6.24) Уравнения (6.23) и (6.24) являются еще двумя уравнениями движения, записанными через оскулирующие элементы. Чтобы замкнуть систему, следует получить еще уравнение, определяющее d dt . Это здесь не делается, так как для дальнейшего изложения последнее уравнение не играет особой роли и использоваться не будет, но в окончательным виде приведем. Перепишем систему уравнений движения в оскулирующих элементах в окончательном виде: sin , sin cos , 2 , d r u W dt i p di r uW dt p dp p rT dt (6.25) 92 2 sin 1 cos , 1 cos 1 sin sin , ctg (cos sin ) , de p p r r S T e T dt p p d p p r r S T e W u i dt e p p d r p eN S NT dt e r (6.25) где 2 2 3 0 cos ( ) 2 (1 cos ) p d N r e Следует сразу отметить, что полученные уравнения в оскули- рующих элементах выписаны для эллиптической орбиты. В случае круговой орбиты уравнения для и вырождаются (в правым частях в знаменателях стоит эксцентриситет ), e поэтому для такого случая вводятся новые переменные 1 2 cos , sin . e e По- лучающиеся уравнения для 1 2 , особенности при 0 e не име- ют. Обычно зависимость оскулирующих элементов от t пред- ставляет второстепенный интерес, тем более, что, как правило, возмущающие ускорения , , S T W не являются явными функци- ями времени. Чаще всего вместо t вводят новую независимую пе- ременную, связанную с угловой координатой движения по орбите, в частности . u Рассмотрим интеграл площадей, но чтобы не быть связанными с уже применявшимися обозначениями, используем для обозначения длины дуги на единичной сфере букву . Тогда интеграл площа- дей принимает вид 2 d r p dt (6.26) Пусть в некоторый момент времени t точка на единичной сфере, дающая мгновенные угловые координаты небесного тела, находилась в , M а через отрезок времени dt перешла в 1 , M пройдя отрезок дуги d (рис. 6.8). Рассмотрим изменение аргу- 93 мента широты u при таком переходе. Во-первых, он увеличится на , d и, во-вторых, изменится начало отсчета (оно перейдет из А в ). В В результате имеем cos du d id Тогда первый интеграл (6.26) примет вид 2 cos du d r i p dt dt Рис. 6.8. Изменение аргумента широты u Взяв значение d dt из системы (6.25), получим окончательное соотношение 3 2 1 sin ctg p du r W i dt r p (6.27) Воспользовавшись выражением (6.27), можно перейти в си- стеме уравнений (6.25) к независимой переменной u При этом правые части уравнений, которые в системе (6.25) являются ли- нейными функциями , , , S T W станут дробными, что должно 94 привести к заметным трудностям при интегрировании вновь полу- ченной системы. Поэтому сделаем предположение о малости , W позволяющее пренебречь соответствующими слагаемыми. Тогда вместо точного равенства (6.27) можно воспользоваться прибли- женным (опуская это слагаемое) 2 p du dt r и вместо точной системы (6.25) написать приближенную систему уравнений движения: 3 3 3 2 2 sin , sin cos , 2 , sin 1 cos , cos 1 sin sin ctg d r u W du p i di r uW du p dp r T du de r r er S T T du p p d r r er S T W u i du e p p (6.28) В этой системе опущено уравнение для , d du поскольку в даль- нейшем оно не понадобится. Приведенных уравнений вполне дос- таточно для определения геометрических характеристик движения. |