Введение в механику. Введение в динамику космического полёта
 Скачать 2.84 Mb.
|
|
F обеспечивает проекцию ускорения КА на направление вектора его скорости КА V (рис. 7.5). Происходит почти скачкообразное увеличение скорости КА в апогее. Тем самым Луна сильно воздей- 107 ствует на орбиту, скачком поднимая ее перигей на десятки тысяч километров. Резонансное движение сделало эти возмущения регу- лярными, что и позволило увеличить орбиту КА SMART-1 до нужных размеров за несколько витков. Следует отметить, что если КА будет опережать в своем движении к апогею Луну, то ее при- тяжение будет производить обратный эффект – перигей орбиты КА будет понижаться. В связи с распространением малых КА этот эф- фект, обнаруженный еще в начале космической эры, только сейчас находит свое применение в приложениях. Здесь уместно упомянуть имя Эдварда Бельбруно (родился в 1951 году в Германии), который открыл новый класс траекторий перелета так называемые низкоэнергетические траектории – и показал, как их строить с помощью концепции границы слабой устойчивости 31 и применил эту концепцию к конструированию траектории японского лунного КА «Hiten» (1990 г.). Иногда такой подход к построению низкоэнергетических траекторий называют методом Бельбруно. Другой подход к построению низкоэнергети- ческих траекторий – использование аппарата теории динамических систем (в частности, гиперболических инвариантных многообра- зий) – стал развиваться чуть позже, но стал более популярным, так как обладает математической строгостью и потому более понятен (см. раздел 4.4). 31 Belbruno E.A., Miller J.K. Sun-perturbed Earth-to-Moon Transfers with Ballistic Capture // Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 1993. V. 16, I. 4. P. 770–775. 108 8. Влияние несферичности Земли на движение КА 8.1. Модели гравитационного поля Земли Гравитационное поле Земли обладает сферической асиммет- рией по причине отсутствия сферической симметрии в форме Земли и неоднородным распределением масс в ее теле. Наибольший вклад в асимметрию дает экваториальное «вздутие» или «утолщение» вдоль экватора, приведшее к разности экваториального и полярного радиусов в 21 км. Разница же в экваториальных радиусах, разня- щихся широтой места, составляет чуть больше двух сотен метров. Запишем потенциал U гравитационного поля Земли в виде его разложения по сферическим гармоникам =2 =2 =1 1 (sin ) (sin ) cos ( ) , n g ev n n n n n m ev nm n nm n m R U J P r r R J P m r (8.1) используя сферические координаты ( , , ), r где r – геоцент- рическое расстояние, географическая долгота, отсчитываемая от гринвичского меридиана, и геоцентрическая широта, отсчитываемая от плоскости экватора, ev R средний экваториаль- ный радиус, m n P присоединенная функция Лежандра степени n и порядка ; m n P полином Лежандра порядка , n , n nm J J гармонические коэффициенты, nm фазовый угол, соответст- вующий nm J Имеют место следующие соотношения между , nm nm J и , nm nm C S : 2 2 2 1 = , = arctg ( 2, 1 ) nm nm nm nm nm nm S J C S n m n m C 109 Коэффициенты n J именуются зональными гармоническими коэффициентами. Если , n m то nm C и nm S называются тессеральными гармоническими коэффициентами. Если же = , n m то они называются секторальными гармоническими коэффициентами. Заметим, что сила , F действующая на материальную точку массой , m лежащую вне Земли, вычисляется по формуле m U F , где потенциал U определен в (8.1), , , , x y z , , x y z – координаты точки. Зональные гармоники определяются полиномами , n P где за- висимостью потенциала от долготы пренебрегается и поле счита- ется симметричным относительно полярной оси Земли. Для любого полинома (sin ) n P существует n параллелей, вдоль которых n P равно нулю и меняет знак, и, следовательно, сфера разделяется на 1 n широтных зон, в которых этот полином принимает положи- тельные и отрицательные значения. Этот член называется зональной гармоникой порядка . n Член 2 J описывает основное отличие по- тенциала от сферического и отражает полярное сжатие Земли. Приведем численные значения зональных гармонических коэффи- циентов: 3 2 = 1.082 10 , J 6 3 = 2.53 10 , J 6 4 = 1.61 10 . J Как вид- но, 2 J почти в 400 раз больше следующего коэффициента 3 J Тессеральные гармоники. Функции (sin )cos m n P m и (sin )sin m n P m называются тессеральными гармониками, когда , n m при этом Земля покрывается «мозаикой» доменов, чере- дующихся знаков, обращающихся в нуль на n m параллелях, вдоль которых 0 (sin ) , (sin ) m n m d P d в то время как члены cos m и sin m обращаются в нуль вдоль 2m меридианов. 110 Секторальные гармоники появляются, когда = . n m Поскольку полиномы (sin ) n n P остаются постоянными, то cos n и sin n равны нулю для 2n различных величин . В этом случае линии, вдоль которых функции (sin )cos n n P n и (sin )sin n n P n равны нулю, являются меридианами, делящими сферу на 2n чередую- щихся по знакам секторов положительных и отрицательных. Примеры 32 указанных выше гармоник показаны на рис. 8.1. (а) (б) (в) Рис. 8.1. Положительные и отрицательные значения зональной гармоники для n = 4 (а); Положительные и отрицательные значения тессеральной гармоники для n = 10 и k = 6 (б); Положительные и отрицательные значения секторальной гармоники для n = 6 (в) Тессеральные и секторальные гармоники описывают аномалии в распределении масс по долготе. Хотя эти аномалии значительно слабее, чем аномалии, вызванные зональными гармониками, тем не менее, вековой вклад первых становится заметным на больших ин- тервалах времени, например, для геосинхронных КА. Для других орбит влияние этого эффекта мало из-за «усредняющего» действия орбитального движения КА, но влияние зональных гармоник необходимо принимать во внимание. Сечение Земли экваториаль- ной плоскостью имеет форму эллипса. Главная тессеральная гар- моника 22 J и соответствующая линия симметрии, обозначаемая 22 , имеет долготу –14.7° относительно гринвичского меридиана. Здесь можно сделать небольшое отступление о потенциале гравитационного поля и проблеме интегрируемости уравнений 32 Рисунки взяты из книги Аксенов Е.А. Теория движения искусственных спут- ников Земли. М.: Наука. Главная ред. физ.-мат. лит-ры, 1977. 111 движений спутника. Эта проблема интересовала не одно поколение исследователей. Оказывается, если поместить неподвижно на мни- мом (!) расстоянии две материальные точки с мнимыми массами (!), то суммарный потенциал их гравитационных полей в главных чле- нах можно сделать совпадающим с гравитационным потенциалом Земли. В главных это в первых четырех членах. Именно столько свободных параметров содержит выражение для потенциала двух неподвижных материальных точек. Конечно, в силу осесиммет- ричности поля вокруг прямой, соединяющей эти материальные точки, речь идет об аппроксимации зональных гармоник. Это дает возможность значительно продвинуться в задаче интегрируемости уравнений движений спутника в гравитационном поле и получить ее решение, по крайней мере, в виде квадратур 33 8.2. Гравитационное поле несферичной Земли Перейдем к анализу влияния несферичности Земли на ее гравитационном поле. Введем прямоугольную систему координат , Oxyz находящуюся в центре масс Земли (рис. 8.2). Рис. 8.2. Связанная с Землей прямоугольная система координат и притягиваемая Землей точка P В точке , P лежащей вне Земли, находится материальная точка массы 0 m Обозначим потенциал гравитационного поля Земли 33 Демин В.Г. Движение искусственного спутника в нецентральном поле тяготения. М.: Наука, 1968. В понятной форме с достаточной степенью строгости эта задача изложена в [8]. 112 в точке P через . U Тогда частные производные от него по коор- динатам будут определять соответствующие гравитационные ускорения, действующие на материальную точку , P 0 0 0 , , , y x z F F F U U U m x m y m z или, учтя обозначения, введенные при написании системы (6.6), по- лучим 0 0 0 , , U U U X X Y Y Z Z x y y Следуя геометрическому методу Мак-Куллага 34 , который дает ин- туитивное сочетание гравитации и инерции 35 , и воспользовавшись рис. 8.2, представим косинус угла , образуемого векторами ρ и , r исходящими из центра масс Земли в элементарную массу dm и в притягиваемую точку , P используя скалярное произведение этих векторов cos = / ( ). rρ r Расстояние l между P и dm определяется выражением 1/2 2 1 2 cos l r r r Применяя общую формулу для потенциала dm U r (8.2) и ее разложение по сферическим функциям 1/2 2 =0 1 2 cos (cos ) n n n P r r r , 34 Джеймс Мак-Куллаг (James McCullagh, 1809–1847). Ирландский мате- матик, профессор Trinity College в Дублине. Геометр, исследовал эллип- соиды и другие поверхности второго порядка. 35 MacCullagh J. On the Attraction of Ellipsoids with a New Demonstration of Clairut’s Theorem // Transactions of the Royal Irish Academy. Dublin, 1855. V. 22, Part 1. P. 379–395. 113 где (cos ) n P полиномы Лежандра, перепишем (8.2) в следующем виде: =0 = (cos ) n n n U P dm r r (8.3) Запишем первые три члена из разложения (8.3): 2 2 3 cos (3cos 1) 2 U dm dm dm r r r Интегрирование по всему объему Земли позволяет переписать это выражение в виде 3 = ( 3 ) 2 g E E E P U A B C J r r , (8.4) где , , E E E A B C суть главные центральные моменты инерции Земли и P J ее момент инерции вокруг оси OP Форма потенциала (8.4) носит название приближение Мак-Куллага. Первое слагаемое в (8.4) дает приближение потенциала Земли как материальной точки и определяет 0 0 0 , , X Y Z Эти компоненты подчиняются обратно-квадратичной зависимости от . r В сказан- ном нетрудно убедиться дифференцированием по . r Второе сла- гаемое в (8.4) определяет возмущающее ускорение с компонентами , , X Y Z . Рассмотрим условие, при котором Земля будет обладать гра- витационным полем, эквивалентным полю материальной точки. Это реализуется в двух случаях. 1. При , r то есть когда на достаточно больших расстояниях от притягивающего тела его формой можно пренебречь и рассматривать его как материальную точку. 2. При шарообразной форме Земли, поскольку в этом случае E E E P A B C J для всех направлений OP Именно поэтому лишь несферичность Земли может привести к появлению отличных от нуля возмущающих ускорений. Несферичность Земли проявляется в виде двух эффектов. 1. Если ограничиться первыми двумя членами разложения (8.4), то сила притяжения материальной точки M Землей не будет 114 подчиняться привычной зависимости типа 2 1 / , r но будет содержать член с 4 1 / r . 2. Эквипотенциальные поверхности перестанут быть сферами с центрами в начале координат, так как потенциал U может, вообще говоря, зависеть от направления OP , поскольку от него может зависеть J Это приведет к нецентральности поля тяготения (сила притяжения точки M Землей не будет проходить через начало координат, поскольку производные от функции U по направлениям, нормальным к OP , перестанут быть нулевыми). 8.3. Вычисление возмущающего ускорения Точная форма Земли достаточно сложная. В качестве первого (после сферы) приближения ее нередко представляют эллипсоидом вращения. Для этого случая потенциал U может быть представлен выражением 2 3 (3sin 1) 3 g U r r , (8.5) где географическая широта точки , P а 2 2 3 / 2 g ev R J введенная для сокращения формул постоянная, зависящая от сжатия эллипсоида и равная нулю для сферы. Первое слагаемое в правой части (8.5) дает потенциал Земли, рассматриваемый как потенциал материальной точки или одно- родной сферы, а второе слагаемое некоторую добавку, вызванную полярным сжатием Земли. Найдем, воспользовавшись выражением (8.5), составляющие возмущающего ускорения , , S T W Дифференцируя U вдоль радиуса r и перпендикулярно ему в плоскости меридиана вдоль дуги s меридиана, определим радиальную и меридиональную со- ставляющие возмущающего ускорения по формулам 2 2 4 (3sin 1) g r U g r r r , (8.6) 4 sin 2 m U U d g s ds r (8.7) 115 Широтная составляющая, направленная параллельно плоскости экватора, равна нулю в силу симметрии потенциала вокруг оси вращения Земли. При получении выражения (8.7) было использовано очевидное соотношение = ds rd . Второе слагаемое в (8.6) является возмущающим ускорением, направленным вдоль вектора , r то есть составляющей S Откуда сразу получаем формулу 2 4 = (3sin 1) S r (8.8) Для нахождения W и T следует вычислить соответствующие проекции меридионального ускорения (8.7). Пусть плоскость ор- биты пересекает плоскость экватора под углом i (рис. 8.3). Рис. 8.3. Пересечение плоскости экватора плоскостью орбиты под углом i Рассмотрим сферический треугольник, образованный тремя дугами больших кругов, соответствующих плоскостям экватора, орбиты и меридиана. Углы этого сферического треугольника со- ставляют соответственно , / 2 i и некоторый угол , а «сторо- ны» – дуги больших кругов суть , u и некоторая дуга Обозначим строчными буквами дуги сторон сферического треугольника, а прописными буквами двугранные углы между плоскостями, в которых эти дуги лежат. Тогда теорема синусов 116 sin sin sin sin sin sin a b c A B C для сферического треугольника дает в рассматриваемом случае соотношение sin sin sin / 2 sin u i , откуда sin sin sin u i , (8.9) и с учетом (8.8) получаем 2 2 4 (3sin sin 1) S u i r (8.10) Теоремы косинусов (6.3) для сферического треугольника, при- мененные для прямоугольного сферического треугольника, если A прямой двугранный угол, дают два выражения cos cos cos , cos sin cos a b c B C b Отсюда имеем три нужных соотношения cos = cos cos , cos = cos sin , cos = cos sin , u i i (8.11) полученных для дуги u и двух прилежащих к ней двугранных уг- лов и i Для точки единичной сферы, соответствующей пересечению плоскостей орбиты и меридиана, разложение ускорения m g пред- ставлено на рис. 8.4. Но тогда = cos , = sin m m T g W g , и, воспользовавшись выражениями (8.7), (8.9) и (8.11), находим 2 4 = sin 2 sin T u i r , (8.12) 4 = sin 2 sin W i u r (8.13) |