Введение в механику. Введение в динамику космического полёта
 Скачать 2.84 Mb.
|
|
8.4. Эволюция экваториальной орбиты в поле несферичной Земли Чтобы продемонстрировать действие центрального, но не ньютонова поля, проанализируем эволюцию орбиты КА, когда возмущающее ускорение направлено в центр масс Земли. В нашем случае это связано с появлением слагаемого, пропорционального 4 1 / r , в возмущающем ускорении. Для этого рассмотрим эволюцию орбиты экваториального КА, то есть аппарата, движущегося в плоскости экватора, поскольку в силу симметрии возмущающее ускорение будет в этом случае направлено к центру масс Земли. Иногда говорят, что рассматривается возмущение движения цен- тральными силами. Если орбита является экваториальной ( = 0 i ), то из (8.10), (8.12) и (8.13) следует, что 4 , 0, 0 S T W r (8.14) Полагая, как и выше, возмущения малыми, будем считать, что за время одного оборота КА по орбите вокруг Земли величины , , , , i p e можно считать постоянными, а их фактическое изме- нение – описывать скачкообразными изменениями , , , , i p e в конце каждого оборота. Это соответствует замене некоторой гладкой кривой, близкой ей функцией «ступенчатого» типа. Система уравнений (6.28) сразу дает для первых трех оскули- рующих элементов уравнения 118 0, 0, 0 d di dp du du du , то есть постоянство этих переменных 36 , а следовательно, и их изменение за оборот КА по орбите приведет к выражениям 0, 0, 0 i p (8.15) Далее, для изменения эксцентриситета цепочка квадратур дает 2 2 2 2 2 0 0 sin (1 cos ) sin 0 g g e du e d r p Здесь использованы равенства (1.19) и (7.7). Следовательно, мате- риальная точка, возмущающаяся центральной силой, не изменяет ни плоскости движения ( = 0, = 0), i ни формы и размеров своей орбиты ( = 0, = 0). p e Результат этот вполне естественен плоскость орбиты не поворачивается, так как нормальное к ней возмущающее ускорение 0, W и орбита не изменяется по ве- личине и форме, поскольку движение по замкнутой кривой в кон- сервативном поле не может изменить энергии ( const). h Цент- ральные силы не могут изменить вектор кинетического момента ( const), c следовательно, p и e остаются постоянными (см. (1.20) и (1.21)). Рассмотрим изменение : 2 2 2 2 2 2 0 0 2 cos (1 cos ) cos g g g du e d e r e p p . (8.16) Таким образом, единственным возмущенным орбитальным элементом будет аргумент перигея, определяющий направление на перицентр и изменяющийся с каждым витком на постоянную величину (это связано с изменением константы векторного интеграла Лапласа), и, следовательно, траектория движения КА будет иметь характер, изображенный на рис. 8.5. 36 Внимательный читатель уже заметил, что здесь мы слукавили, не раскрыв неопределенность вида 0 0, возникающую при 0, i но об этом чуть позже. 119 Рис. 8.5. Характер траектории движения КА в плоскости экватора 8.5. Прецессия наклонной орбиты в поле несферичной Земли В том случае, если возмущающее ускорение содержит компо- ненты, обусловленные нецентральностью поля тяготения Земли, возникает движение, нередко называемое прецессией орбиты. Рассмотрим общий случай эволюции орбиты, связанной с полярным сжатием Земли, который даст пример подобной прецессии. Пусть наклонение плоскости орбиты 0 i . Тогда подстановка значений , , S T W , взятых из (8.10), (8.12), (8.13) в систему (6.28), и интегрирование этих уравнений при обычных предположениях, в частности, в предположении справедливости равенства (7.7), дают 2 2 2 0, 0, 0, cos 2 , (4 5sin ) . g g i p e i i p p (8.17) Неизменность формы и размеров эллипса ( = 0, = 0), p e по которому в нашем приближении движется КА, имеет ту же причину, что и выше, – движение КА происходит в консервативном поле по замкнутой траектории. Эволюция направления на перицентр ( 0) уже описывалась в предыдущей задаче. В отличие от обоих предыдущих случаев (торможение спутника в атмосфере и эволюция орбиты экваториального спутника) плоскость орбиты будет теперь поворачиваться ( 0), правда, с сохранением 120 наклонения ( 0). i Такое вращение плоскости орбиты и назы- вается ее прецессией. Употребление этого термина указывает на связь рассматриваемого явления с теорией гироскопа. Покажем это, прибегнув к качественным соображениям. Пусть искусственный спутник Земли вращается вокруг нее по круговой орбите. Мысленно «размазав» массу аппарата по орбите, получим вращающееся кольцо с кинетическим моментом . Γ Пусть плоскость орбиты AB составляет угол i с плоскостью экватора , CD и, следовательно, вектор Γ повернут на угол i относительно оси симметрии Земли NS Как уже говорилось, шарообразная Земля эквивалентна материальной точке, поэтому новые эффекты можно ожидать лишь от осесиммметричного тела, дополняющего Землю до эллипсоида вращения (на рис. 8.6 дано в сечении и заштриховано). Рис. 8.6. К качественной интерпретации влияния эллипсоида инерции Земли на движение КА Если рассмотреть гравитационное взаимодействие этого тела с кольцом «гироскопа», то можно утверждать, что точка B кольца в основном притягивается областью D тела (область C от нее слишком далека), что изображено силой , B F а точка A – обла- стью C (сила ). A F Это приведет к возникновению возмущающего момента , M который заставит «гироскоп» прецессировать. При 121 этом, как известно, вектор кинетического момента Γ будет дви- гаться по конусу, сохраняя угол i постоянным. Вращение в ре- зультате прецессии плоскости ON дает в конечном итоге 0, а постоянство угла i даст = 0, i как это и следует из точного решения (8.17). Рассмотрим зависимость прецессии орбиты от угла .i Первое выражение (8.17) показывает, что при / 2 i прецессия орбиты наблюдаться не будет ( 0) . Это вполне естественно, поскольку для полярных орбит, которые расположены в плоскости меридиана, в силу осесимметричности рассматриваемой модели Земли сумма сил, аналогичных силам A F и , B F показанным на предыдущей схеме, будет проходить через начало координат и никакого момента создавать не сможет. Если положить 0 i (движение в плоскости экватора), то первое выражение из (8.17) даст приращение 2 2 / ( ), p то есть наиболее интенсивную прецессию. Однако этому формальному результату противоречит то обстоятельство, что и в этом случае силы A F и B F будет идти через начало координат и никакой прецессии быть не должно. Разберемся с возникшим противоречием. Формальное монотонное увеличение прецессии по мере того, как орбита КА все более приближается к плоскости экватора, свя- зано с тем, что эта прецессия в нашем случае измеряется прираще- нием При 0 i происходит вырождение введенной таким способом системы координат, а при 0 i узел просто теряет смысл, поскольку в этом случае плоскость орбиты не пересекает плоскость экватора, а лежит в ней. Не вдаваясь в неуместные здесь геометри- ческие тонкости, покажем суть происходящего на качественной (плоской) схеме (рис. 8.7). Обозначим двугранный угол между двумя последовательными положениями плоскости орбиты через Тогда очевидно, что с уменьшением угла i измеряемый в плоскости экватора угол будет при том же значении становиться все больше. В плоском случае при const будет для 0. i На сфере пре- дельное значение будет, естественно, конечным. 122 Рис. 8.7. К качественной интерпретации эффекта вырождения узла при 0 i Если измерять прецессию приращением , то очевидное со- отношение = sini и первая формула из (8.17) дают выра- жение 2 sin 2i p В полном соответствии со здравым смыслом 0 для полярных и экваториальных орбит, и принимает максимальное значение для / 4 i При = 0 i (экваториальная орбита) имеем 2 4 p , что, очевидно, противоречит формуле (8.16), где та же самая величина оказалась вдвое меньше. Однако полученное несоответс- твие является лишь кажущимся. Как известно, угол отсчиты- вается от восходящего узла орбиты. В случае экваториальной орбиты оба эти угла, определяющие долготу восходящего узла и направление на перицентр, лежат в одной плоскости и поэтому могут складываться алгебраически. Если взять в указанной плоскости некоторое неподвижное в абсолютном пространстве направление, то изменение направления на перицентр относительно 123 этого неподвижного направления будет задаваться суммой В случае, рассмотренном ранее (см. (8.15) и (8.16)), эта сумма равна 2 2 0 p В рассматриваемом же здесь случае (8.17) поворот направления на перицентр в абсолютном пространстве будет равен 2 2 2 4 , p p то есть оба решения дают одно и то же движение в абсолютном пространстве. Разница между двумя значениями связана с тем, что первое было получено в неподвижной в абсолютном пространстве системе координат ( 0) , а второе – во вращающейся 2 2 p Это, в свою очередь, зависит от того, что в первом случае было положено 0, i а во втором 0. i Именно на это обращалось ранее 36 Суммируя вышесказанное, можно утверждать, что несферич- ность Земли приводит, вообще говоря, к сложному движению КА: плоскость его орбиты вращается вокруг оси симметрии Земли, а эллиптическая траектория КА вращается, в свою очередь, как целое в этой плоскости. Причем здесь речь идет о так называемых вековых изменениях, то есть об эволюционных изменениях параметров ор- биты, накапливаемых от витка к витку вокруг Земли. Если же по- смотреть на уравнения движения (6.28), то нетрудно видеть, что внутри витка все оскулирующие элементы претерпевают измене- ния, то есть орбита постоянно «дышит». 8.6. Специальные орбиты Вековая прецессия плоскости орбиты это существенный элемент динамики космического полета. При наклонениях орбиты, характерных для большинства российских КА, величина указанной прецессии имеет порядок 4° в сутки. Если учесть, что морская миля соответствует угловой минуте, то суточное смещение траектории КА относительно Земли может иметь порядок более 200 морских миль или около 400 км. Эффекты такого масштаба, безусловно, следует учитывать. Иногда эти эффекты носят отрицательный, 124 иногда положительный характер. В качестве примера, когда пре- цессия плоскости орбиты может оказаться полезной, рассмотрим задачу получения карты звездного неба. Пусть КА ориентирован так, что оптическая ось телескопа всегда направлена по местной вертикали, и поэтому фотографируются звезды, находящиеся в зе- ните. За один виток КА способен сфотографировать звезды, нахо- дящиеся в узкой кольцевой зоне, симметричной относительно плоскости орбиты. Если бы прецессии орбиты не существовало, то КА постоянно фотографировал бы одни и те же звезды. Однако при указанной выше суточной величине прецессии вся доступная КА часть небесной сферы будет отснята за 45 суток без каких-либо за- трат топлива на поворот плоскости орбиты, а ниже будет показано, что такие затраты были бы огромны. Последнее равенство из (8.17) указывает на характер изменения направления на перицентр. Это изменение зависит от наклонения плоскости орбиты ,i и для его значений, удовлетворяющих усло- вию 2 4 5sin 0 i , величина 0. При этом значении i плос- кость орбиты будет прецессировать, но расположенная в этой плоскости эллиптическая орбита не будет «вертеться» изменять положение своей оси симметрии в этой плоскости. Указанное зна- чение i приблизительно равно 63.4°. Орбита с таким наклонением носит название орбита Молнии по названию серии отечественных КА связи «Молния», и она широко использовалась при создании систем связи. Орбиты этих аппаратов имеют аргумент перицентра −90° и период обращения 12 часов. Большую часть времени на ор- бите спутник проводит в районе апогея высотой около 40 000 км, который для орбиты Молнии проходит над северным полушарием Земли. На рис. 8.8 показаны орбита и положение КА на ней с шагом в один час 37 . Чтобы покрыть всю территорию северного полушария, требуется по крайней мере три КА, в реальности использовалось четыре пары спутников «Молния», орбиты которых были смещены на 90° относительно друг друга. При таком наклонении линия узлов орбиты «естественно» прецессирует, поэтому «розочка» с орбита- ми-«лепестками» над северным полушарием прецессирует как одно целое вокруг оси вращения Земли. 37 Рисунок взят из http://earthobservatory.nasa.gov/Features/OrbitsCatalog/page2.php 125 Рис. 8.8. Положение КА с шагом в один час на орбите Молнии Другие орбиты, также широко используемые на практике, называются солнечно-синхронные орбиты (или гелиосинхронные орбиты). Космический аппарат, находящийся на них, проходит над любой точкой земной поверхности приблизительно в одно и то же местное солнечное время. Но тогда и угол освещения земной по- верхности Солнцем будет одинаковым на всех проходах КА. Такие условия освещения хорошо подходят для КА дистанционного зон- дирования Земли и метеоспутников. Параметры орбиты выбира- ются таким образом, чтобы орбита прецессировала в восточном направлении на 360 градусов в год (приблизительно на 1 градус в день), компенсируя вращение Земли вокруг Солнца. Первое равен- ство из (8.17) позволяет определить наклонение орбиты при за- данных ее параметрах, то есть требуемое наклонение зависит от высоты орбиты, если она круговая. Поделив левую и правую части этого равенства на 2 , получим справа выражение для скорости 126 прецессии линии узлов орбиты ( d du ). Для орбит высотой 600– 800 км требуемое наклонение орбиты составляет около 98°. К третьему типу специальных орбит относятся геосинхронные орбиты. Переписывая формулу (2.1), получаем выражение для большой полуоси орбиты в зависимости от периода обращения спутника: 1 3 2 2 4 rev T a Подставляя сюда значение сидерического (звездного) периода, соответствующего одному обороту аппарата вокруг Земли относи- тельно инерциального пространства, который равен 23 часам 56 минутам и 4 секундам (солнечный период равен 24 часам), по- лучаем значение большой полуоси геосинхронной орбиты. Если орбита имеет отличное от нуля наклонение и нулевой эксцентри- ситет, то при наблюдении с Земли аппарат в течение суток описы- вает на небосводе «восьмёрку». Если же наклонение и эксцентри- ситет отличны от нуля, то восьмёрка может, в зависимости от наклонения и эксцентриситета, выродиться в эллипс или в отрезок прямой, лежащий в плоскости экватора (при ненулевом эксцен- триситете и нулевом наклонении). Частным случаем геосинхронной орбиты является геостацио- нарная орбита круговая орбита, лежащая в плоскости земного экватора, для которой спутник в небе неподвижен. Геостационарная орбита имеет радиус 42 164 км с центром, совпадающим с центром Земли, что соответствует ее высоте 35 786 км над уровнем моря. Именно этот тип орбит получил широкое применение для обеспе- чения связи, так как спутник, расположенный на ней, покрывает практически целиком полушарие Земли. Однако гравитационное поле Земли преподносит и здесь свои сюрпризы. Полярное сжатие нашей планеты, представляемое в разложении потенциала (8.1) гармоникой 2 , J не приводит к асимметрии в экваториальной плоскости, в то время как вторая тессеральная гармоника 22 , J наоборот, представляет небольшую эллиптичность в экваториаль- ном сечении Земли. В соответствии с этими двумя гармониками эллипсоид планеты имеет следующие размеры больших полуосей: 127 две экваториальные 6 378 266.3 м и 6 378 053.7 м и полярную 6 356 774.72 м. Разница между экваториальными полуосями почти на два порядка меньше, чем разница между полярной и экватори- альными полуосями. Тем не менее, как полярное сжатие Земли оказывает сильное влияние на эволюцию орбит спутников, дви- жущихся вокруг Земли, так и экваториальное сжатие вносит свою лепту и заставляет принимать во внимание его наличие. Вспоминая, как представлялось полярное сжатие (см. рис. 8.6), аналогично можно представить и экваториальное сжатие планеты двумя сим- метричными, лежащими в экваториальной плоскости на противо- положных сторонах диаметра «нашлепками» дополнительных масс. Тогда, зная, что центральное поле не приводит к анизотропии в положениях равновесия спутника на геостационарной орбите, его притяжение этими нашлепками зависит от расстояния до них. Су- ществует две точки на орбите, где спутник равноудален от нашле- пок, и две точки, лежащие на том же диаметре, что и нашлепки. Именно эти четыре точки и являются положениями равновесия спутника на геостационарной орбите. Будучи помещенным в другие точки орбиты, спутник будет дрейфовать, смещаясь вдоль орбиты. Но это еще не все ограничения на размещение спутника. Легко со- образить из баланса сил притяжения спутника нашлепками, что из этих четырех точек только две будут устойчивы лежащие на упомянутом диаметре. Их координаты соответственно равны 75° и 255° восточной долготы. Направление, совпадающее с этим диа- метром, носит название гравитационной долины (gravitational val- ley).Одна устойчивая точка лежит над Атлантическим океаном, вторая расположена над Тихим океаном. Понятно, что интерфе- ренция радиоволн с близкими частотами, заставляет разносить спутники как по долготе, так и по частоте передатчиков. Есть спе- циальная международная организация Международный союз электросвязи, который распределяет точки стояния и радиочастоты между спутниками. Поэтому приходится решать задачу удержания спутника в заданной точке геостационарной орбиты. На практике геостационарные спутники в количестве более трех сотен распре- делены достаточно равномерно по орбите 38 , несмотря на наличие указанных точек. 38 http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/354072 |