Введение в механику. Введение в динамику космического полёта

• Название: Введение в динамику космического полёта
• Анкор: Введение в механику
• Дата: 17.03.2023
• Размер: 2.84 Mb.
• Имя файла: vvedenie_v_dinamiku_kosmicheskogo_polyot.pdf
• Тип: Документы; #997464
• страница: 12 из 19

9. Движение КА при наличии двух
притягивающих центров
Фактически в этом разделе вновь идет речь о планетоидной задаче трех тел. В отличие от предыдущего покажем, как могут быть получены количественные оценки путем обращения к системе уравнений движения, записанных в оскулирующих элементах.
Будем предполагать, что оба небесных тела (для определенно- сти

Солнце и Земля), в поле тяготения которых движется КА, яв- ляются материальными точками или шарообразными телами и они лишены атмосфер. Будем далее предполагать, что КА движется внутри сферы действия Земли, и поэтому Солнце сказывается на его движении как источник малых ускорений , , .
S T W Эту задачу в более общей постановке о влиянии притяжения Луны и Солнца на высокие орбиты искусственных спутников Земли решил
М.Л. Лидов
39
Уравнение движения КА в геоцентрической системе координат
(5.5) содержит в качестве слагаемого, дающего вектор возмущаю- щего ускорения ,
b выражение
1 3
3
m
s
R


 





s
R
b

, которому с учетом равенства (5.8) может быть придан вид
1 2
3
m
r
R
R r
Rr R


 







r
Rr R
b

(9.1)
Здесь использованы обозначения, введенные на рис. 5.2. Найдем
, ,
S T W с помощью выражения (9.1). Предположим, что движение является плоским (траектория КА лежит в плоскости земной орбиты
39
Михаил Львович Лидов (1926–1993). Советский и российский учёный в области прикладной небесной механики, главный научный сотрудник ИПМ им. М.В. Кел- дыша РАН. Известен своими результатами по устойчивости орбит КА в присутс- твии возмущений от других небесных тел, баллистическими расчетами для осуществления мягкой посадки на Луну, а также пионерскими работами по определению плотности верхних слоев атмосферы по траекторным измерениям первого ИСЗ.

129 вокруг Солнца). Пусть КА пренебрежимо малой массы m движется по эллиптической орбите вокруг Земли массы
2
m
(рис. 9.1). Солнце, обладающее массой
1
,
m
находится настолько далеко, что вызываемые им возмущения движения КА могут считаться малыми.
Рис. 9.1. Движение КА в поле двух притягивающих центров
Пренебрегаем годичным движением Земли вокруг Солнца. Как известно, за одни сутки угол

изменяется приблизительно на один угловой градус (точнее, на 360 градусов за 365 дней), и, следова- тельно, предполагается, что такое изменение

малосущественно, если рассматривать интервал времени порядка периода обращения
КА вокруг Земли. Поэтому положим, что угол ,

определяющий направление на Солнце, будет постоянным.
В силу сделанного предположения о плоском характере дви- жения справедливо равенство
0
W

(9.2)
Значение компоненты ускорения S определяется как проекция вектора b на направление вектора
:
r
2 1
2
(1 3cos
)
m
r
S
r
R
R


   


r
b
или, используя связь
(
)

 




(см. рис. 9.1), имеем
2 1
2
[1 3cos (
)]
m
r
S
R
R

 
 



(9.3)

130
Аналогично, компонента возмущающего ускорения T может быть найдена как проекция вектора b на направление орта
,
T
e
нормального к
:
r
1 2
(0 3cos cos )
T
m
r
T
R
R




 


be
или после несложных тригонометрических преобразований с уче- том соотношения
/ 2
   
  
(см. рис. 9.1):
1 2
3
cos(
)sin(
)
m
r
T
R
R

 
 




(9.4)
Полученные значения W (9.2), S (9.3) и T (9.4) позволяют найти изменение всех оскулирующих элементов после одного об- ращения КА вокруг Земли по методике, применявшейся выше. Ра- венство (9.2) сразу дает
0,
0
i
 
 
Поскольку в нашем случае Солнце считается неподвижным
(
const)


, то гравитационное поле двух притягивающих центров становится консервативным. Но тогда движение по замкнутой траектории (эллипсу) не может изменить энергии КА, а следова- тельно, и полуось
,
a
являющуюся мерой энергии, поэтому
0.
a
 
Громоздкие выкладки
40
позволяют найти приближенное вы- ражение для изменения эксцентриситета за оборот КА по орбите
3 2
1 2
15 1
cos sin
m
a
e
e
e
m
R



 
  

 
 
(9.5)
Таким образом, в результате возмущающего действия Солнца орбита не будет изменять плоскости своего движения и размера
(большой полуоси), но будет изменять форму (эксцентриситет).
Этот эффект не будет проявляться у круговых орбит (
0)
e

и сильно вытянутых, приближающихся к параболическим (
1).
e

40
Лидов М.Л. Эволюция орбит искусственных спутников планет под действием гравитационных возмущений внешних тел // Искусственные спутники Земли. 1961. Вып. 8. С. 5–45.

131
Наибольший эффект, как очевидно следует из соотношения (9.5), свойственен орбитам, имеющим =1/ 2 0.7,
e

то есть с доста- точно ярко выраженной эллиптичностью.
Изменение эллиптичности орбиты может привести к «падению»
КА на Землю. Рассмотрим, как это происходит. Из приведенных на рис. 9.2 обозначений следует, что высота пролета КА над поверх- ностью шарообразной Земли радиуса
2
,
r
обозначенная через
,
H
будет равна
2
(1
)
H
a
e
r

 
Если окажется, что изменение этой высоты H
a e
   
будет иметь «нужный» знак и удовлетворять неравенству |
| >
,
H
H

то КА «врежется» в Землю (затормозится в её атмосфере и упадет на поверхность Земли).
Рис. 9.2. К возможности падения КА на Землю
Интересно отметить, что характер изменения высоты пролета
КА над Землей (будет эта высота увеличиваться или уменьшаться) зависит от знака e

(см. (9.5)), который, в свою очередь, зависит от угла

Но угол

отражает годичное движение Солнца, то есть эффект изменения высоты пролета над поверхностью Земли ока- зывается, условно говоря, функцией сезона

весной он один, а зи- мой и летом

другой.
Если не делать допущений о плоском характере движения, то возмущающее ускорение W оказалось бы отличным от нуля. Это сильно усложнило бы анализ явления, но его общий характер не изменится. Когда орбита КА ортогональна плоскости орбиты воз- мущающего тела, эволюция орбиты в конечном счете приводит

132 к падению КА на поверхность планеты. Это помогает понять, по- чему орбиты почти всех естественных спутников планет лежат в плоскости эклиптики. Исключение составляют спутники Урана, орбита которых почти перпендикулярна эклиптике. Оказалось, что спутники Урана являются исключением из-за значительной нецен- тральностью его гравитационного поля и его удаленностью от
Солнца. Если бы наша Луна вздумала двигаться по орбите, пер- пендикулярной плоскости эклиптики, то жить бы ей довелось всего четыре с половиной года.
Практический пример реализации этой теории

вход в плотные слои атмосферы Земли КА «Луна-3», сделавшего первый снимок обратной стороны Луны в 1959 году. Его геоцентрическая орбита имела наклонение 80° и изначально высоту апогея 480 000 км и перигея 47 000 км. Через 11 оборотов вокруг Земли КА вошел в плотные слои атмосферы и сгорел. Другой наглядный пример тор- жества знаний теории являет собой американский КА «Explorer-6», время жизни которого снизилось с ожидаемых 20-ти лет до двух.
Перигей его высокоэллиптической орбиты благодаря притяжению
Луны каждые три месяца опускался до 250–160 км (влияние угла

см. в (9.5)), что и привело к преждевременной деградации его ор- биты.

133
10. Основы теории маневрирования КА
10.1. Характеристическая скорость
Выше рассматривалась в известном смысле непреднамеренная эволюция орбиты КА благодаря природным эффектам (сопротив- ление атмосферы, сжатие Земли, третье тело). Теперь рассмотрим маневры КА, то есть преднамеренные изменения его траектории.
Вот примеры, когда необходимо совершать маневры:

для сближения с другим КА, для коррекции траектории на под- лете к планете назначения;

для низколетящих, например, пилотируемых орбитальных станций необходимы периодические маневры увеличения вы- соты полета, монотонно уменьшающейся вследствие сопротив- ления атмосферы;

маневры изменения периода обращения бывают нужны для точного прохождения над заданным пунктом земной поверх- ности, например, над стартующим КА, с которым предпола- гается сближение;

посадочный импульс, переводящий КА на траекторию сниже- ния, является важным частным случаем маневра.
Такие преднамеренные изменения траектории движения КА связаны с включением реактивных двигателей, изменяющих его вектор скорости. О «цене» нужного для изменения элементов ор- биты импульса скорости судят по соответствующему расходу топ- лива. Естественно, что важен не абсолютный расход, а относи- тельный, например, по отношению к массе всего КА. Обычно для оценки расхода топлива пользуются не массой или объемом топ- лива, а другой величиной, связанной с его относительным расходом взаимно однозначным соответствием

характеристической скоро- стью. Характеристическая скорость
x
V
– это скорость, которую
КА развил бы в пространстве, лишенном полей тяготения и в от- сутствии сопротивления движению или иного побочного силового воздействия. Для установления связи между расходом топливаи оставшимся запасом характеристической скорости, то есть спо- собностью к изменению скорости,воспользуемся формулой Циол-
ковского:

134 0
ln
x
m
V
w
m

,
(10.1) где w

относительная скорость истечения продуктов сгорания топлива;
x
V

текущее значение скорости КА;
0
m

его начальное и
m

текущее значение массы КА.
Очевидно, что относительная масса израсходованного на те- кущее мгновение T топлива
T
m
определяется выражением
0 0
0
T
m
m
m
m
m


(10.2)
С помощью равенств (10.1) и (10.2) можно найти связь, устанавливающую, сколько характеристической скорости израсходовано:
0
,израсход
0
ln
x
T
m
V
w
m
m


(10.3)
Вместо того, чтобы говорить о количестве израсходованного топлива
,
T
m
это соотношение позволяет говорить о количестве
«израсходованной» характеристической скорости. Чтобы вместо емкости заполненных топливных баков говорить о «запасе» характеристической скорости, необходимо преобразовать формулу
(10.3) к виду
0
,остаток
0
ln
T
x
f
m
m
V
w
m
m



, где
f
m

начальная суммарная масса топлива, запасенного на борту
КА для выполнения маневров. Этот способ оценки запаса и расхода топлива обладает большой наглядностью, так как маневрирование
КА сводится к изменению его вектора скорости, и поэтому утверждение, что на КА имеется еще 200 кг топлива, говорит намного меньше, чем утверждение, что он обладает запасом характеристической скорости в 100 м/с.
10.2. Матрица маневра
Относительно маневрирования КА сделаем предположение, что изменение его вектора скорости, вызванное работой реактивного

135 двигателя, происходит за малое время
n
t
«Малость»
n
t
понима- ется как малость по сравнению с некоторым характерным временем процесса, например, периодом обращения КА по орбите вокруг
Земли. Малость
n
t
позволяет рассматривать маневр как изменение вектора скорости КА под действием мгновенного импульса.
Обычно время включения двигателя измеряется секундами или де- сятками секунд, в то время как период обращения спутника Земли составляет не менее полутора часов. В силу сказанного из рас- смотрения исключаются такие режимы, как разгон с первой до второй космической скорости или режим посадки на безатмосфер- ную планету. Исключение подобных режимов надо признать есте- ственным, так как они по своему характеру фактически совпадают с режимом разгона КА ракетой-носителем и их уместно изучать в курсах динамики ракет, а не динамики КА. Мгновенный характер изменения вектора скорости КА приведет к тому, что в уравнениях движения изменение скорости не будет связано с изменением ко- ординат, в рассматриваемом случае

с изменением истинной ано- малии

или аргумента широты
u
Воспользуемся уравнениями движения КА в оскулирующих элементах, записанных в форме (6.25), где в качестве независимой переменной времени используется время .t Будем интегрировать эту систему, основываясь на предположении о малости
n
t
и о ма- лости сообщаемой КА характеристической скорости по сравнению с текущей. Последнее предположение позволит использовать прием, применявшийся выше, то есть считать, что за время работы двига- теля
n
t
оскулирующие элементы изменяются не непрерывным об- разом, а скачком к моменту выключения двигателя. Так, например, изменение оскулирующего элемента

будет, как это следует из первого уравнения (6.25), определяться выражением
0
sin sin sin sin
t
n
W
r
u
r
u
Wdt
V
i
i
p
p
 





(10.4)
Здесь знак

означает малое приращение и в соответствии со сделанными предположениями возмущающее ускорение W

136
(точнее, ускорение, связанное с включением двигателя и возму- щающее исходную траекторию) мало, как мало и время
n
t
Это приводит к малому изменению
W
V

составляющей вектора скорости КА, определяемому очевидным образом:
0
t
n
W
V
Wdt



(10.5)
Малость
W
V

приводит к малому изменению

Как уже говорилось, при дальнейшем рассмотрении сообщенный КА управляющий импульс
W
V

будем предполагать мгновенным, а «ответом» КА на этот импульс будет мгновенное изменение угла

на величину

Аналогичные соображения можно привести и при рассмотре- нии изменения других оскулирующих элементов
, , , , ,
i p e
 
а также при рассмотрении таких включений реактивного двигателя, которые дадут отличные от нуля компоненты вектора мгновенного изменения скорости полета КА

S
V

и
,
T
V

определяемые ра- венствами типа (10.5) и связанные с возмущающими ускорениями
S и
T Таким образом, полный вектор мгновенного изменения скорости КА

V с компонентами
(
,
,
)
S
T
W
V
V
V



приведет к мгновенному изменению оскулирующих элементов на величины
,
,
,
,
,
i
p
e


    

Ограничим дальнейшее рассмотрение ма- невров КА лишь основными геометрическими параметрами дви- жения КА: положением плоскости орбиты ( , ),
i

размерами и формой орбиты ( , )
p e .
Малость модуля вектора

V
и приращений оскулирующих элементов
,
,
,
i
p
e
   
позволяет использовать принцип супер-
позиции и написать
11 12 13 21 22 23 31 32 33 41 42 43
,
,
,
,
S
T
W
S
T
W
S
T
W
S
T
W
A
V
A
V
A
V
i
A
V
A
V
A
V
p
A
V
A
V
A
V
e
A
V
A
V
A
V
 
 
 

 
 
 

 
 
 

 
 
 

(10.6)

137 причем численным коэффициентам
11 43
,
,
A
A
естественно дать следующие обозначения:
11 12 13 21 22 23 31 32 33 41 42 43
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
S
T
W
S
T
W
S
T
W
S
T
W
A
A
A
V
V
V
i
i
i
A
A
A
V
V
V
p
p
p
A
A
A
V
V
V
e
e
e
A
A
A
V
V
V




































(10.7)
Определение величин
,
S
V


труда не представляет. Дей- ствительно, пусть, например,
=
= 0
S
T
V
V


. Тогда, считая, что символом

обозначены линейные приращения функций, запишем
,
,
,
W
W
W
W
W
W
W
W
i
i
p
p
e
e
V
V
V
V
V
V
V
V




















. (10.8)
Но связь между приращением оскулирующего элемента и компонентой вектора
V

дается соотношениями типа (10.4), из которого, в частности, следует, что sin sin
W
r
u
V
i
p




Тогда
,
W
V


как это следует из равенств (10.8) и системы уравнений движения (6.25), совпадает с соответствующим коэффициентом при возмущающем ускорении
W
в первом из уравнений этой системы. Совершенно аналогично могут быть найдены и все другие значения коэффициентов (10.7) линейного преобразования (10.6).
Если выписать по указанному правилу матрицу этих коэф- фициентов

138 0
0 0
0 0
0 0
w
w
T
S
T
V
i
V
A
p
V
e
e
V
V




































sin
0 0
sin
0 0
cos
0 2
0
sin
1
cos
0
r
u
i
p
r
u
p
p
r
p
p
r
er
p
p




















 





















, то она дает представление (конечно, в ограниченном объеме) о свойствах, присущих маневру КА, и поэтому ее называют матрицей
маневра. В частности, для исходной круговой орбиты (
0)
e

матрица маневра принимает вид sin
0 0
sin
0 0
cos
0 2
0
sin
2
cos
0
r
u
i
p
r
u
p
A
p
r
p
p



















 













(10.9)

139
Изучение маневров для случая исходной круговой орбиты позволяет получить ряд наглядных аналитических выражений, способных дать оценки, справедливые и для эволюции эллиптиче- ских орбит.