Введение в механику. Введение в динамику космического полёта
 Скачать 2.84 Mb.
|
|
10.3. Маневр изменения плоскости орбиты Этот маневр связан с изменением и , i следовательно, связан с двумя первыми строками матрицы A Следуя выражениям (10.6) и (10.7), получим с использованием матрицы (10.9) sin sin W r u V i p , (10.10) cos W r i u V p (10.11) Для круговой орбиты справедливы равенства 3/2 , 0, , 2 circ rev a r p a e V T p . (10.12) Последние два равенства, по сути, повторяют формулы (2.3) и (2.1). Воспользовавшись равенствами (10.12), придадим соотношениям (10.10) и (10.11) следующий вид: 1 sin sin W circ u V V i , (10.13) 1 cos W circ i u V V (10.14) Полученные формулы позволяют указать на два важных обстоя- тельства. 1. Эффективность маневра в сильной степени связана с коор- динатой , u определяющей точку траектории КА, в которой ему был сообщен мгновенный импульс маневра. Так, при 0 u долгота восходящего узла не может быть изменена, в то время как наклонение орбиты i претерпит наибольшее изменение. При / 2 u картина будет обратной. Эти свойства имеют вполне ло- 140 гичное объяснение. Поскольку величина u отсчитывается от узла, то есть от экватора, то соответствующая схема маневра выглядит так, как показано на рис. 10.1. Рис. 10.1. Маневр КА над экватором при 0 u Пусть первоначальное положение плоскости орбиты задано прямой , AA проходящей через восходящий узел. Пусть также КА обладает при пересечении плоскости экватора скоростью V и в этот момент времени ему будет мгновенно сообщена дополнительная скорость , W V перпендикулярная первоначаль- ной плоскости орбиты. Новой плоскостью орбиты станет , BB причем, естественно, восходящий узел не сдвинется, то есть будет выполняться равенство = 0, а изменение претерпит наклонение орбиты .i Пусть теперь импульс скорости W V сообщается КА при / 2. u Для простоты рассуждений положим / 2, i то есть рассмотрим первоначальное движение КА, происходящее в плос- кости меридиана. При / 2 u КА будет находиться над Север- ным полюсом (рис. 10.2). Теперь мгновенный импульс W V пере- водит плоскость орбиты из положения AA в положение BB Линия пересечения плоскостей этих орбит (линия узлов) будет проходить по прямой, соединяющей полюса Земли. Новая орбита опять лежит в плоскости меридиана, то есть новое значение угла i будет вновь / 2, i то есть 0. i Что же касается восходящего 141 узла, то он сдвинется на экваторе в новое положение на угол 0, соответствующее новой плоскости меридиана, по которой теперь движется КА (рис. 10.2). Рис. 10.2. Маневр КА над полюсом при = / 2 u 2. Другим важным свойством рассматриваемых маневров яв- ляется их чрезвычайная «дороговизна». Действительно, формула (10.14) показывает, что для изменения наклонения плоскости ор- биты на один радиан по меньшей мере требуется = W circ V V Ко- нечно, в этом случае маневр уже не является «малым» и примени- мость этой формулы должна вызывать справедливые сомнения, однако этот результат правильно передает тенденцию. Космодромы России не позволяют производить старты с малыми значениями наклонения .i Нетрудно сообразить, что угол i не может быть меньше географической широты точки старта. Для объяснения этого факта нужно просто принять во внимание, что плоскость ор- биты должна проходить через центр масс Земли. Минимально воз- можное наклонение орбиты можно получить, если только запустить КА вдоль параллели, то есть на восток. При отклонении направле- ния запуска к северу или к югу наклонение орбиты будет только увеличиваться, точнее, будет увеличиваться угол между нормалью к плоскости орбиты и осью вращения Земли. Зачастую наклоне- ние i орбиты выводимых в России искусственных спутников Земли имеет значения, близкие к одному радиану. Но тогда для перевода КА на стационарную экваториальную орбиту ( 0), i например, для геостационарных спутников связи, требуется характеристиче- 142 ская скорость того же порядка, что и для вывода КА на орбиту. Это говорит о полной бесперспективности такого перевода бортовыми средствами КА. Для столь энергоемкого процесса потребуется специальный ракетный разгонный блок, а это еще одна дополни- тельная ступень ракеты-носителя. В этом смысле российская кос- монавтика находится в более тяжелых условиях, чем американская, так как самый южный космодром, доступный для запуска россий- ских ракет, находится на широте 46.5°, да и то на территории со- предельного независимого государства Казахстан, в то время как американский космодром имени Кеннеди на мысе Канаверал рас- положен на широте 28°. Строящийся новый российский космодром «Восточный» в Амурской области находится на широте 51.5°. Если ограничиться «малыми» поворотами плоскости орбиты, то, пред- положив, что необходим поворот всего на один угловой градус, найдем потребное значение: = 140 м/с. W V Что касается измене- ния положения восходящего узла, то формула (10.13), имеющая ту же структуру, что и формула (10.14), говорит о столь же «дорогой» цене получения сколько-нибудь значительных величин. Формальное увеличение при 0 i не отражает сути де- ла. Как уже было показано выше при обсуждении прецессии ор- биты, это связано с вырождением используемой системы координат при 0. i Таким образом, при маневрировании в космосе необходимо всячески избегать маневра поворота плоскости орбиты. Тем не ме- нее существуют разные способы решения этой проблемы. Если все же надо изменить наклонение орбиты, то можно вначале дать раз- гонный импульс, с помощью которого КА перейдет на сильно вы- тянутую орбиту с высоким апогеем. В районе апогея скорость КА будет совсем невелика, и направление движения можно изменить, приложив небольшой импульс, ведь изменение наклонения будет определяться отношением текущей скорости КА в этой точке и приложенным импульсом w V перпендикулярно плоскости ор- биты. В районе перицентра этого вытянутого эллипса дается тор- мозной импульс, который переводит аппарат на нужную круговую орбиту уже с требуемым наклонением. Этот маневр, именуемый «межорбитальным перелетом с высоким апогеем», особенно ак- туален при запуске геостационарных спутников, которые первона- 143 чально выводятся на низкую орбиту с наклонением к экватору, равным широте космодрома, а потом переводятся на геостацио- нарную орбиту. Использование такой биэллиптической траектории, предложенной и обоснованной А. Штернфельдом 41 позволяет за- метно сэкономить топливо. Другой подход, когда удалось избежать изменения наклонения орбиты, был реализован при стыковке космических кораблей «Со- юз» и «Аполлон» в 1975 году. Если бы они стартовали одновре- менно, то плоскости их орбит оказались несовпадающими и по- требный для сближения маневр энергетически невыполнимым. Поэтому «Аполлон» «ждал» до тех пор, пока проворачивающаяся под орбитой «Союза» Земля доставила космодром имени Кеннеди в плоскость орбиты «Союза», которая оставалась в первом прибли- жении неподвижной в абсолютном пространстве, а затем был осу- ществлен старт «Аполлона» с наклонением ,i совпадающим с наклонением плоскости орбиты «Союза». Это можно было выпол- нить, так как широта места старта «Аполлона» меньше наклонения орбиты «Союза». При такой методике старта второго корабля про- цесс сближение происходил в основном без изменения положения плоскости орбиты. Рассмотрим теперь маневрирование в плоскости орбиты без ее поворотов. 10.4. Маневры в плоскости орбиты Ограничимся ниже рассмотрением только эволюции наиболее интересных параметров траектории КА, характеризующих ее раз- мер (параметр ) p и форму (эксцентриситет ). e Третья строка матрицы маневра A в (10.9) указывает на то, что изменение p 41 Ари Абрамович Штернфельд (1905–1980). Учёный, один из пио- неров современной космонавтики со сложной жизненной судьбой. Рас- считал и теоретически исследовал траектории космических полётов, определив энергетически оптимальные. Траектории с предварительным удалением от цели, позволяющие значительно экономить топливо, назы- вают штернфельдовскими. Ввёл понятие космических скоростей и рас- считал их значения. Термины космонавтика, первая космическая ско- рость, космодром введены им впервые в книге «Введение в космонавтику» (1934). Его научные и научно-популярные труды были опубликованы на 40 языках в 39 странах всех пяти континентов. 144 связано только с компонентой , T V причем = 2 T p p r V Если учесть круговой характер орбиты (10.12), то легко убедиться, что rev T T p V (10.15) Для обычных КА 90 мин, rev T и тогда 90 60 км 1.7 м / с T p V (10.16) Таким образом, мгновенный импульс скорости всего в 1 м/с дает увеличение параметра орбиты p на 1.7 км. Это следует признать весьма «дешевым» маневром. Действительно, импульс 140 м/с, которого хватило бы лишь для едва заметного поворота плоскости орбиты на 1°, дает возможность изменить высоту полета на 240 км, то есть на весьма существенную величину, если учесть, что обычно высота полета спутников и орбитальных станций составляет несколько сотен километров над поверхностью Земли. Рассмотрим другую эволюцию орбиты изменение ее формы (изменение ) e из круговой орбиты. Как следует из последней строчки матрицы маневра A (10.9), изменение e связано как с импульсом , T V так и с импульсом S V Изучим их действие раздельно. В случае сообщения КА тангенциального импульса T V из- менение T e определяется соответствующим элементом матрицы маневра и вычисляется по формуле 2 cos T T p e V (10.17) Затруднение, которое возникает при попытке воспользоваться им, связано с определением истинной аномалии Как известно, этот угол отсчитывается от направления на перицентр, но у орбиты КА, движущегося по круговой орбите, такого направления нет. Выходом из положения является рассмотрение изменения орбиты как бы при двухступенчатом сообщении КА импульса маневра сначала бесконечно малого импульса, который на сколь угодно малое время 145 предшествует основному, а затем второго основного импульса. Будучи бесконечно малым, первый импульс не способен привести к конечному изменению траектории движения: круговая орбита перейдет в бесконечно близкую ей эллиптическую орбиту, а у эллиптической орбиты (независимо от величины ) e уже есть направление на перицентр. На рис. 10.3 приведена исходная круговая орбита I и бесконечно близкая ее эллиптическая орбита II, возникшая в результате сообщения КА импульса 0. T V Рис. 10.3. Исходная круговая орбита I и бесконечно близкая ее эллиптическая орбита II, полученная бесконечно малым импульсом 0 T V Из этого рисунка видно, что в этом случае точка сообщения импульса лежит на направлении на возникший перицентр, и, сле- довательно, для нее = 0 . Но тогда с учетом равенств (10.12) и (10.17) имеем 2 = | | . T T circ e V V (10.18) Знак абсолютной величины при T V поставлен для того, чтобы если изменить направление T V и повторить приведенные выше рассуждения, то и при = формула (10.18) сохранила си- лу. 146 В случае сообщения КА нормального (радиального) импульса S V соответствующий элемент матрицы маневра A (10.9) равен sin p и неопределенность для круговой орбиты угла сни- мается аналогичными рассуждениями. Рис. 10.4. Получение направления на перигей (точка D ) бесконечно малым импульсом 0 S V Пусть в точке B КА сообщен бесконечно малый импульс , S V направленный к центральному телу (рис. 10.4). Тогда вектор скорости движения КА изменит свое направление на бесконечно малый угол , не изменив (с точностью до бесконечно малых высших порядков) своей величины. Следовательно, не сможет из- мениться по сравнению с исходной большая полуось орбиты, то есть новая траектория будет сколь угодно близка к окружности II, полученной из исходной орбиты I путем поворота ее вокруг точки B на бесконечно малый угол В результате возникнет направ- ление на перигей (точка ) D и для точки B исходной орбиты сле- дует положить = 3 / 2. Тогда 1 | | S S circ e V V (10.19) 147 Знак модуля появился здесь потому, что sin < 0 и < 0, S V поскольку сообщенный импульс скорости был направлен в сторону уменьшения r Если направить S V в другую сторону ( 0) S V , то формула (10.19) остается справедливой, поскольку в этом случае оказывается, что = / 2, > 0 S V Выражения (10.18) и (10.19) не дают оснований для заключения о затратах характеристической скорости, необходимых для совер- шения разумных маневров КА. Это связано с малой наглядностью такого параметра, как эксцентриситет e Чтобы придать получен- ным результатам наглядность и, с другой стороны, рассмотреть важный маневр, обратимся к нахождению посадочного импульса искусственного спутника Земли. 10.5. Маневр снижения Поскольку Земля обладает плотной атмосферой, то полное торможение КА вовсе не обязательно. Достаточно сравнительно малым посадочным импульсом «столкнуть» КА с орбиты, чтобы он в какой-то части своей эллиптической траектории хотя бы слегка погрузился в плотную атмосферу. Дальнейшее торможение будет осуществляться уже за счет сопротивления атмосферы. Понятие «плотной» атмосферы несколько неопределённо. Примем, что вы- сотой полета над поверхностью Земли, соответствующей плотной атмосфере, является такая высота, которая приводит к полному торможению КА на участке траектории, меньшем одного полного оборота вокруг Земли. Практика полетов показывает, что верхняя граница плотной атмосферы имеет порядок 100 км над поверхно- стью Земли. Поэтому в своих расчетах будем полагать, что сниже- ние некоторого участка орбиты до высот, меньших 100 км, означает посадку КА. Следует отметить, что вход в плотную атмосферу должен осуществляться полого (угол входа – единицы углового градуса), так как иначе аэродинамическое торможение будет из- лишне энергичным и в случае пилотируемых полетов возникающая перегрузка может привести к гибели космонавтов. Для беспилотных КА величина перегрузки не так критична, но «крутой» вход озна- чает, что КА был сообщен излишне большой посадочный импульс, а это свидетельствует об излишних затратах характеристической скорости. 148 Пусть КА движется вокруг Земли по круговой орбите. Путем сообщения ему посадочного импульса он переводится на эллипти- ческую орбиту с нужной величиной условного перигея. Условным перигеем называется такой перигей, который возник бы у орбиты КА в случае отсутствия у Земли атмосферы. Очевидно, что услов- ный перигей должен быть достаточно низким над поверхностью Земли, чтобы обеспечить эффективное торможение КА в атмосфере. Его потребная величина естественным образом связана с введенной выше границей плотной атмосферы. Легко сообразить, что, в каком бы направлении ни сообщить КА импульс , V на его новой тра- ектории обязательно будет существовать участок, который распо- лагается ниже исходной круговой орбиты. Следовательно, теоре- тически КА можно снизить импульсом произвольного направления. Единственным исключением из этого будет случай, когда КА со- общается импульс чистого разгона ( T V ). Тогда все точки новой орбиты будут лежать выше точек старой, за исключением точки, в которой КА был сообщен мгновенный импульс приращения ско- рости. Эта точка будет общей для обеих орбит. Следовательно, пе- ригей новой орбиты будет иметь ту же величину, что и радиус ис- ходной, то есть спуск окажется невозможным. Как правило, посадочные импульсы являются тормозными. Так осуществлялась, например, посадка КА «Союз». Однако это не единственно возможный случай. Рассмотрим более подробно им- пульс, направленный против вектора скорости КА. Это так назы- ваемое чистое торможение, в отличие от чистого прижатия, ко- гда импульс дается в радиальном направлении. В этом случае КА сообщается только импульс 0, T V который, как показывает матрица маневра A (10.9), приведет к изменению как , p так и e Численные значения соответствующих элементов матрицы A находим из равенства (10.9). Ищем изменение высоты полета в об- ласти условного перигея. Для него = 0, и уравнение (1.19) дает 1 p r r e Пусть для совершения посадки необходимо снижение высоты полета над Землей на величину H Тогда изменение r в точке перигея r H или 149 = = = 1 p H r p p e e (10.20) Последнее равенство получено в линейном приближении, причем учтено, что для исходной орбиты = 0. e Допустимость линейного приближения проистекает из того, что обычные высоты полета КА над Землей составляют сотни километров, в то время как радиус Земли составляет около 6400 км. Сравним оба слагаемых правой части равенства (10.20). Первое из них равно rev T T V (см. (10.15)), а второе – 2 | | T circ r V V (см. (10.18)). Поскольку 2 , circ circ r T V то очевидно, что они численно совпадают. Из этого следует, что изменения высоты полета в обла- сти перигея вследствие изменения эксцентриситета e или пара- метра p имеют для обычных орбит один порядок (и совпадают для круговых орбит). Но тогда можно заключить, что затраты характе- ристической скорости, связанные с изменением эксцентриситета , e столь же относительно «дешевы», что и затраты для изменения , p и маневрирование за счет изменения e является вполне разумным. Если перейти к численной оценке затрат характеристической скорости на маневр снижения перигея за счет торможения скорости полета КА, то произведенная выше оценка (10.16) и полученный только что вывод говорят о том, что при < 0 T V (торможение) 3.4 | | км, T H V (10.21) если T V измеряется в м/с. Полученные выражения позволяют оценить потребную для посадки величину затрат характеристической скорости. Пусть ис- ходная высота орбиты имеет порядок 400 км. Для получения условного перигея, меньшего, чем 100 км (то есть лежащего внутри плотной атмосферы), необходимо иметь 300 км. H В случае чистого торможения это даст в соответствии с формулой (10.21) | | 90 м / с. T V Практика полетов подтверждает, что посадочные импульсы имеют порядок 100 м / с. 150 Возвращаясь вновь к вопросу о рассмотренных выше маневрах в плоскости орбиты, можно утверждать, что сравнительно с ма- неврами поворота плоскости орбиты они несравненно более «де- шевые». Поэтому стратегия маневрирования в космосе должна сводиться к тому, чтобы по возможности избегать или сводить к минимуму изменения положения плоскости орбиты КА. Замена маневра поворота плоскости орбиты маневром в плос- кости орбиты возможна в том, например, случае, когда этот поворот необходим для изменения положения траектории КА относительно какого-либо географического пункта на поверхности Земли. Если при этом необходимо изменить долготу, то можно воспользоваться тем, что плоскость орбиты КА неподвижна (с точностью до таких эффектов, как прецессия, которые легко учитываются) в абсолют- ном пространстве, в то время как Земля совершает суточное вра- щение. Изменив период обращения КА, можно добиться того, что новая траектория КА пройдет восточнее или западнее прежней в районе нужного географического пункта. Этот эффект будет тем значительнее, чем раньше будет произведена коррекция периода обращения и чем более энергичной будет она. |