Введение в механику. Введение в динамику космического полёта
 Скачать 2.84 Mb.
|
|
Условная классификация спутников по массе Category Категория Масса, кг Стоимость, US $ Large satellite Большой спутник >1000 0.1÷2 млрд Medium satellite Средний спутник 500÷1000 50÷100 млн Minisatellite Миниспутник 100÷500 10÷50 млн Microsatellite Микроспутник 10÷100 2÷10 млн Nanosatellite Наноспутник 1÷10 0.2÷2 млн Cubesat Кубсат 1 Picosatellite Пикоспутник 0.1÷1 20÷200 тыс. Femtosatellite Фемтоспутник <0.1 0.1÷20 тыс. Каким бы классом распределенных систем мы ни занимались, для описания их относительного движения необходимы уравнения. Начнем с простейших уравнений относительного движения. 12.1. Относительное движение двух аппаратов Получим линеаризованные уравнения относительного движе- ния в предположении, что один из КА (назовем его главным) дви- жется по круговой орбите. Все переменные с индексом «c» («chief») будем относить к главному спутнику, с индексом «d» («deputy») – ко второму (дочернему) спутнику. Тогда уравнение движения каждого спутника относительно центра масс Земли (точка a O на рис. 12.1) будет иметь следующую форму: 3 0 ( , ) g i i i i c d r r r Введем вектор относительного положения , d c ρ r r как показано на рис. 12.1. Тогда уравнение относительного движения этих двух аппаратов имеет вид 3 3 0 d c d c r r r r ρ (12.1) 170 Проведем выкладки при условии c r , раскладывая члены этого уравнения по степеням малого безразмерного параметра c r и удерживая слагаемые первого порядка малости по этому параметру. Воспользуемся тем, что справедлива цепочка равенств 3 2 3 2 2 3 3 2 , 1 3 , c c c c c c c c r r r r r r ρ r ρ r ρ Рис. 12.1. Конфигурация формации в инерциальном пространстве В результате выражение в круглых скобках в (12.1) приводится к виду 3 3 3 2 3 2 , 3 , 1 1 3 c c c c c c c c c c c c c c r r r r r r ρ r ρ r ρ r r ρ r ρ r ρ r r a Тогда уравнение движения дочернего спутника относительно главного после линеаризации левой части (12.1) запишется следу- ющим образом: 3 5 3 , 0 c c c c r r r ρ r ρ ρ Перейдем в орбитальную систему координат , Oxyz начало кото- рой поместим в центр масс главного спутника, а оси направим по трансверсали (нормаль к радиус-вектору в сторону движения), би- нормали (нормаль к плоскости орбиты) и его радиус-вектору отно- 171 сительно центра масс Земли. Запишем уравнение в этой системе координат. Для этого вспомним связь между абсолютным (abs) и относительным (rel) изменением произвольного вектора a : abs rel d d dt dt a a ω a , где ω – угловая скорость вращения орбитальной системы коорди- нат относительно инерциальной. Тогда вторая производная запи- шется следующим образом: 2 2 2 [ ]. abs rel rel rel rel d d d d dt dt dt dt d d d dt dt dt a a ω a a a ω ω a ω ω a После применения преобразования уравнение относительного движения в орбитальной системе координат будет выглядеть так: 3 5 , 2 , , 3 g c c c c d d dt dt r r ρ r ,ρ r ω ρ ρ ρ ω ω ω,ρ Учтем, что орбита главного спутника круговая, тогда производная вектора орбитальной скорости по времени в орбитальной системе координат равна нулю, так как на круговой орбите орбитальная система координат вращается с постоянной угловой скоростью от- носительно инерциальной. Запишем теперь уравнение в проекциях на оси орбитальной системы координат, не забывая о том, что для круговой орбиты значение угловой скорости вращения определя- ется выражением 3 2 0 , c r а , , x y z ρ В случае отсутствия возмущений получим следующую систему линейных дифферен- циальных уравнений с постоянными коэффициентами: 0 2 0 2 0 0 2 0, 0, 2 3 0. x z y y z x z (12.2) 172 Система уравнений относительного движения (12.2), именуемая в зарубежной литературе уравнениями Хилла или Клохесси–Уилт- шира 47 , описывает движение дочернего спутника относительно главного. Запишем ее решение: 4 1 0 2 0 3 0 5 0 6 0 1 2 0 3 0 3 2 cos 2 sin , sin cos , 2 sin cos x C C t C t C t y C t C t z C C t C t (12.3) Чтобы лучше представить вид траектории, описываемой дочерним спутником, заметим, что координаты x и z связаны следующим соотношением: 2 2 4 1 0 1 2 2 2 2 2 3 2 3 3 2 1 4 x C C t z C C C C C Это – уравнение эллипса в каноническом виде. Из него видно, что периодические движения дочернего спутника относительно глав- ного возможны только в том случае, когда 1 0. C В проекции на плоскость орбиты главного спутника траектория относительного движения дочернего спутника показана на рис. 12.2. Масштабы по осям различные. Период этих движений совпадает с периодом обращения глав- ного спутника по орбите, а сами движения в плоскости орбиты происходят по эллипсу, центр которого лежит в точке * 4 , x C * 0. z Но достаточно сколь угодно мало изменить начальные данные так, чтобы 1 0, C как периодичность нарушается, и при- ходим к общему случаю движения. В результате равномерное и периодическое движения складываются, и получается, что одно- временно с движением спутника по эллипсу центр этого эллипса успевает сместиться вдоль оси OX орбитальной системы коор- 47 Clohessy W.H., Wiltshire R.S. Terminal Guidance System for Satellite Rendezvous // Journal of Aerospace Science. 1960. V. 27. P. 653–658. Авторы адаптировали уравнения, полученные Хиллом для исследования движения Луны (Hill G.W. Researches in the Lunar Theory // American Journal of Mathematics. 1878. V. 1. P. 5–26), применительно к движению КА. 173 динат. Пример относительного движения при 1 0.25 C показан на рис. 12.3 в проекции на плоскость орбиты главного спутника. Рис. 12.2. Проекция траектории на плоскость орбиты главного спутника при 1 0 C Рис. 12.3. Траектория относительного ухода дочернего спутника 174 Для существования периодического решения необходимо вы- полнение следующего соотношения для начальных условий: 0 2 (0) (0) z x Заметим, что отсутствие векового ухода в направлении оси OX в относительном движении спутников по орбите в централь- ном гравитационном поле означает равенство периодов двух спут- ников. А так как величина периода определяется величиной боль- шой полуоси орбиты, то отсутствие относительных вековых уходов означает равенство больших полуосей их орбит. Рассмотрим типовые ограниченные траектории в центральном гравитационном поле. Выражения (12.3) для периодического случая (то есть 1 0 C ) можно привести к следующему виду: 1 0 0 4 2 0 0 1 0 0 cos , sin , 2 sin x A t C y A t z A t Здесь начальная фаза 0 выражается через постоянные интегри- рования из (12.3). Тогда в зависимости от значений постоянных интегрирования получаем следующие типы ограниченных форма- ций. 1. Если 1 2 , A A 4 0, C то в этом случае в плоскости, пер- пендикулярной плоскости орбиты и радиусу-вектору главного спутника (локально-горизонтальная плоскость), траектория отно- сительного движения представляет собой окружность (Projected Circular Orbit). 2. Если 1 2 , 3 2, A A 4 0, C то в этом случае траектория относительного движения представляет собой окружность (Global Circular Orbit). 3. В случае выбора 1 2 0, A A 4 0 C получаем формацию с по- следовательным (друг за другом) движением дочернего и главного спутников (Leader-follower formation). Уравнения Хилла могут использоваться при построении управления с целью выполнения сближения и стыковки аппаратов. Для этого надо дополнить соответствующее уравнение в (12.1) управляющим ускорением в правой части. На практике относи- 175 тельное движение подвержено возмущениям, наиболее значимым из которых является полярное сжатие Земли. Полученные выше формулы показывают, что вековые факторы – скорости прецессии линии узлов и прецессии линии апсид – зависят от наклонения ор- биты и ее параметра. Именно поэтому даже при небольшом начальном удалении друг от друга спутники имеют разные орби- тальные параметры, и, следовательно, скорости прецессии их орбит тоже разные, и формация «разваливается» с течением времени. Седвиком были предложены модернизированные уравнения Клохесси–Уилтшира, учитывающие гармонику от сжатия Земли 48 Существуют различные способы поддержания формаций, осно- ванные на импульсном управлении, использовании двигателей ма- лой тяги, предлагаются экзотические способы электростатическое взаимодействие, дифференциальное аэродинамическое сопротив- ление, давление солнечной радиации и даже переброс массы между аппаратами. 12.2. Маневрирование и сближение КА Рассмотрим теперь вопросы взаимного маневрирования при- менительно к задачам сближения аппаратов и их стыковки. Пусть сближение происходит в гравитационном поле планеты, например, Земли. Предположим далее, что один из КА является «пассивным», то есть движется по некоторой геоцентрической орбите, не манев- рируя, а другой – «активным», выполняющим маневры сближения. Это обычная схема маневрирования при сближении двух КА. Здесь вполне допустимо использовать результаты, полученные выше при рассмотрении коррекции межпланетных траекторий. Действитель- но, в обоих случаях одно небесное тело (планета или пассивный КА) движется по неизвестной кеплеровской орбите, а маневрирующий КА – по орбите, которая в номинале имеет общую точку с первой. Более того, в этой общей точке оба небесных тела оказываются в один момент времени. Это приводит к попаданию в планету при межпланетных перелетах или к стыковке двух КА. В обоих случаях 48 Sedwick R.J., Miller D., Kong E. Mitigation of Differential Perturbations in Clusters of Formation Flying Satellites // AIAA/AAS Space Flight Mechanics Conference. Breckenridge, Colorado, 1999. V. 102, Part. 1. AAS 99–124. P. 323–342. 176 номинальная траектория маневрирующего КА строится так, чтобы обеспечить встречу, и в обоих случаях маневрирование сводится к коррекции неизбежных при выведении КА на эту номинальную орбиту ошибок. Рассмотрим тот этап сближения двух КА, когда они находятся на расстояниях, обеспечивающих прямую видимость одного КА с другого, то есть этап, на котором могут быть применены бортовые средства наведения (например, соответствующие радиолокацион- ные или оптические устройства). Если количество измеряемых в полете параметров является настолько полным, что на борту активного КА есть информация не только о взаимном движении обоих КА, но и информация о его собственном движении относительно Земли, то в принципе суще- ствует возможность мысленно построить в центре масс пассивного КА картинную плоскость и, вычислив матрицу маневров активного КА, осуществить нужную коррекцию. Здесь задача даже проще рассмотренной ранее, так как гравитационным полем пассивного КА можно пренебречь и, следовательно, не учитывать нелинейные эффекты. И все же задача маневрирования при сближении имеет прин- ципиальное отличие от рассмотренных ранее. Если, как говорилось выше, при межпланетных перелетах достаточно двух- или трехпа- раметрической коррекции траектории, то при сближении КА она должна быть шестипараметрической. Ведь сближение КА, осу- ществляемое, например, для стыковки, должно не только привести оба КА в одну точку, но и уравнять их скорости. Следовательно, надо скорректировать не только три линейные координаты (или две координаты в картинной плоскости и время пересечения ее), но и три компоненты скорости активного КА. Как уже говорилось, поскольку вектор импульса скорости V имеет три компоненты, то и скорректировать с его помощью можно лишь три параметра. Следовательно, для шестипараметрической коррекции нужна, по крайней мере, двухкратная коррекция траек- тории. Проще всего представить ее себе следующим образом: сна- чала импульсом 1 V добиваются того, чтобы в некоторый после- дующий момент времени активный КА оказывается (теоретически) в той же точке пространства, что и пассивный, и в этот момент 177 времени активному кораблю сообщается второй импульс 2 , V ко- торый, как всякий мгновенный импульс, не может привести к мгновенному изменению координат, но дает мгновенное измене- ние скорости движения. Этот импульс 2 V выбирается так, чтобы уравнять скорости обоих кораблей. Таким образом, задача сбли- жения с пассивным кораблем сводится к сообщению активному кораблю импульса «догона» 1 V , а в непосредственной близости от пассивного корабля приложению к активному КА импульса «от- носительного» торможения 2 V . Можно показать (здесь этого не делается), что такой метод сближения является оптимальным с точки зрения расходования характеристической скорости. Он носит название метод свободных траекторий 49 Недостатком описанного метода является то, что наряду с ин- формацией о взаимном движении КА необходимо обладать ин- формацией о движении активного КА относительно Земли, то есть знать его орбиту до начала маневрирования и угловое положение относительно осей, связанных с Землей, чтобы иметь возможность сообщить ему импульс нужной величины и нужного направления для целенаправленного изменения орбиты. Получение подобной орбитальной информации и информации об ориентации КА с нуж- ной степенью точности – достаточно сложная техническая задача. Кроме того, вычисление характеристик нужных импульсов пред- полагает использование бортовой вычислительной машины. Воз- никает естественное желание разработать более простую методику маневрирования, основанную только на знании относительного движения двух КА. Одним из методов маневрирования, обладающего указанным свойством, является так называемый метод параллельного наведе- ния 49 . Пусть B является пассивным КА, а C – активным (рис. 12.4). Выберем точку B в качестве начала относительной системы координат, описывающей движение C относительно . B Тогда положение C активного КА будет определяться расстоянием 49 Ермилов Ю.А., Иванова Е.Е., Пантюшин С.В. Управление сбли- жением космических аппаратов. М.: Наука. Главная редакция физ.-мат. лит-ры, 1977. 178 = BC и некоторым углом , образованным прямыми BC и xx Здесь рассматривается лишь плоский случай. Современная техника, использующая, например, радиолокационные и гироскопические приборы, установленные на активном КА, позволяет измерять , и . Если теперь заставить активный КА маневрировать таким образом, чтобы всегда выполнялось условие = 0, то он будет двигаться во введенной относительной системе координат по прямой BC Рис. 12.4. Система координат, связанная с пассивным КА Для осуществления сближения надо будет сообщить активному КА сближающий импульс, чтобы выполнялось неравенство < 0, а при 0 сообщить тормозной импульс, который дал бы = 0. Это очень простая схема сближения осложняется, однако, тем, что по условию = 0. «Естественным» движением в промежутке времени между сближающим и тормозным импульсами является движение по криволинейной траектории ведь оба КА движутся в это время по орбитам вокруг Земли. Чтобы «выпрямить» эту естественную кривизну траектории относительного движения, надо выдерживать условие = 0, приложив к активному КА силу, развиваемую реактивным двигателем и перпендикулярную BC Поскольку такая сила не изменяет , то она является «паразитной», связанной с дополнительными затратами топлива, фактически не участвующего в процессе изменения цели маневра сближения. Эти дополнительные затраты характеристичес- кой скорости являются той ценой, которую приходится платить за существенное упрощение системы управления движением 179 активного КА. Здесь не нужно уже знание своей геоцентрической орбиты и своего углового положения относительно нее. Алгоритмы управления настолько просты, что можно не применять бортовые вычислительные машины. Затраты характеристической скорости при использовании ме- тода параллельного наведения (это название связано с тем, что вектор относительной скорости активного КА остается все время параллельным самому себе) становятся тем ближе к затратам, свойственным методу свободных траекторий (методу, описанному в начале настоящего раздела), чем «прямее» траектория естествен- ного (свободного) движения между импульсами сближения и тор- можения. Очевидно, что эта «прямизна» увеличивается с умень- шением начального расстояния BC Поэтому на сравнительно малых начальных расстояниях (порядка нескольких километров) нередко предпочтительнее становится относительно простой метод параллельного наведения, в то время как при начальных расстоя- ниях порядка десятков километров необходимо переходить к тре- бующему более совершенного приборного оснащения КА методу свободных траекторий. Схема, при которой в момент окончания процесса сближения координаты центров масс обоих КА совпадают, является, конечно, идеализированной. На самом деле этот процесс заканчивается тогда, когда расстояние между обоими КА имеет порядок десятков метров. После этого начинается этап причаливания, который осуществля- ется уже не сближающей двигательной установкой, а целой систе- мой относительно малых ракетных двигателей причаливания, поз- воляющих поступательно перемещать активный КА в трех взаимно ортогональных направлениях, что необходимо для обеспечения условий нормального функционирования стыковочных узлов 50 50 Про стыковки, стыковочные узлы и вообще про то, как развивалась отечественная космонавтика глазами непосредственного участника собы- тий тех лет, интересно прочитать в книге: Сыромятников В.С. 100 рас- сказов о стыковке и о других приключениях в космосе и на Земле. Часть 1. Двадцать лет назад. М.: Логос, 2003. 586 с.; Часть 2. 20 лет спустя. М.: Логос, 2008. 568 с. |