Введение в механику. Введение в динамику космического полёта
 Скачать 2.84 Mb.
|
|
14.1. Метод наименьших квадратов Пусть измеряются некоторые параметры движения КА , , x y z (их число не обязательно равно трем), которое можно представить как известные однозначные функции элементов орбиты 1 2 6 , , , a a a и времени .t Тогда можно записать 1 2 6 1 2 6 1 2 6 ( , , , , ), ( , , , , ), ( , , , , ). x x a a a t y y a a a t z z a a a t (14.1) Если произведено > 6 m измерений (здесь не существенно, измеряются ли разнородные величины или однородные для разных моментов времени 1 2 , , t t ), то, используя равенства (14.1), можно записать систему уравнений 1 1 2 6 1 1 2 6 ( , , , ) , , ( , , , ) m m a a a b a a a b , (14.2) где i известные функции ( 1,..., ), i m а i b величины, определяемые из проведенных измерений и, следовательно, содержащие ошибки. Допустим, что известно грубое приближение искомого решения (0) (0) 1 1 6 6 , , a a a a (14.3) Обозначим разницу между приближенными и точными значениями элементов орбиты буквой , (0) ( 1,...,6) i i i a a i 55 Иоганн Карл Фридрих Гаусс (Johann Carl Friedrich Gauß, 1777–1855). Немецкий математик, астроном и физик, считается одним из величайших математиков всех времён, «королём математиков». Лауреат медали Копли (1838), иностранный член Шведской (1821) и Российской (1824) Академий наук, английского Королевского общества. 193 Считая функции i дифференцируемыми, запишем 6 (0) (0) 1 6 1 6 =1 ( , , ) ( , , ) i i i k k k a a a a a , (14.4) где частные производные ( , 1,...,6) i k i k a берутся для точки (0) (0) 1 6 ( , , ). a a Подставляя (14.4) в (14.2), получаем систему линейных уравнений 6 6 1 1 =1 =1 , , k k mk k m k k A B A B , (14.5) где ( = 1,..., ) i i i B b i m Причем (0) (0) 1 6 ( , , ) i i a a , а = i ik k A a Чтобы избавиться от избыточности системы (14.5), следует обратиться к решению задачи в иной постановке, которая накла- дывает на нее новые условия. Пусть ими будет требование мини- мума величины , T определяемое выражением 2 2 6 6 1 1 =1 =1 k k mk k m k k T A B A B Очевидно, что это требование говорит о стремлении отыскать такие ( = 1,...,6), k k которые дадут в некотором смысле минимальные ошибки определения k a Необходимое условие минимума T имеет вид 0 ( 1,..., 6) k T k В отличие от системы (14.5) последняя система содержит точно шесть уравнений, решение которых дает значения 1 6 , , , поз- воляющие уточнить принятое выше приближение (14.3) (1) (0) k k k a a (14.6) 194 Это первое приближение можно, в свою очередь, уточнить, повторив описанную процедуру, в которой вместо значений 1 6 ( , , ), a a взятых из (14.3), берутся значения (1) = , k k a a определяемые равенствами (14.6). Процесс последовательных уточнений прекращается, как только разность между двумя последовательными значениями вычисленных элементов k a станет меньше заданной величины. Здесь опускаются доказательство сходимости описанного процесса и изложение различных возможных усовершенствований метода. Метод наименьших квадратов широко применяется в науке в силу его простоты, универсальности и свойственной ему опти- мальности. Однако ему свойственны и недостатки. Применительно к задачам космонавтики одним из основных недостатков является, условно говоря, его «статичность». Он прекрасно приспособлен для обработки некоторого неизменного массива измерительной ин- формации. Представим себе, однако, что этот массив все время пополняется новыми измерениями и ждать конца процесса изме- рений нельзя. Тогда задачу можно поставить так. Пусть на момент t имеется m измерений. Определяем элементы орбиты, исходя из этого числа измерений. На момент 2 1 > t t число измерений воз- растает и становится, например, равным 1. m Тогда новое опре- деление элементов орбиты будет, вообще говоря, точнее, поскольку число измерений увеличилось. Следовательно, после каждого но- вого измерения следует производить новое определение элементов орбиты. Если пользоваться методом наименьших квадратов или иным аналогичным методом, то после каждого нового измерения следовало бы заново проводить всю достаточно громоздкую про- цедуру вычислений. Возникает естественное желание: определив элементы орбиты, основываясь на m измерениях, после каждого очередного измерения не вычислять их заново, а уточнять их, ос- новываясь на этом новом измерении. Так возникает идея рекур- рентных методов. 14.2. Рекуррентные методы Пусть известен вектор состояния a с компонентами 1 6 , , , a a полученный путем обработки массива информации, состоящего из 195 m измерений. Укажем на это обстоятельство индексом m при обозначении вектора a. Пусть выполнено (m + 1)-е измерение. Обо- значим его 1 m b Тогда для реализации высказанной идеи нужно построить алгоритм такой, чтобы оказалось справедливым ра- венство 1 1 ( , ) m m m a a b (14.7) Такие методы разработаны, они обычно называются рекуррент- ными алгоритмами фильтрации. Примером такого фильтра являет- ся распространенный фильтр Калмана 56 . При всем разнообразии реализации фильтра (расширенный фильтр Калмана, сигма-точеч- ный фильтр Калмана, фильтр Калмана–Бьюси, гибридный фильтр Калмана ) его идея весьма простая. По схеме предиктор–корректор (предсказание–корректировка) на основании линеаризованной и дискретизированной динамической модели по известному на текущему момент фазовому состоянию механической системы с учетом неточного знания модели предсказывается ее фазовое состояние на следующий момент времени. По поступающему в этот момент времени измерению с учетом погрешности предсказанное состояние корректируется. Далее процесс повторяется. На языке формул это в сильно упрощенной форме выглядит следующим образом 57 Имеем модель движения ( , ) x F x t q и модель измерений ( , ) U x t r , где x фазовый вектор, измерение, , q r шумы модели и измерений с ковариационными матрицами 58 , Q R соответственно, подчиняющиеся определенным и, как правило, 56 Рудольф Эмиль Калман (венг. Kálmán Rudolf Emil), родился в 1930 году в Будапеште – инженер и исследователь в области теории управления. Внёс существенный вклад в современную теорию управления, наиболее изве- стен как создатель фильтра Калмана. 57 Методы обработки измерений: учеб. пособие / А.К. Платонов, Д.С. Ива- нов. М.: МФТИ, 2013. 108 с. 58 Ковариационная матрица случайного вектора – квадратная симмет- рическая неотрицательно определенная матрица, на диагонали которой располагаются дисперсии компонент вектора, а внедиагональные элемен- ты – ковариации (мера линейной зависимости двух случайных величин) между компонентами. 196 невыполняемым на практике условиям. После линеаризации и дискритизации этих моделей получаем: 1 , k k k k k k x Fx q Ux r Здесь нижний индекс k обозначает текущий момент времени, k – 1 – предыдущий момент, знак минус в верхнем индексе будет обоз- начать предсказанное промежуточное значение. На входе фильтра имеем определенные в прошлый момент времени состояние системы 1 k x и ошибку 1 k P Предсказываем состояние системы и ошибку ковариации в следующий момент времени по формулам: 1 k k x Fx , 1 k k P FP F Q Для корректировки состояния по поступившему измерению k вычисляем матрицу усиления Калмана (или матрицу релаксации) 1 ( ) , k k k K P U UP U R обновляем оценку состояния с учетом поступившего измерения ( ) k k k k k x x K Ux и обновляем ошибку ковариации ( ) k k k P E K U P Далее процесс повторяется для уточнения состояния системы по вновь поступившему измерению. Обратимся к одной элементарной задаче, которая хорошо ил- люстрирует суть рекуррентных методов. Пусть необходимо найти наиболее вероятное значение некоторой координаты , a причем алгоритм нахождения этого наиболее вероятного значения сводится к вычислению среднеарифметического значения многократного измерения i b этой координаты =1 1 m m i i a b m Здесь индекс m при величине , a как и выше, указывает на то, что она найдена путем обработки m измерений. Пусть теперь произведено еще одно (m + 1)-измерение. Тогда уточненное значение величины a будет 1 1 =1 1 1 m m i i a b m (14.8) 197 Если рассмотреть разность 1 , m m a a то несложные преобра- зования позволяют найти следующее равенство: 1 1 1 m m m ma b a m (14.9) Полученное выражение имеет вид соотношения (14.7). Про- иллюстрируем эффективность рекуррентного алгоритма (14.9) определения a следующим образом. Пусть, например, = 1000. m Тогда нахождение 1 m a по формуле (14.8) потребует выполнения около 1000 элементарных операций, в то время как использование соотношения (14.9) всего лишь четырех таких операций. Неуди- вительно, что в космонавтике, где нередко приходится иметь дело с очень большими массивами постепенно накопляемой измеритель- ной информации, рекуррентные алгоритмы фильтрации находят самое широкое применение. Это дает возможность располагать в любой момент времени t наиболее вероятным значением вектора состояния, например орбиты a, непрерывно уточняемым практи- чески в темпе приема измерительной информации. 198 Заключение Ограниченный объем семестрового курса не дает возможность изложить материал с необходимой степенью строгости и детали- зацией. За пределами курса остались важные с точки зрения со- временного использования аппарата динамики космического полета темы. В первую очередь следует упомянуть использование двига- телей малой тяги для изменения параметров орбиты вплоть до вы- хода космического аппарата за пределы грависферы планеты и осуществления межпланетной миссии. Особенно это важно для бурно развивающегося направления освоения космического про- странства с использованием малогабаритных аппаратов с прису- щими им ограничениями. Новые типы движителей малой тяги, например, электроспрейные (коллоидные) двигатели, солнечный парус из современных материалов, тросовые системы обеспечивают необходимые тяговые характеристики и позволяют реализовывать межпланетные миссии, а также искать решения катастрофически надвигающейся проблемы космического мусора. Решение этих за- дач неотделимо от использования современных методов теории динамических систем, о чем кратко говорится в лекции о точках либрации. Не рассмотрены способы построения орбитальных группировок КА. Этот список можно продолжить. Совсем не за- тронута тема вращательного движения КА относительно своего центра масс и вопросы управления ориентацией. Это сделано спе- циально, так как она является содержанием специального курса, читаемого автором студентам-старшекурсникам, специализирую- щимся на вопросах динамики полета и управления КА. Аналогично, именно детальные курсы, которые ждут студентов в дальнейшем на базовых кафедрах, дают возможность опустить отдельные вопросы при изложении основ динамики космического полета. Не рассмот- ренные в лекциях темы можно найти в рекомендованной литера- туре, список которой приведен в конце издания. Конечно, он не может претендовать на полноту, но, с другой стороны, автор и не ставил перед собой цель объять необъятное. Заинтересовать сту- дента, дать общий взгляд на задачи динамики космического полета, обратить его внимание на текущие тренды это цель изложенных лекций. 199 В пособии нет заданий и задач. Автор придерживается мнения, что решению задач надо учить специально, прослушать лишь курс лекций недостаточно. Для этого надо значительно увеличить объем часов, выделяемых на курс, и ввести практические занятия. В рам- ках лекционного курса контроль знаний студентов осуществляется путем проведения нескольких экспресс-контрольных по пройден- ным темам, что позволяет осуществить обратную связь с аудито- рией и определить уровень освоения материала. По-видимому, в силу известных обстоятельств роль современ- ных математических методов и проработанных на их базе методи- ческих и прикладных вопросов по теории движения и управлению КА будет возрастать, ибо новые все усложняющиеся задачи необ- ходимо будет решать в условиях ограниченности ресурсов. Причем это касается не только вопросов динамики и управления движением, но и других сторон функционирования КА электроники, матери- аловедения, связи, вычислительных средств, средств вывода на орбиту. 200 Литература 1. Раушенбах Б.В., Овчинников М.Ю. Лекции по динамике космического полета. М.: МФТИ, 1997. 188 с. 2. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. Изд. 3-е. М.: Наука, 1975. 800 с. 3. Охоцимский Д.Е., Сихарулидзе Ю.Г. Основы механики космического полета. М.: Наука, 1990. 448 с. 4. Эльясберг П.Е. Определение движения по результатам измерений. М.: Наука, 1976. 5. Мирер С.А. Механика космического полета. Орбитальное движение. М.: Резолит, 2007. 270 с. 6. Маркеев А.П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. М.: Наука, 1978. 312 с. 7. Балк М.Б. Элементы динамики космического полета. М.: Наука, 1965. 340 с. 8. Белецкий В.В. Очерки о движении космических тел. Изд. 3-е испр. и доп. М.: Изд-во ЛКИ, 2009. 432 с. 9. Прикладная небесная механика и управление движением: сб. статей, посвящ. 90-летию со дня рожд. Д.Е. Охоцимского / сост. Т.М. Энеев, М.Ю. Овчинников, А.Р. Голиков. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2010. 368 с. (http://keldysh.ru/memory/okhotsimsky/) 10. Механика космического полета / М.С. Константинов, Е.Ф. Каменков, Б.П. Перелыгин, В.К. Безвербый; под ред. В.П. Мишина. М.: Маши- ностроение, 1989. 11. Иванов Н.М., Лысенко Л.Н. Баллистика и навигация космических аппа- ратов: учебник для вузов. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Дрофа, 2004. 544 с. 12. Бахшиян Б.Ц., Федяев К.С. Основы космической баллистики и нави- гации: курс лекций. М.: ИКИ РАН, 2013. 119 с. 13. Полет космических аппаратов: Примеры и задачи: справочник / Ю.Ф. Авдеев, А.И. Беляков, А.В. Брыков и др.; под общ. ред. Г.С. Титова. М.: Машиностроение, 1990. 14. Battin R.H.An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrody- namics. AIAA Inc. Publ, 1999. 15. Vallado D.A. Fundamentals of Astrodynamics and Applications. Second ed. Kluwer & Microcosm Publ, 2001. 958 p. 16. Rauschenbach B.V., Ovchinnikov M.Yu. and McKenna-Lawlor S. Essential Spaceflight Dynamics and Magnetospherics. Kluwer & Microcosm Publ, 2003. 416p. 17. Черток Б.Е. Ракеты и люди. В 4-х томах. 2-е изд. М.: Машиностроение, 1999. |