Введение в механику. Введение в динамику космического полёта
 Скачать 2.84 Mb.
|
|
13. Гравитационные маневры Все рассмотренные выше маневры были основаны на том, что КА изменяет свою траекторию в результате включения ракетного двигателя. Однако оказывается возможным существенное измене- ние его орбиты путем использования гравитационных полей небесных тел. Пусть КА совершает гелиоцентрическое движение по некоторой номинальной эллиптической орбите. В рамках задачи двух тел эта эллиптическая орбита никогда не изменится. Но если движущийся по орбите КА окажется в некоторый момент времени вблизи планеты, то гравитационное поле этой планеты может су- щественным образом изменить его гелиоцентрическое движение. Будем, как и прежде, считать, что внутри грависферы планеты движение КА целиком определяется гравитационным полем пла- неты, в то время как вне ее гравитационным полем Солнца. Рас- смотрим движение КА внутри грависферы в планетоцентрической системе координат. Начнем это рассмотрение с определения ско- рости КА на границе грависферы. Поскольку предполагается, что КА «входит» в грависферу планеты, постольку будем считать, что его планетоцентрическая скорость на границе грависферы конечна. Если бы она была равна нулю и КА стал бы «падать» на планету, то у поверхности планеты его скорость практически была бы парабо- лической. Действительно, по определению параболической скоро- сти у планеты соответствует нулевая скорость в бесконечности. Но, как уже говорилось, за границами грависферы гравитационное поле планеты принимается пренебрежимо малым, следовательно, пре- небрежимо малой будет в этом случае и скорость КА на границе грависферы. Поскольку мы приняли, что на этой границе плането- центрическая скорость КА конечна, то, следовательно, КА движется относительно планеты с гиперболической скоростью. Таким обра- зом, рассматривая движение КА в окрестности планеты, следует пользоваться соотношениями, справедливыми для гиперболических траекторий. Иными словами, в рамках понятия грависферы аппарат, нахо- дящийся на ее границе, ощущает себя на бесконечном расстоянии от планеты, если проводить параллель с задачей двух тел планета 181 и КА. Поэтому, если на границе грависферы его скорость относи- тельно планеты равна нуля, то это равносильно его нулевой скоро- сти на бесконечности в рамках задачи двух тел, то есть имеем па- раболическое движение КА. Если на границе грависферы скорость ненулевая, то имеем гиперболическое движение. Для гиперболических траекторий постоянная h в интеграле энергии (1.12) положительна и при r 2 = h V (13.1) В силу того, что, как уже говорилось, гравитационное поле планеты за пределами ее грависферы пренебрежимо мало, будем принимать, что ускорение гравитационным полем планеты движущегося КА начинается после пересечения им границ этой грависферы. Поэтому скорость на границе грависферы будем обозначать V и считать, что она определяется формулой (13.1). Для КА, движущегося по орбите, определяемой коническим сечением, справедливо равенство (1.23): 2 ( 1) h e p С учетом соотношения (13.1), а также известного для гипербол соотношения 2 2 a b e a и соотношения, справедливого для любых конических сечений 2 b p a , получим 2 a V (13.2) Траектория движения КА будет иметь при этом вид, изображенный на рис. 13.1. Планета предполагается находящейся в точке , P а граница ее грависферы дана штриховой линией BC Скорость входа в гра- висферу B V параллельна асимптоте (ибо таково ее теоретическое 182 направление при ) r и равна по модулю V После облета планеты по гиперболической траектории на выходе из грависферы в точке C ее скорость, обозначенная на схеме , C V будет по модулю тоже равна V в силу закона сохранения энергии (1.12) и направ- лена (с точностью до пренебрегаемых величин) вдоль другой асимптоты. При этом произойдет поворот вектора скорости на угол, определяемый асимптотами гиперболы. Найдем этот угол, обозна- чив его Из геометрии известно соотношение OE FO , если точка F получена ортогональным проецированием P на BO Кроме того, очевидна цепочка формул tg 2 FO OE a FP FP c (13.3) Рис. 13.1. Траектория движения КА в поле планеты при гравитационном маневре Величина FP c называется прицельной дальностью это наименование связано с тем, что отрезок c получен как расстояние между направлением скорости в бесконечности и центром масс планеты. Асимптоты гиперболы в данном случае являются 183 аналогом линии прицеливания обычного ружья, которая, как известно, вовсе не совпадает с траекторией полета пули. Комбини- руя равенства (13.2) и (13.3), получим выражение 2 tg 2 cV , (13.4) связывающее поворот вектора планетоцентрической скорости с прицельной дальностью и начальной скоростью сближения с планетой. Выражение (13.4) показывает, что, варьируя прицельную дальность , c то есть выбирая нужную точку пересечения невоз- мущенной планетой траектории движения КА с картинной плоско- стью, можно в значительной степени изменять угол . Варьиро- вание , V как правило, затруднительно. Эта скорость получается исходя из требований, предъявляемых к предыдущим участкам ге- лиоцентрического движения, да и изменение V путем включения ракетного двигателя слишком дорого, ведь главный смысл грави- тационного маневра – маневрирование без использования тяги ра- кетных двигателей. Хотя известен и активный гравитационный маневр, когда в перицентре дается дополнительный импульс ско- рости. В этом случае возникает эффект Оберта (Hermann Oberth) – приращение кинетической энергии КА при активном гравитаци- онном маневре тем больше, чем при большей скорости он выпол- няется, что позволяет использовать Солнце для выполнения маневра в миссиях в дальний космос. Теоретическим предельным значением угла будет = , которое соответствует 0. c Следовательно, рассматривая планету в качестве материальной точки, можно, условно выражаясь, «по- вернуть обратно» (конечно, в планетоцентрической системе коор- динат). Практически предельным значением угла поворота будет тот, который получается при = , c R где R радиус планеты. Учитывая выражение для круговой скорости (2.3), на основании формулы (13.4) можно получить 2 I 2 = , tg 2 lim V V (13.5) 184 где I V первая космическая скорость, свойственная планете, а lim предельное, практически достижимое значение угла поворота вектора скорости КА. Это значение достаточно велико, ведь планетоцентрическая скорость «в бесконечности» V заметно меньше первой космической скорости планеты. Представляют интерес максимально возможные приращения скорости при совершении гравитационного маневра у планет Сол- нечной системы (табл. 7). Таблица 7 Максимально возможные приращения скорости, км/с Меркурий 3.0 Юпитер 42.7 Венера 7.3 Сатурн 25.6 Земля 7.9 Уран 15.2 Луна 1.7 Нептун 16.7 Марс 3.6 Плутон 1.1 13.1. Использование гравитационного маневра при межпланетных перелетах Рассмотрим использование гравитационного маневра при межпланетных перелетах. На рис. 13.2 приведена часть Солнечной системы с траекториями трех планет, из которых внутренняя тра- ектория I орбита Земли. Пусть стоит задача достижения КА ор- биты планеты, обозначенной III. Эта задача может потребовать разгона КА при старте с Земли до столь больших скоростей, что решение ее обычным способом с использованием реактивного двигателя станет невозможным. Пусть ракета-носитель способна разогнать КА лишь до таких значений скорости, при которых траектория КА опишет эллипс, касательный в точке B к орбите II и обозначенный на рис. 13.2 через . C Если подобрать момент старта так, чтобы КА и планета II оказались в области точки B одновременно, то планета будет «обгонять» КА. Это следует из того, что большая полуось орбиты планеты II больше большой полуоси орбиты КА , C а значит, 185 больше и ее скорости в общей обоим небесным телам области про- странства . B Будем для простоты рассуждений полагать планету II материальной точкой, а прицельную дальность встречи КА с пла- нетой равной нулю. В начале встречи с планетой (когда планета обгоняла корабль) гелиоцентрическая скорость планеты , pl V гелиоцентрическая скорость КА SC V Вектор относительной скорости КА определяется выражением = SC pl V V V и, следовательно, направлен вправо. Вектор pl V тогда направлен влево (см. верхнюю диаграмму на рис. 13.3). Рис. 13.2. Схема межпланетного перелета с гравитационным маневром Во время маневра вектор планетоцентрической скорости КА V «разворачивается», то есть поворачивается на угол = . Таким образом, после того как аппарат «прошел» планету, его вектор скорости V направлен влево и относительная скорость КА задается выражением = SC pl V V V 186 Это означает, что КА увеличил скорость в окрестности планеты на 2 , V так что его гелиоцентрическая скорость стала равна ( ) pl SC pl V V V , достигнув величины больше, чем , pl V то есть она стала больше, чем гелиоцентрическая скорость планеты II (см. нижнюю диаграм- му на рис. 13.3). Как результат, КА перешел на эллиптическую орбиту , D которая пересекает орбиту III третьей планеты в точ- ке . E Таким образом, решение задачи оказалось возможным лишь путем использования гравитационного поля планеты II для допол- нительного ускорения КА. Конечно, приведенный пример передает лишь идею маневра, ведь прицельная дальность, равная нулю, не- реальна. Рис. 13.3. Диаграмма скоростей перед (верхняя) и после (внизу) гравитационного маневра Другим типичным гравитационным маневром является маневр изменения направления движения КА. Формулы (13.4) и (13.5) позволяют найти такую прицельную дальность , c которая обес- печит нужное значение угла поворота траектории (конечно, в пла- нетоцентрической системе координат), lim Следует обратить внимание на то, что параметр, с помощью которого изменяется угол поворота прицельная дальность должен выдерживаться 187 с большой точностью, если желательно получение точного значе- ния . Это указывает на необходимость точных трехпараметриче- ских коррекций на участках между планетами. 13.2. Изменение наклона плоскости гелиоцентрической орбиты Гравитационный маневр способен привести к изменению наклона плоскости гелиоцентрической орбиты. Рассмотрим простой пример. Пусть плоскость O является картинной плоскостью планеты, которая используется для гравитационного маневра (рис. 13.4) и пусть прицельная дальность c такова, что угол пово- рота траектории КА = / 2 . Тогда, пересекая картинную плос- кость на оси O в точке , B КА после того, как обогнет планету, будет обладать планетоцентрической скоростью , B V направленной параллельно оси O Если же он пересечет картинную плоскость в точке , D то скорость КА на выходе из грависферы планеты будет равна D V и направлена параллельно оси O Следовательно, в зависимости от того, где выбрать точку пересечения картинной плоскости КА, окажется возможным повернуть его планетоцен- трическую траекторию в любом направлении, следовательно, по- вернуть и гелиоцентрическую скорость, а с ней и плоскость гелио- центрической орбиты. Рис. 13.4. Картинная плоскость планеты, используемая для расчета гравитационного маневра 188 Гравитационные маневры используются в космонавтике с большой эффективностью. Впервые такой маневр был применен при полете КА «Луна-3» (1959 г.), когда производилось первое фотографирование обратной стороны Луны. Казалось бы, наиболее естественной была бы траектория КА, изображенная на рис. 13.5. Рис. 13.5. «Естественная» траектория полета к Луне После старта с Земли КА движется по эллиптической орбите и в точке B орбиты производит фотографирование Луны. Недостат- ком этой траектории было признано то, что при возвращении к Земле КА будет приближаться к ней с юга. В результате наиболее близкий к Земле участок траектории возвращения CD не сможет наблюдаться с территории Советского Союза. Поэтому была вы- брана траектория с гравитационным маневром. Направление оси симметрии начальной эллиптической траектории было «опущено под Луну» (рис. 13.6), и если бы не гравитационное поле Луны, эта траектория продолжалась бы после точки , D как показано штри- ховой линией. Рис. 13.6. Траектория полета к Луне с гравитационным маневром 189 Однако под влиянием лунного гравитационного поля траек- тория приобрела вид DC (с фотографированием в точке ). B В результате КА приближался к Земле с севера и практически все время возвращения, когда на Землю передавалась научная инфор- мация, наблюдался отечественными станциями управления. Без гравитационных маневров, в частности, связанных с «до- разгонами», было бы невозможным и осуществление практически всех миссий с автоматическими КА к дальним планетам Солнечной системы. Пожалуй, замечательным примером использования гра- витационных маневров являются миссии Voyager (КА «Voyager-1» и «Voyager-2»). Будучи выведенными на межпланетные тректории в 1977 году с интервалом в 15 дней, «Voyager-1» выполнил два гра- витационных маневра у Юпитера и Сатурна, а «Voyager-2» вы- полнил четыре гравитационных маневра около Юпитера, Сатурна, Урана и Нептуна (у Нептуна гелиоцентрическая скорость была даже чуть снижена, чтобы пролететь вблизи его спутника Тритона), и после маневра у Нептуна аппарат изменил наклонение орбиты и сейчас движется под углом 48° к плоскости эклиптики. Оба аппа- рата уже вышли за пределы Солнечной системы и в октябре 2015 года находились на расстоянии более 133 а.е. 51 («Voyager-1») и более 109 а.е. («Voyager-2») от Солнца 52 . Схема полета этих ап- паратов в пределах Солнечной системы показана на рис. 13.7. Первоначально миссия Вояджеров носила название Большой тур, так как планеты-гиганты выстроились в узком секторе по одну сторону от Солнца, и была рассчитана на 5 лет, но потом специа- листы сумели, несмотря на возникшие трудности и неполадки, продолжить миссии, и уже 38 лет аппараты успешно работают на благо человечества, демонстрируя наши возможности в познании Вселенной. Еще один аппарат, впервые реализовавший гравитационный маневр около Юпитера, был американский КА «Pioneer-10». Он 51 Астрономическая единица (а.е.) единица измерения расстояния в небесной механике и астрономии, равная 149 597 870 700 м, что прибли- зительно соответствует среднему расстоянию от Солнца до Земли. Свет проходит это расстояние за 8 мин 20 с. 52 http://voyager.jpl.nasa.gov/ сайт Jet Propulsion Laboratory (NASA), пос- вященный истории и текущему состоянию проекта Voyager. 190 достиг грависферы Юпитера в декабре 1973 года с гелиоцентриче- ской скоростью 10.6 км/с. Перицентр гиперболической траектории находился на минимальном расстоянии 130 000 км от верхнего края атмосферы. Гелиоцентрическая скорость КА при выходе из грави- сферы Юпитера достигла 22.1 км/с. Рис. 13.7. Схема полета КА «Voyager-1» и «Voyager-2» с указанием дат и планет, где выполнялись гравитационные маневры В настоящее время, пожалуй, нельзя назвать ни одной меж- планетной миссии, которая планируется или была реализована без гравитационных маневров 53 53 http://galspace.spb.ru/orbita/12.htm 191 14. Определение элементов орбиты по наблюдениям Чтобы осуществлять управление полетом определять мо- менты времени, когда те или иные наземные пункты управления и связи с КА могут установить с ним радиосвязь, определять вид и время маневров, включать и выключать аппаратуру и тому подоб- ное, надо прежде всего с достаточной точностью знать фактиче- скую орбиту КА. Орбита определяется с помощью ЭВМ путем об- работки траекторных измерений. Такие измерения сводятся, как правило, к определению соответствующих некоторым моментам времени 1 2 , , , n t t t расстояний до КА и радиальных составляющих его скорости. Эти измерения ведутся радиосредствами, а в послед- нее время и с помощью лазерных приборов с разных пунктов, и их увязка и обработка в конце концов были бы элементарной задачей при их абсолютной точности, независимости и числе, равном шести. Основываясь на них, можно вычислить шесть оскулирующих эле- ментов, которые и дали бы представление о фактической орбите для некоторого интервала времени. Поскольку фактическое движение всегда в той или иной степени является возмущенным, такие опре- деления орбиты следовало бы осуществлять достаточно часто, чтобы следить за ее эволюцией. Другой подход к определению параметров орбиты был пред- ложен Ламбертом 54 по двум положениям небесного тела в неко- торые моменты времени. Метод подробно описан в литературе по небесной механике. Дело, однако, усложняется тем, что с целью увеличения точ- ности определения элементов орбиты число фактически произво- 54 Иоганн Генрих Ламберт (Johann Heinrich Lambert, 1728–1777). Немец- кий физик, философ, математик. Исследовал особенности вращения Юпитера и Сатурна. Ввел понятие двойных звезд, выдвинул идею иерар- хического строения Вселенной. Изучал кометные орбиты, предложил ме- тод приближенной оценки расстояния от Земли до кометы. Его утвер- ждение, что по небольшим возмущениям в движении небесного тела можно обнаружить другое, массивное, тело подтверждено открытием в 1846 г. восьмой большой планеты Нептуна. 192 димых измерений ее элементов значительно превышает мини- мально необходимое и возникает задача определения шести эле- ментов орбиты при избыточности подлежащих обработке измере- ний. Классическим методом такой обработки является метод наименьших квадратов, предложенный Гауссом 55 |