Введение в механику. Введение в динамику космического полёта
 Скачать 2.84 Mb.
|
|
10.6. Коррекция периода обращения Воспользуемся выражением (2.1), которое свидетельствует о том, что для изменения rev T следует изменить большую полуось орбиты . a Учтя зависимость последней только от энергии КА, сразу приходим к выводу, что для изменения a следует восполь- зоваться импульсом , T V поскольку он целиком суммируется с орбитальной скоростью КА. Ограничиваясь, как и прежде, линей- ным приближением, запишем 3 rev T T T a a V V Используем выражение 2 = (1 ), p a e и тогда 2 (1 ) 2 T T T p a e e ea V V V Для случая круговой орбиты ( = 0) e имеем 151 T T p a V V или с учетом равенств (10.12) и (10.15) получаем цепочку 3 3 rev rev rev T circ T T a T V V Оценим величину полученного выражения численно. Взяв 7900 км / с, circ V а = 90 мин, rev T получим, что импульс = 10 м / с T V даст изменение rev T на величину около 20 с. Смещение вследствие вращения Земли точки экватора за 20 с имеет порядок 10 км. Полученная величина дает смещение орбиты относительно некоторого географического пункта на экваторе за один виток КА. За сутки (16 витков) это смещение достигает величины 160 км. Приведенный пример показывает, что сравнительно слабыми импульсами можно погасить ошибки выведения КА на орбиту. Этот прием применяется, в частности, для того, чтобы добиться точного прохождения плоскости орбиты КА через точку старта второго КА, если в дальнейшем предполагается их стыковка. 152 11. Коррекция межпланетных траекторий Коррекция траектории является частным случаем маневра. Главное отличие ее от маневра в широком смысле слова сводится к тому, что ее назначение – незначительное исправление фактической траектории КА с целью выполнения поставленной перед КА задачи, в то время как маневр приводит, вообще говоря, к существенному изменению режима полета КА. В рассмотренных выше случаях к первому типу можно отнести коррекцию периода обращения для компенсации ошибок выведения КА ракетой-носителем, ко второму маневр перехода от орбитального полета к посадке КА. В настоящем разделе будет рассмотрена только коррекция траектории движения КА с целью получения нужной орбиты в районе планеты назначения (например, попадание на планету, пролет на заданном расстоянии от нее), имеющая целью исправле- ние ошибок выведения. Потребные точности движения в окрест- ности планеты назначения могут быть весьма высоки. Так, чтобы обратить подлетающий к Марсу КА в его спутник с использованием атмосферы планеты для торможения, точность выдерживания но- минальной траектории должна иметь порядок десятков километров. В то же время ошибка в скорости в момент окончания работы дви- гателя ракеты-носителя у Земли в 1 м/с (при величине ее модуля порядка второй космической скорости – 11 000 м/с) даст промах у Марса порядка нескольких десятков тысяч километров. Этот при- мер и практика межпланетных перелетов показывают практическую неизбежность коррекции межпланетных траекторий. Поскольку бортовые запасы рабочего тела для корректирую- щего реактивного двигателя всегда ограничены, то величина кор- ректирующих импульсов не может быть большой, а следовательно, допустимо рассматривать всю задачу в линейном приближении. Промах в десятки тысяч километров, о котором говорилось выше и который надо скорректировать, можно все же считать «малым», поскольку протяженность самой траектории имеет порядок сотен миллионов километров. Расстояния, с которыми приходится иметь дело при коррекции траектории вблизи планеты, действительно «малы» по сравнению с 153 характерными размерами гелиоцентрических расстояний, но они перестают быть «малыми», если рассматривать их в плането- центрической системе координат. Фактически это означает, что изменение гравитационного поля Солнца в рассматриваемой окрестности планеты малосущественно, в то время как гравитаци- онное поле самой планеты будет в той же области изменяться сильно. Решение задачи заметно упростится, если можно не учи- тывать гравитационное поле планеты. Для осуществления наме- ченного подхода надо прибегнуть к одному искусственному приему. 11.1. Движение КА в окрестности планеты назначения Рассмотрим движение КА в непосредственной близости пла- неты назначения, например, внутри ее сферы действия (на рис. 11.1 эта сфера показана штриховой окружностью). Рис. 11.1. Движение КА внутри сферы действия планеты назначения Пусть траектории, которые имел бы КА в случае отсутствия планеты, представлены линиями AA Здесь рассмотрен сравни- тельно «узкий» и «мало протяженный» пучок траекторий, который в силу этого условия можно рассматривать как совокупность взаимно параллельных отрезков прямых. Если учесть гравитационное поле планеты, то заметное влияние этого поля на конфигурацию траектории начнет проявлять себя после пересечения КА границ соответствующей грависферы, например сферы действия. На рис. 11.1 показаны истинные траектории, по которым будет двигаться КА, в виде линий AB Причем эти траектории выбраны на рисунке такими, которые отделяют совокупность «попадающих 154 траекторий» от совокупности «пролетных». Все траектории, которые лежат внутри трубки траектории, ограниченной линиями , AB пересекутся с поверхностью планеты, то есть «попадут» в нее. Очевидно, каждая реальная траектория сближения с планетой состоит во взаимно однозначном соответствии с некоторой невоз- мущенной траекторией , DD полученной без учета гравитацион- ного поля планеты. Идея почерпнута из ядерной физики при рас- смотрении движения заряженной частицы около ядра 42 . Используя это обстоятельство, можно ввести в рассмотрение картинную плоскость , FF идущую через центр планеты и нормальную к пучку невозмущенных планетой траекторий. Граница трубки, от- деляющей множество невозмущенных попадающих траекторий от остальных (совокупность траекторий AA на рис. 11.1), пересекает картинную плоскость FF в точках . C Эти точки в совокупности дадут границу «яблочка» плоской «мишени» (картинную плос- кость), в которое следует попасть при движении по невозмущенной траектории, чтобы реальная траектория пересекла поверхность планеты. Очевидно, что в проекции на картинную плоскость можно отобразить и другие геометрические особенности реальных траек- торий, которые могут нас интересовать: попадание в определенную область планеты, пролет мимо нее с заданными величиной и поло- жением перицентра и так далее. Искусственный прием, о котором говорилось выше, сводится к тому, что вместо рассмотрения реальных траекторий рассматрива- ются фиктивные, построенные без учета гравитационного поля планеты, но зато вместо задачи о положении реальной траектории относительно реальной планеты решается задача о положении в картинной плоскости точки пересечения фиктивной траектории с этой плоскостью. По сути, этот прием имеет целью подобрать ко- нечные параметры задачи таким образом, чтобы она могла быть 42 Платонов А.К. О построении движений в баллистике и мехатронике // Прикладная небесная механика и управление движением: сб. статей, по- священный 90-летию со дня рождения Д.Е. Охоцимского / сост.: Т.М. Энеев, М.Ю. Овчинников, А.Р. Голиков. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2010. С. 127–222. Эту книгу рекомендую тем, кто интересуется «как это все начиналось» (все – это зарождение практической космической баллистики в нашей стране). Есть ее Интернет-версия: http://keldysh.ru/memory/okhotsimsky/ 155 сформулирована в линейной постановке. Учет локальных нели- нейных эффектов (притяжения КА планетой) должен в этом случае производиться отдельно, например, с помощью нелинейных кеплеровых соотношений, дающих хорошее приближение к ис- тинному движению внутри сферы влияния. При этом начальные параметры такого планетоцентрического движения будут совпадать с соответствующими параметрами невозмущенного планетой ге- лиоцентрического движения на границе сферы действия (или иной подходящей грависферы). Таким образом, штриховая окружность на рис. 11.1 будет служить местом «склейки» гелиоцентрического и планетоцентрического движений. 11.2. Гелиоцентрический участок номинальной траектории движения КА Рассмотрим гелиоцентрический участок некоторой номиналь- ной траектории движения КА, идущей через центр O планеты, которую будем рассматривать как точку, не имеющую массы (рис. 11.2). Пусть на этой траектории будет дана другая точка , B находящаяся на расстоянии , s взятом вдоль номинальной траек- тории, от точки начала полета к планете, соответствующей концу активного участка последней ступени ракеты-носителя. Очевидно, что каждому расстоянию s соответствует свое время полета .t Построим в точке B систему ортогональных координат , Bxyz должным образом расположенных относительно звезд. Такая си- стема удобна с практической точки зрения, поскольку ориентация КА перед запуском корректирующего ракетного двигателя обычно производится путем использования звезд (в том числе Солнца) в качестве опорных ориентиров. Пусть в точке B КА сообщен импульс скорости V Чтобы наиболее полно и наглядно оценить свойства коррекции, рассмот- рим все множество возможных единичных импульсов | | = 1. V Их совокупность определит так называемую сферу единичных им- пульсов с центром в точке . B Она показана на рис. 11.2 штриховой линией. Каждому импульсу (каждой точке этой сферы) будет со- ответствовать своя траектория последующего движения КА, опре- деляемая без учета гравитационного поля планеты назначения. Рассмотрим множество точек этих траекторий, соответствующих 156 времени k t достижения точки O при движении по номинальной траектории. Введем в точке O систему ортогональных координат , O направив ось O по направлению вектора скорости не- возмущенного движения, взяв оси O и O так, чтобы образо- валась правая система координат. Очевидно, что картинная плос- кость будет совпадать с плоскостью O Рис. 11.2. Гелиоцентрический участок некоторой номинальной траектории движения КА, идущей через центр планеты O В случае движения по номинальной траектории (без сообщения импульса ) V к моменту времени k t координаты КА будут сле- дующими: = = = 0. Если КА сообщен импульс V с ком- понентами , , , x y z V V V то к моменту времени k t координаты КА будут иметь иное значение. Предполагая малость импульса скоро- сти и допустимость рассмотрения задачи в линейной постановке, запишем значения координат , , в момент времени k t в виде , , x y z x y z x y z x y z x y z x y z V V V V V V V V V V V V V V V V V V (11.1) Здесь пока не делается предположение о том, что | | = 1. V Прежде чем идти дальше, следует обратить внимание на следующее принци- пиальное обстоятельство. Как известно, траектория КА опреде- ляется шестью параметрами. Их можно задавать различным образом 157 в виде шести оскулирующих элементов для = k t t или, например, шести величин , , , , , , соответствующих = , k t t или каким-либо иным способом. Коррекция траектории производится путем сообщения КА некоторого импульса , V то есть воздействия, имеющего всего три независимые компоненты. Поэтому у новой траектории, полученной после сообщения КА импульса скорости , V можно целенаправленно изменить лишь три координаты из шести. Система (11.1) показывает, что в рассматриваемом случае предполагается целенаправленное изменение , , , но тогда , , будут изменяться некоторым неконтролируемым образом. Это означает, что, выбрав должным образом , V можно получить заранее заданные координаты = , = , = k k k на момент времени = k t t , но нельзя, вообще говоря, одновременно удовлетворить требованию о величине вектора скорости КА в этот момент времени. Если вернуться к случаю сообщения КА единичного импульса скорости | | = 1, V то систему (11.1) можно рассматривать как аффинное преобразование сферы 2 2 2 ( ) ( ) ( ) = 1. x y z V V V Как известно, аффинное преобразование, вообще говоря, переводит сферу в эллипсоид. Следовательно, точки траектории КА для = k t t лягут на поверхность эллипсоида с центром в точке . O Этот эл- липсоид, полученный преобразованием сферы единичных импуль- сов, называют эллипсоидом влияния. На рис. 11.2 он показан штри- ховой линией в окрестности точки O Матрицу аффинного преобразования (11.1) естественно назвать матрицей коррекции x y z x y z x y z V V V A V V V V V V (11.2) 158 Выписанная матрица является функцией положения центра B сферы единичных импульсов на траектории. Это можно записать как ( ) A s или ( ), A t где t – время движения по орбите перелета. Очевидная зависимость матрицы маневра A от положения точки коррекции на орбите приводит к задаче об оптимальном положении точек коррекции B с позиции минимизации расходов топлива на коррекцию. Чтобы решать эту задачу, рассмотрим свойства мат- рицы коррекции подробнее. 11.3. Свойства матрицы коррекции Пусть определитель матрицы A отличен от нуля. При аффин- ном преобразовании любая прямая переходит в прямую, а любая плоскость – в плоскость. Рассмотрим некоторые замечательные направления (прямые) и плоскости, связанные со сферой единичных импульсов и эллипсоидом влияния. Среди направлений единичных импульсов V будет в силу невырожденности преобразования (11.1) обязательно существовать такое, которое даст = 0, = 0, 0. Строго говоря, это будут два направления, лежащие на одной прямой и соответствующие > 0 и < 0 . Мы не будем их различать, а будем говорить об одном направлении, имея в виду ту общую прямую, которой оба соответствуют. Указанному направлению единичных импульсов принято присваивать наименование нуль-направление, имея в виду, что такие импульсы не изменяют положение точки пересечения траектории КА с картинной плоскостью. В частности, номинальная траектория, которая пересекает картинную плоскость при = 0, = 0, после сообщения КА импульса вдоль нуль-направ- ления остается номинальной. Примем нуль-направление за одну из осей новой ортогональной системы координат, имеющей начало в центре сферы единичных импульсов, и обозначим ее Bz Любые другие направления век- тора V с модулем, равным единице, дадут на ось Bz проекции, меньшие единицы. Это означает, что соответствующие точки на эллипсоиде влияния будут иметь координаты 1 | | < , где 1 абсолютная величина такой координаты при сообщении КА им- пульса точно в направлении Bz Но тогда оказывается, что вдоль 159 оси O расположена одна из главных центральных осей эллип- соида влияния. Дальнейшим следствием этого является располо- жение двух других его главных осей в плоскости, перпендикуляр- ной O и проходящей через центр эллипсоида, то есть в плоско- сти O . Обозначим соответствующие направления через O и O Тогда оси планетоцентрической системы координат O будут расположены вдоль главных центральных осей эллипсоида влияния. Пусть при аффинном преобразовании системе таких осей соответствует ортогональная же система осей на единичной сфере, преобразованием которой получен эллипсоид. Обозначим эту си- стему координат Bx y z Тогда плоскость , Bx y перпендикуляр- ная нуль-направлению , Bz будет соответствовать картинной плоскости , O или, что то же самое, O Плоскость Bx y называют плоскостью оптимальной коррекции. Это наименование связано с тем, что если вектор импульса коррекции |