Введение в механику. Введение в динамику космического полёта
 Скачать 2.84 Mb.
|
|
7. Движение КА в атмосфере Земли Рассмотрим полученные выше уравнения движения в оскули- рующих элементах применительно к возмущениям различной природы. Начнем с влияния сопротивление атмосферы на орби- тальное движение космического аппарата. 7.1. Торможение КА в атмосфере В верхних разреженных слоях атмосферы на высотах 200 км и более над поверхностью Земли, когда аппарат еще совершает ор- битальное движение, происходит его медленное торможение. Рас- смотрим эволюцию его орбиты при таком торможении. Будем счи- тать, что Земля шарообразная и плотность атмосферы уменьшается с увеличением высоты одинаковым образом для всех географиче- ских пунктов, то есть она обладает свойством центральной сим- метрии. Примем также, что КА при своем движении в атмосфере испытывает лишь силу сопротивления без боковых аэродинамиче- ских составляющих. Это означает, что снижение аппаратов с большим аэродинамическим качеством (как американский «Шаттл» и отечественный «Буран») мы не рассматриваем. Тем самым сила аэродинамического сопротивления подчиняется обычному закону 2 2 x x V R c F , где x c коэффициент сопротивления, F площадь миделева се- чения КА, текущая плотность атмосферы. Перейдя от сил к ускорениям (рис. 7.1), получим две цепочки соотношений 2 x r x R V F V S c V m V m (7.1) 2 x n x n R V F V T c V m V m (7.2) 96 Рис. 7.1. К определению составляющих силы сопротивления Поскольку было сделано предположение о том, что боковые составляющие аэродинамической силы отсутствуют, то справед- ливо равенство 0 W (7.3) Что касается двух других составляющих полного ускорения торможения, то они легко могут быть вычислены с использованием соотношений (7.1), (7.2) и выражений для проекций вектора орбитальной скорости КА (6.20) и (6.21) по формулам sin , (1 cos ) 2 2 C C S V e T V e p p , где x C c F m баллистический коэффициент. Для фактического интегрирования системы (6.28) следует задаться еще зависимостью = ( ) r , входящей в выражения для компонент ускорения. Такие зависимости существуют и хорошо известны, например 29 , однако обращение к ним приводит к громоздким выкладкам и сложным вычислениям. Ограничимся качественным анализом решения системы (6.28). Равенство (7.3) приводит первые два уравнения (6.28) к виду 0, 0 d di du du , 29 ГОСТ 4401-81. Атмосфера стандартная. Параметры. Введ. 1982-07-01. М.: ИПК Изд-во стандартов, 2004. 180 с. Существуют также международ- ная модель, разработанная под эгидой COSPAR, CIRA-86 и более слож- ная модель NASA MSIS-86. 97 откуда сразу следует const, const i , что говорит о неизменном положении плоскости орбиты в прост- ранстве. Следовательно, задачу аэродинамического торможения можно рассматривать как плоскую задачу. Третье уравнение из (6.28) дает следующее изменение пара- метра орбиты p за один оборот КА вокруг Земли: 2 2 3 3 0 0 2 n r C p Tdu r VV du (7.4) Все стоящие под знаком интеграла переменные положительны. Для n V это следует из равенства (6.21), поскольку для орбит вокруг Земли выполняется неравенство < 1 e . Для других переменных это очевидно. Следовательно, в процессе аэродинамического торможения происходит монотонное уменьшение параметра p : < 0 p (7.5) Рассмотрим изменение эксцентриситета орбиты за один оборот КА вокруг Земли. Четвертое уравнение из (6.28) дает цепочку ра- венств 2 2 2 0 2 2 0 1 sin cos (1 cos ) 1 1 cos 2 1 (1 cos ) ( cos ) 1 cos 2 C r V e e e e p C r V e e du e du e p (7.6) Стоящий под знаком последнего интеграла множитель заведомо положителен, в то время как первое слагаемое в скобках положительно, а второе знакопеременное. Рассмотрим поэтому более подробно интеграл 2 2 0 cos r V du p Сделаем естественное предположение о малости возмущающих ускорений S и . T Тогда на некотором интервале времени измене- нием величин , , p e можно пренебречь. Пусть этот интервал 98 времени имеет порядок периода обращения. Тогда за время одного оборота можно считать, что const, p const, e const, а, следовательно, опуская знак приближенного равенства, du d d d (7.7) и 2 2 2 2 0 0 cos cos r V r V du d p p (7.8) Обычно эллиптичность орбит невелика, и поэтому величины r и V можно считать функциями, слабо зависящими от Что касается плотности атмосферы , то эта величина варьируется с изменением r чрезвычайно сильно по закону, близкому к экспоненциальному. Величина изменяется за один оборот вокруг планеты на 2 . Следовательно, значение интеграла (7.8) будет, прежде всего, определяться величиной 2 0 cos d (7.9) На рис. 7.2 приведен график функции cos и функции = ( ) . При построении последней функции учтено, что = 0 соответствует перицентру, то есть низшей точке траектории, в которой достигает максимального значения, а = соответст- вует апоцентру, где имеет наименьшее значение. Очевидно, что знак интеграла (7.9) зависит от тех , где плотность , играющая роль весового коэффициента в произведении cos , имеет наибольшее значение, и, следовательно, можно утверждать, что этот интеграл положительный, а следовательно, и 2 2 0 cos > 0 r V du p Но тогда и стоящий в правой части равенства (7.6) интеграл тоже положителен. Это приводит к неравенству < 0 e , (7.10) 99 говорящему о монотонном уменьшении эксцентриситета орби- ты КА, то есть приближении ее формы к окружности. Рис. 7.2. Графики функций cos и = ( ) Воспользуемся выражением для параметра орбиты 2 (1 ). p a e Проварьируем его и получим 2 (1 ) 2 p a e ae e Полагая, что изначально орбита мало отличается от круговой и можно пренебречь слагаемым, пропорциональным 2 , e получаем выражение для приращения a : 2 a p ae e (7.11) В соответствии с неравенствами (7.5) и (7.10) отсюда следует, что наряду с приближением формы к окружности размер орбиты (ее большая полуось) уменьшается, то есть в результате торможения КА атмосферой его орбита будет уменьшаться в размерах и приближаться по форме к окружности без изменения положения плоскости орбиты. Легко убедиться, что если исходная орбита была круговой ( = 0 e ), то это ее свойство будет сохраняться в процессе эволюции орбиты, связанной с торможением. Здесь уместно напомнить, что сформулированные выше выводы основаны на использовании приближенных зависимостей, в частности, последнее утверждение надо понимать в том смысле, что КА будет 100 снижаться по спирали, каждый виток которой будет близок к окружности. Рассмотренная выше эволюция орбиты позволяет решать за- дачу о «времени жизни» искусственного спутника Земли. Если ограничиться грубой оценкой, то тело, движущееся с круговой скоростью в некоторой точке круговой орбиты на высоте 100 км от поверхности Земли, испытывает столь сильное торможение атмо- сферой, что достигает поверхности Земли («падает»), сделав менее одного оборота вокруг Земли. Поэтому можно условиться, что ис- кусственный спутник Земли перестает существовать после того, как его траектория снижается до некоторой критической высоты crit H порядка 100 км. Из формулы (1.19) следует, что для перигея ( = 0 ) 1 p r r e , и, следовательно, для орбит, близких к круговым ( 0), e выполняется равенство = p r Одновременно с учетом близости орбиты к круговой изменение высоты полета за один виток H будет определяться равенством H p Поэтому сумма p за N витков будет в известной степени характеризовать изменение высоты полета в перигее за эти N витков. Если вспомнить, что p пропорционально константе C и сильно зависящей от высоты полета плотности (см. формулу (7.4)), то зависимость p от N и C может быть представлена диаграммой, построенной на рис. 7.3 для некоторой начальной высоты перигея H Эта диаграмма показывает, что сначала (на больших высотах) p изменяется сравнительно слабо, и поэтому высота в перигее почти не будет уменьшаться по мере увеличения числа совершенных вокруг Земли оборотов. Зато позже величина p начинает резко увеличиваться, следовательно, перигей начнет быстро понижаться и к некоторому значению числа совершенных вокруг Земли оборотов достигнет столь малых высот, что опустится до критического значения , crit H после чего КА прекратит свое 101 существование. Определяемое этим моментом «время жизни» КА, измеряемое обычно числом витков, которое он может совершать, будет функцией его относительного сопротивления . C Рис. 7.3. Диаграмма изменения параметра орбиты p от числа витков N для различных значений C Зависимость времени жизни 1 2 3 , , N N N от соответствующих величин относительного сопротивления 1 2 3 , , C C C совершенно естественна. 7.2. Парадокс падающего спутника Кажется очевидным, что из-за сопротивления атмосферы ско- рость КА будет уменьшаться. Рассмотрим случай, когда аппарат, двигаясь по близкой к круговой орбите под действием сопротив- ления атмосферы, снижается по спиралевидной траектории. Пред- положим, что угол между вектором V скорости КА и каса- тельной к орбите остается постоянным, то есть / = 0, d d что справедливо для однородной атмосферы, где есть полярный угол радиус-вектора r центра масс КА (рис. 7.4). Введем силу P гравитационного притяжения Земли, дей- ствующую на КА, 3 g m r P r , 102 где g гравитационный параметр Земли (произведение универ- сальной гравитационной постоянной на ее массу). Значения грави- тационных параметров Солнца и планет Солнечной системы при- ведены в табл. 5. Таблица 5 Гравитационные параметры основных тел Солнечной системы Небесное тело Гравитационный параметр,км 3 с −2 Солнце 1 327 124 400 000 Меркурий 22 032 Венера 324 859 Земля 398 600 Луна 4902 Марс 42 828 Юпитер 126 686 534 Сатурн 37 931 187 Уран 579 393 900 Нептун 6 836 529 Плутон 8710 Рис. 7.4. Космический аппарат, снижающийся по спирали 103 Обозначим через Q силу сопротивления атмосферы, которая направлена противоположно вектору скорости V Запишем векторное уравнение движения КА = m V P Q Спроецируем это уравнение на направление вектора V – = sin mV P Q (7.12) и на направление, ему перпендикулярное: = cos mV P (7.13) Вектор ускорения V представлен как сумма вектора величины , V направленного вдоль вектора V в (7.12) и вектора величины V в перпендикулярном направлении в (7.13). Подставляя в (7.13) выражение для из равенства cos = V r и выражение для , P получаем связь между пере- менными V и r : 2 g V r Принимая во внимание геометрическую связь sin r V и выражение для модуля вектора , P запишем цепочку выражений: 2 2 sin sin sin ( sin ) 2 2 2 g m dV dr dV m dV mV m m V P dr dt dr dr r Приравнивая последнее выражение в этой цепочке выражению, стоящему в правой части уравнения (7.12), получаем = sin / 2 Q P и, следовательно, = mV Q Тем самым скорость V увеличивается под действием силы сопротивления Q Таким образом приходим к тому, что называется парадоксом падающего спутника при снижении в атмосфере спутник движется под действием силы, равной силе сопротивления и направленной по вектору его скорости (хотя аппарат на самом деле подвержен силе сопротивления, но его скорость возрастает). Конечно же, никакого парадокса нет, потому 104 как более детальное рассмотрение показывает, что компонента гравитационной силы притяжения аппарата к Земле, направленная вдоль вектора скорости КА (см. (7.12)), будучи в два раза больше силы аэродинамического сопротивления, направленной в противоположном направлении, и порождает увеличение скорости. Рассмотрим движение КА в верхних слоях атмосферы на фи- нальном сегменте (на высотах менее высоты условного перигея в 100 км), где предположение / = 0 d d более не работает, так как угол растет быстрее, чем угол . Качественно показано 30 , что в этих условиях 1 cos d g dt V , (7.14) где g ускорение свободного падения у поверхности Земли. Подставляя в (7.14) выражение для , V осредненное вдоль финальной траектории, и интегрируя это уравнение, можно получить зависимость от ,t показывающее, что снижение происходит практически вдоль отвесной линии из-за малости в несколько десятков раз V по сравнению с орбитальной скорос- тью КА. 7.3. О движении под действием малой тяги Уравнения в оскулирующих элементах (6.28) описывают дви- жение под действием ускорений, малых по сравнению с ускорением центрального притягивающего тела. Пока мы рассмотрели действие природного ускорения от сопротивления атмосферы. Само слово «возмущение» подразумевает, что это вредное и ненужное дей- ствие. Но изворотливый человеческий ум попытался использовать эти возмущения на свою пользу. Оказывается, можно создавать такие возмущения «искусственно». Появление ионных, плазменных электрореактивных двигателей, в которых реактивная сила созда- ется за счет возобновляемого на борту источника энергии солнеч- ных батарей и небольшого расхода рабочего тела, дает эту возмож- 30 Балк М.Б. Элементы динамики космического полёта. М.: Наука. Глав. ред. физ.-мат. лит., 1965. 105 ность. Конечно, ускорение в несколько мм/с 2 , создаваемое такими двигателями, не даст оторваться от Земли, но, будучи реализован- ным на борту уже движущегося на орбите КА, позволит медленно, но целенаправленно изменять его траекторию. Полученные чуть выше результаты можно частично использо- вать для простого анализа движения КА под действием малой тяги. Пусть постоянная по величине тяга направлена по вектору скорости аппарата (так же, как была направлена выше сила лобового сопро- тивления). Разница только в том, что сила сопротивления зависела от скорости КА, а введенная малая тяга постоянна. Обозначив ве- личину вектора ускорения от тяги через , q запишем по аналогии с ускорением от силы сопротивления выражения 2 2 sin 1 cos , 1 2 cos 1 2 cos e e S q T q e e e e для проекций ускорения под действием малой тяги. Ясно, что по- ложение орбиты меняться не будет. Подставляя выражение для T в уравнения для оскулирующего параметра орбиты , p имеем вы- ражение для его изменения за оборот КА по орбите с учетом при- нятых выше допущений: 2 2 3 3 2 2 0 0 2 2 1 0 (1 cos ) 1 2 cos r p q p Tdu d e e e . (7.15) Выражение для приращения эксцентриситета за оборот КА по ор- бите имеет вид 2 2 2 2 0 2 (cos ) (1 cos ) 1 2 cos p q e e d e e e (7.16) К сожалению, использованные при анализе выражения (7.6) с по- мощью интеграла (7.9) рассуждения о знаке интеграла для знако- переменной подынтегральной функции не удается перенести на выражение (7.16). Тем не менее сохранение под знаком интеграла в (7.16) слагаемых степени по e не выше первой дает нулевое зна- чение приращения эксцентриситета. Тогда из (7.11) с учетом нера- венства (7.15) следует, что большая полуось будует возрастать. 106 Конечно, при произвольном эксцентриситете процесс описывается гораздо более сложными уравнениями. Для их решения приходится привлекать численные методы. Решением является раскручиваю- щаяся спираль [8], [9]. Примером применения «спирали» для реа- лизации межпланетного перелета является европейский малый КА SMART-1, достигший Луны за 16 месяцев. Рис. 7.5. Эффект резонансного сближения КА с Луной SMART-1 был первым КА, который использовал только малую тягу на пути к Луне. Медленно раскручиваясь по спиралевидной траектории, аппарат достиг Луны чуть более чем через год после старта (сравните с 3–4 днями в миссиях с большой тягой). Инте- ресно отметить, что увеличить орбиту ему помогли регулярные и сильные возмущения от Луны, сконцентрированные на апогейной части орбиты – так называемые резонансные сближения. Резонанс в системе Земля–Луна–КА наступает, когда орбитальные периоды движения КА и Луны вокруг Земли соотносятся как целые числа, например 2:1 или 8:3. Оказывается, что если КА находится вблизи апогея незадолго до максимального сближения с Луной и Луна не- сколько «опережает» его в своем движении, то сила ее притяжения |