Введение в механику. Введение в динамику космического полёта

• Название: Введение в динамику космического полёта
• Анкор: Введение в механику
• Дата: 17.03.2023
• Размер: 2.84 Mb.
• Имя файла: vvedenie_v_dinamiku_kosmicheskogo_polyot.pdf
• Тип: Документы; #997464
• страница: 7 из 19

r
R
s
R
s
r
(5.6)
Стоящие в числителе и знаменателе функции координат допускают упрощения, приводящие к приближенным равенствам, получаемым с учетом связи
 
s
R r
и в предположении малости величины
/
r R
(фактически проведем разложение дробей в ряды Тейлора, считая отношение
/
r R
малым):
3 2
3 2
2 2
3 3
2 2
2 3
3 3
3 1
1 1
,
,
1 1
1
,
|
|
s
r
r
R
r
R
s
R
R
r
R
R
r
r
O
s
R
R
r
r
r
r
O
r
R
r
r
R
R
r
R
s
R
R


 





 
 






 









 


 









(5.7)
При этом
3 2
3/ 2 3
2 1
|
|
[(
) ]
1 3
R
R













Rr
R
r
R
r
Тогда, сохраняя лишь величины не выше
/
r R
порядка малости, преобразуем последнее выражение из (5.7) к виду
3 3
3 2
3 3
3 2
1 1 3 3
s
R
R
R
R
R
R
R













s
R
R
Rr
r
R
Rr
r
R
(5.8)
Следовательно, уравнению (5.6) с учетом (5.7) и (5.8) можно при- дать следующий вид (знаки приближенного равенства опускаем):

69 2
5 2
1 3
m
R
m
r
r
Rr R

    

  
 


r
Rr R
Если обозначить угол между R и r через
,

то последнее равенство переходит в выражение
2/5 2
1/5 1
1
( )
m
r
R
m
F


 




,
(5.9) где
( )
3
cos
F
r
R
 
r
R


(5.10)
Выражение (5.9) определяет радиус сферы действия. Функцию
1/5
( )
F

можно считать величиной, близкой единице, поскольку квадрат выражения (5.10), связывающего два орта, удовлетворяет неравенствам
2 1
( )
4,
F



так как по теореме косинусов
2 2
( ) 1 3cos
F
 


Следовательно, сфера действия является поверхностью, близкой шаровой. Приближенное выражение для сферы действия будет следующим:
2/5 2
1
m
r
R
m


 



(5.11)
Видно, что величина сферы действия зависит от двух главных факторов

расстояния планеты от Солнца и отношения их масс.
Приведем радиусы сфер действия для некоторых планет Солнечной системы (табл. 2).
Таблица 2
Радиусы сфер действия (млн км)
Меркурий
0.15
Юпитер
47.1
Венера
0.60
Сатурн
54.4
Земля
0.90
Уран
50.7
Марс
0.60
Нептун
86.2
Луна (отн. Земли)
0.066
Плутон
15.1

70
Оценим значение выражения
b B
на границе сферы дей- ствия. Воспользовавшись полученными выше выражениями, найдем
3 2
2 1
1 3
3 3
2 2
2
( )
b
s
R
B
m
m r
r
F
m
s
R
m R




(5.12)
Подставив
/
r R
в соответствии с соотношением (5.9), получим
1/5 2
2/5 1
2 2
( )
m
F
m



 



b
B
Соответствующие значения относительного ускорения – от- ношения возмущающего и основного ускорений для некоторых планет при
= 1
F
– приведены в табл. 3.
Таблица 3
Относительные ускорения на границах грависфер
Земля
0.08
Марс
0.05
Юпитер
0.25
Таким образом, для планет земной группы относительное зна- чение ускорения, вызванного учетом притяжения, составляет на границе сферы действия единицы процентов. Для больших планет
(Юпитер) эти величины могут достигать 25%. Если ограничиться околоземным пространством, то относительное значение возму- щающего ускорения Солнца имеет порядок 8% на расстоянии
900 000 км от Земли. Луна находится на расстоянии порядка
380 000 км от Земли. Так как возмущающие ускорения изменяются пропорционально кубу расстояния от планеты (см. (5.12)), можно утверждать, что около Луны возмущающее ускорение от Солнца будет менее 1%, а на траекториях искусственных спутников Земли вообще пренебрежимо мало.

71
5.3. Сфера влияния (грависфера Кислика
27
)
Рассмотренная выше сфера действия, впрочем, как и любая другая грависфера, не может быть признана безупречным решением проблемы наилучшего разделения пространства на «солнечные» и «планетные» области. Лаплас, вводя ее, искал наилучшее разде- ление с точки зрения удобств численного интегрирования уравне- ний движения, и этому требованию сфера действия удовлетворяет.
Сфера действия исходит из локального подхода

на траектории ищется точка, удовлетворяющая равенству (5.2). В то время может оказаться предпочтительным интегральный подход, учитывающий свойства всей траектории движения, а не в какой-нибудь одной ее точке. Рассмотрим разделение, дающее наилучшее приближение
«склеенной» из отрезков конических сечений траекторий космиче- ского аппарата к ее истинной форме
28
При интегральном подходе возникает проблема оценки степени приближения «склеенной» траектории к истинной, точнее

способа простой численной оценки этого приближения. На границе разде- ления пространства на «солнечные» и «планетные» области нельзя пренебрегать влиянием на движение космического аппарата ни
Солнца, ни планет, то есть оказывается предпочтительной плане- тоидная задача трех тел. Учитывая реальные свойства планетных орбит солнечной системы, можно воспользоваться решением кру- говой ограниченной задачи трех тел. Как известно, эта задача имеет специфический первый интеграл – интеграл Якоби (4.3), и поэтому представляется разумным использовать его при попытках найти новую грависферу, поскольку константа первого интеграла харак- теризует не локальные свойства некоторой точки траектории, а свойства траектории в целом.
Желая рассмотреть общие свойства окружающего планету пространства, можно использовать для этой цели какую-либо под-
27
Михаил Дмитриевич Кислик (1922–1994). Труды по космической бал- листике. Участвовал в запуске первых ИСЗ, лунных и межпланетных ав- томатических станций. Внес существенный вклад в развитие теории и практики радиолокации планет Солнечной системы. Предложил новое понятие сферы влияния планеты, получившее в последующем название
гравитационной сферы Кислика.
28
Кислик М.Д. Сферы влияния больших планет и Луны // Космические исследования. 1964. Т. 2, вып. 6. С. 853–858.

72 ходящую модельную траекторию движения КА, которая, будучи простой, допускающей аналитическое рассмотрение, в то же время правильно отражала бы основные закономерности, свойственные реальным траекториям. Введем с этой целью простейшую траек- торию со стартом ракеты-носителя, несущей КА по вертикали и лежащей в плоскости орбиты Солнца и планеты. Приближенная траектория будет в этом случае в начальной части прямой, идущей через центр Земли (для определенности будем говорить о Земле), а после выхода из сферы влияния Земли

эллипсом, в одном из фо- кусов которого находится Солнце. Задача сводится к нахождению на этой траектории такой точки ,
A чтобы при переходе в ней от прямолинейного подъема к движению по эллипсу вокруг Солнца получившаяся траектория была по возможности наиболее близкой к истинной. Последнюю на самом деле дал бы вертикальный старт с учетом действия сил притяжения как Земли, так и Солнца на всю траекторию.
Рассмотрим траекторию вертикального подъема в рамках за- дачи двух тел

Земли и аппарата. Тогда интеграл энергии (1.12) будет иметь вид
2 2
2 2
abs
m
h V
r



, где
abs
V

абсолютная скорость КА,
2
r

расстояние от центра
Земли до КА (массой КА по сравнению с массой Земли пренебре- гаем).
Обратимся к задаче трех тел Солнце–Земля–КА. Введем новую систему единиц:
1 2
m
m


единица массы,
1 2
R
d
d
 

единица длины, скорость планеты в ее гелиоцентрическом движении
hel
V

единица скорости. Здесь
1 2
,
m m

массы Солнца и Земли, R

расстояние между Солнцем и Землей,
1 2
,
d
d

расстояния от
Солнца и Земли до их общего центра масс соответственно. В новых единицах угловая скорость вращения линии Солнце–Земля =1,
n
так как
/
hel
n V
R

. Учитывая, что планета движется вокруг Солнца по окружности, ее скорость является круговой (2.3). Вспомнив да- лее, что
1 2
(
),
m
m


 
с учетом значений введенных здесь единиц

73 получим
1.


Это позволяет придать интегралу энергии для точки старта (считаем старт мгновенным) следующий вид:
2
*
20 2
h
V
r



(5.13)
Здесь
2 1
2
,
m
m
m



20
r

расстояние КА от центра Земли в начальное мгновение,
*
V

начальное значение абсолютной скорости КА в задаче двух тел.
Константа интеграла Якоби
C

на основании равенств (4.2) и (4.3) определяется выражением
2 2
2 2
1 2
1 2
(
) 2
rel
m
m
C
n x
y
V
r
r



 








, или в новой системе единиц –
2 2
2 1
2 1
=
2
C
r
V
r
r







,
(5.14) где V

относительная скорость в новой системе единиц
(в ограниченной круговой задаче трех тел), а переход от
2 2
x
y

к
2
r произведен с учетом того, что траектория КА лежит в плоскости Oxy .
Найдем связь между абсолютной скоростью
*
V и относитель- ной
V
В начальный момент
2 20
=
r
r и из приведенного на рис. 5.3 треугольника скоростей видно, что поскольку
= 1,
n
то
2 2
2
*
20
V
V
r


Рис. 5.3. Связь между абсолютной скоростью
*
V
и относительной скоростью
V

74
Следовательно, для начального момента времени, обозначенного, как и выше, индексом «нуль», константа интеграла
Якоби (5.14) будет иметь вид
2 2
2 0
*
20 20 10 2
1 2
C
r
V
r
r
r

  





Сделаем предположение, что старт осуществляется не с по- верхности планеты, имеющей конечный радиус, а с материальной точки
2
m Воспользовавшись интегралом энергии (5.13) и устре- мив затем
20 0
r

, найдем
2
=
4 3
C
h


 


с учетом того, что при
20 10 0,
1
r
r


, а
0 1
r

 
. Полученное значение
C

соответствует идеализированным условиям старта.
В истинном движении для всех точек такой траектории полета будет выполняться равенство const
C
 
(5.15)
Если истинную траекторию заменить приближенной, состав- ленной из отрезка прямой и дуги эллипса, то, вычисляя для точек такой траектории величины
C

по формуле (5.14), мы сразу обна- ружим нарушение равенства (5.15), что совершенно естественно, поскольку эта составная траектория не совпадает с той, которую дало бы точное решение круговой ограниченной задачи трех тел.
Построим, основываясь на выражении (5.14), функцию
2 2
2 1
2 1
2
C
r
V
r
r

  




для точек эллиптической части составной траектории, являющейся приближенной траекторией движения КА в «солнечной» области.
Найдем отклонение этой функции от точного значения константы интеграла Якоби:
2
(
4 3
)
C
C
h

 


 


Величина
C

зависит от ряда очевидных параметров, в том числе и от значений
2 A
r и

Первый из них дает положение точки
,
A
в которой происходит «склеивание» прямолинейного и эллиптичес-

75 кого участков траектории, а угол

определяет направление старта с Земли (рис. 5.4).
Чтобы исключить влияние малосущественного параметра ,

введем функцию
2 2
0 1
(
)
2
J
C d






, которая дает осредненную по

величину квадрата
C

Будем искать такое положение точки «склейки»
,
A
где функция J будет иметь минимум, то есть
2 0
A
J
r



(5.16)
Рис. 5.4. Введение угла

Найденное из условия (5.16) значение
2 A
r будет соответство- вать такому характеру сопряжения «земного» и «солнечного» участков приближенных траекторий полета КА, при котором начальная точка «солнечного» участка будет иметь константу ин- теграла Якоби, наиболее близкую к значению этой константы в момент старта. Это позволяет надеяться, что полученная для таких начальных значений эллиптическая «солнечная» траектория будет ближе всего к истинной.
Опускаемые здесь вычисления дают для уравнения (5.16) ре- шение
1/3 2
1.12( )
A
r



76
Выше предполагалось, что старт с Земли происходит в плоскости
Oxy Обычно это всегда имеет место, так как практически все КА совершают межпланетные перелеты в плоскости эклиптики. Если это не так, то окончательный вывод почти не изменится

произведя осреднение не только по углу ,

но и по углу между вектором V и плоскостью
,
Oxy в конечном итоге получим
1/3 2
1.16( ) .
A
r


Взяв некоторое округленное значение коэффициента перед знаком корня, пренебрегая
2
m по сравнению с
1
m и переходя к обычным линейным переменным, найдем окончательно выражения для радиуса сферы влияния
1/3 2
1
= 1.15
m
r
R
m






(5.17)
Минимум J еще не означает, что приближенная траектория действительно является наилучшей. Это пока всего лишь предпо- ложение. Истинность или ошибочность его могут продемонстри- ровать сравнительные расчеты на ЭВМ. На рис. 5.5 показаны ошибки в определении величин большой полуоси эллипса a

и эксцентриситета
,
e

полученные как разница между точными и приближенными значениями.
Рис. 5.5. Ошибки в определении величин большой полуоси эллипса
a

и эксцентриситета
e


77
В области II наблюдается явный минимум, причем численные значения
2 A
r
близки к значениям, задаваемым формулой (5.17).
Область I соответствует сфере действия Лапласа (5.11). Из графика видно, что «склейка», осуществляемая с использованием локаль- ного подхода Лапласа, дает худшее приближение, чем «склейка», основанная на интегральном подходе. Типичные значения радиусов сфер влияния приведены в табл. 4, откуда видно, что размер сфер влияния в 2–3 раза больше сфер действия (ср. с табл. 2).
Таблица 4
Радиусы сфер влияния (млн км)
Меркурий
0.36
Юпитер
88
Венера
1.70
Сатурн
108
Земля
2.50
Уран
116
Марс
1.80
Нептун
194

78
6. Уравнения движения в оскулирующих
элементах
Перейдем к иному способу представления движения космиче- ских аппаратов. Для этого введем и иную систему координат взамен декартовой.
6.1. Системы координат
Выше использовались декартовы системы координат. Во мно- гих случаях в небесной механике предпочтительна сферическая система координат, опирающаяся на представление о небесной сфере. Один из возможных вариантов такой системы координат будет использован ниже. Представим себе сферу единичного ради- уса, центр которой совпадает с центром масс Земли (рис. 6.1).
Рис. 6.1. Сферическая система координат
Если небесное тело совершает движение вокруг Земли, то в рамках задачи двух тел его траектория согласно первому закону
Кеплера будет лежать в некоторой плоскости, проходящей через центр масс Земли (точка
O
на рис. 6.1). Взяв плоскость
,
Oxy

79 совпадающей с плоскостью земного экватора, рассмотрим дуги больших кругов, получаемые на единичной сфере от сечения ее плоскостью Oxy и плоскостью, в которой происходит движение небесного тела. Пусть одна из точек пересечения этих двух кругов лежит в первой четверти плоскости Oxy и пусть этой точке соот- ветствует переход небесного тела из южного полушария в северное.
Назовем ее восходящим узлом орбиты. Угол между осью Ox и прямой, соединяющей точку
O
с восходящим узлом, назовем
долготой восходящего узла и обозначим

. Угол между плоско- стью экватора и плоскостью траектории небесного тела обозна- чим
i
и назовем его наклонением орбиты к плоскости экватора.
Если из центра единичной сферы провести прямые в характерные точки орбиты

перицентр

и мгновенное положение небесного тела
,
M
то соответствующие углы, отсчитываемые в плоскости орбиты, будут:


аргумент перицентра, то есть угловое рас- стояние перицентра от восходящего узла и


истинная аномалия

угловое расстояние небесного тела от направления на перицентр.
Иногда удобно рассматривать сумму двух последних углов
u
 
 
,
(6.1) носящую название аргумент широты.
Углы
, i

полностью определяют положение плоскости ор- биты в инерциальном пространстве, а угол u дает направление на мгновенное положение небесного тела. Если в этом направлении отложить величину радиус-вектора небесного тела, то его положе- ние будет полностью определено.
Найдем связь декартовых координат с вновь введенными
(рис. 6.2). Если прямая OM пересекает единичную сферу в точке
,
M

то очевидно, что cos(
, ),
cos(
, ),
cos(
, )
x
r
M x
y
r
M y
z
r
M z






(6.2)
Воспользуемся теоремой косинусов сферической тригонометрии cos = cos cos sin sin cos ,
cos
= cos cos sin sin cos ,
a
b
c
b
c
A
A
B
C
B
C
a




(6.3) где строчными буквами даны стороны сферических треугольников
(дуги больших кругов, измеряемые соответствующими централь-

80 ными углами), а прописными – двугранные углы между плоскос- тями больших кругов, причем противолежащие стороны и углы обозначены одинаковыми буквами. Применяя теорему косинусов к сферическим треугольникам
,
x M
  

M y
  

и
,
M z
  

найдем на основании равенств (6.2):
= (cos cos sin sin cos ),
(sin cos cos sin cos ),
sin sin .
x
r
u
u
i
y
r
u
u
i
z
r
u
i








(6.4)
Рис. 6.2. Переход от декартовой к сферической системе координат
Если дополнить равенства (6.4) полученными ранее равен- ствами (1.19), (6.1) и (1.26)
2 2
0
,
,
1
cos
(1
cos )
p
p
d
r
u
t
e
c
e


 




 
 



,
(6.5) то оказывается возможным представить декартовы координаты небесного тела как явные функции времени:
( ),
( ),
( )
x
x t
y
y t
z
z t



Что касается величин , , , , ,
i
p e



, то они являются константами первых интегралов движения. Совокупность равенств (6.4) и (6.5) является общим решением системы уравнений (1.11).

81