Введение в механику. Введение в динамику космического полёта
 Скачать 2.84 Mb.
|
|
r направлен вдоль вектора , f поэтому можно говорить, что вектор Лапласа направлен на перицентр. Прямая, совпадающая с большой полуосью орбиты и направленная вдоль вектора Лапласа, называется линией апсид. Как следует из (1.20), эксцентриситет e определяется моду- лем вектора Лапласа. При 0 < 1 e движение происходит по эл- липсу; при = 1 e – по параболе и при > 1 e – по гиперболе. Если есть необходимость выразить e не через , f а через постоянные интегралов энергии и площадей, то воспользовавшись формулами (1.18) и (1.20), получаем цепочку равенств 22 2 2 2 2 = = 1 hc c e h (1.21) С другой стороны, можно сделать наоборот постоянные этих интегралов выразить через параметры конического сечения. Из первого соотношения в (1.20) имеем c p (1.22) Теперь из (1.18) выражаем , h подставляем в получившееся выражение f из второй формулы (1.20) и используем (1.22), тогда 2 ( 1) h e p (1.23) Вспоминая, что 2 (1 ) p a e , получаем важное выражение h a , (1.24) где p носит название параметр орбиты, или просто – параметр, a большая полуось орбиты. Обратим внимание, что большая полуось фактически является мерой энергии. Найдем первый интеграл, дающий явную связь координат со временем (фактически, это второй интеграл, так как отсутствует зависимость его от скорости), пользуясь введенной полярной си- стемой координат. Как было показано выше, интеграл площадей в этой системе имеет вид 2 = . d r c dt (1.25) Подставляя сюда выражение (1.19) для , r получаем после интегрирования квадратуру 2 2 0 , (1 cos ) p d t c e (1.26) где постоянная, именуемая эпохой это момент первого пересечения перицентра движущимся небесным телом. Заметим, что, хотя квадратура (1.26) дает формально решение задачи, 23 воспользоваться ею при аналитическом изучении движения затруднительно. Таким образом, найдены все шесть первых интегралов и шесть соответствующих констант, описывающих вращательное движение системы двух гравитирующих материальных точек. Эти константы в результате выбора подходящей системы координат имеют три нулевых значения в силу того, что плоскость ( , ) x y совпадает с плоскостью движения точек, а ось Ox направлена по вектору f на перицентр. В результате решение содержит лишь три отличных от нуля постоянных это , , . p e Оставшиеся три константы задают положение плоскости орбиты в пространстве и ее ориентацию в этой плоскости. 24 2. Качественное исследование движения. Законы и уравнение Кеплера 2.1. Законы Кеплера Сформулируем три закона Кеплера 2 Первый закон, открытый Кеплером в 1605 году (опубликован в 1609 году), звучит так: каждая планета Солнечной систе- мы обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Второй закон, открытый им в 1602 году и опубликованный в 1609 году, гласит: каждая планета движется в плоскости, прохо- дящей через центр масс Солнца, причём за равные промежутки времени радиус-вектор, соединяющий центры Солнца и планеты, описывает равные площади. Третий закон, открытый Кеплером в 1618 году и опубликован- ный в 1619 году: квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей орбит планет. Все три закона были открыты Кеплером эмпирически как ре- зультат обработки наблюдений Тихо Браге 3 . Но, оказывается, об- ладая современными знаниями в механике, это законы можно по- лучить аналитически. Действительно, формула (1.19) показывает, что материальные точки в рамках задачи двух тел движутся по ко- ническим сечениям, в фокусе находится притягивающий центр. Закон сохранения площадей гласит, что за равные промежутки 2 Иоганн Кеплер (Johannes Kepler, 1571–1630). Немецкий астроном. Родился в Вюртембурге. Начав с изучения богословия в Тюбингенской академии, увлекся математикой и астрономией и вскоре получил приглашение на должность преподавателя математики в гимназии австрийского города Грац. Начиная с 1598 года Кеплер и другие протестанты стали подвергаться в католическом Граце жестоким религиозным гонениям, и в 1600 году ученый по приглашению Тихо Браге переехал в Прагу. Работы Кеплера основывались на наблюдениях, сделанных Тихо Браге. 3 Тихо Браге (Tycho Brahe, 1546–1601). Датский астроном, астролог и алхимик эпохи Возрождения. Первым в Европе начал проводить систематические и высокоточные астрономические наблюдения. 25 времени радиус-вектор заметает равные площади, а движение про- исходит в неподвижной плоскости. Получим третий закон Кеплера. Рассмотрим период обращения тела по орбите. Из формулы для заметаемых площадей 2 1 1 ( ) 2 S c t t следует, что при одном обороте по орбите S ab , где a и b большая и малая полуоси эллипса, а время движения равно периоду обращения rev T , то есть 1 2 rev ab cT Поскольку из определения p (1.22) следует c p , то 2 rev ab p T , но из аналитической геометрии известно, что 2 1 b a e , поэтому получаем 3/2 2 rev a T (2.1) Отсюда следует, что если две планеты обращаются около большой центральной массы (Солнца), так что значение в основном определяется массой Солнца, а не планеты, то времена обращения планет 1 T и 2 T будут удовлетворять условию 2 3 1 1 2 2 T a T a , то есть квадраты их периодов соотносятся как кубы больших полуосей (средних расстояний). Обратим внимание, что второй закон Кеплера о постоянстве секториальной скорости справедлив для любого центрального поля, а остальные два закона справедливы лишь для ньютонова поля. 26 2.2. Качественный анализ свойств эллиптических орбит Преобразуем выражение для интеграла энергии (1.12) с учетом выражения для константы энергии (1.24): 2 2 1 V r a (2.2) Рассмотрим элементарную теорию эволюции орбит, основываясь на равенстве (2.2). Эволюция орбиты в результате приложения мгновенного им- пульса. Мгновенный импульс не меняет координат, а меняет лишь скорость материальной точки. Поэтому в равенстве (2.2) произойдет мгновенное изменение 2 V и связанное с этим изменение , a то есть переход с орбиты «1» на другую орбиту «2». Рис. 2.1. Изменение первоначально круговых орбит импульсами, направленными «по скорости» и «против скорости» На рис. 2.1 приведено изменение первоначально круговых орбит импульсами , V направленными «по скорости» и «против скорости» (импульсы разгона и торможения). Как видно из схем, орбита испытывает наибольшее геометрическое смещение в области, противолежащей точке, в которой телу был сообщен импульс. Двухимпульсный переход необходим тогда, когда исходная орбита и требуемая орбита не имеют общих точек – например, пе- релет с одной круговой орбиты на другую. На рис. 2.2 приведен 27 переход с орбиты «1» на орбиту «3» с использованием промежу- точной орбиты «2». Для такого перехода необходимо сообщение двух импульсов 1 V и 2 V Переходный эллипс «2» называют эллипсом Гомана 4 Рис. 2.2. Двухимпульсный переход с использованием промежуточной орбиты Торможение в атмосфере. Пусть исходная орбита эллипти- ческая. Считаем, что в перицентре происходят «мгновенные» тор- можения точки атмосферой, которые приводят к прогрессивному уменьшению высоты апоцентра. В результате с каждым оборотом орбита становится «меньше» и приближается по форме к окружно- сти (рис. 2.3). Когда она «вся» окажется лежащей в атмосфере, торможение окажется столь интенсивным, что материальная точка упадет на Землю. Эта критическая высота орбиты имеет порядок 100 км. В реальном полете проще наблюдать уменьшение периода обращения , rev T который (2.1) изменяется в степени 3 / 2 с изме- нением большой полуоси орбиты a 4 Вальтер Гоман (1880–1943) – немецкий ученый в области механики космического полета. Доказал, что оптимальным при естественных допу- щениях и с точки зрения затрат энергии является переход с одной круговой орбиты на другую по эллипсу, касательному к этим орбитам. Справедли- вости ради стоит заметить, что в это же время русский исследователь и инженер Фридрих Цандер (1887–1933) получил аналогичный результат. Работы обоих авторов были опубликованы в 1925 году. 28 Рис. 2.3. Торможение в атмосфере Затраты энергии на межпланетные перелеты. Интегралу энер- гии (2.2) можно придать вид 2 2 r V r a Если считать, что r определяет (по порядку величины) место старта, то есть равен радиусу Земли, а 2a – расстояние до орбиты планеты назначения (рис. 2.4) сразу видно, что потребная для перелета скорость V практически мало зависит от , a так как для Луны отношение 6 400 r a становится пренебрежимо малым по сравнению с двойкой. Поэтому потребные скорости разгона для полета к Луне и Марсу имеют сравнимые порядки. Их различие связано с необходимостью учитывать движение относительно Солнца. Первая космическая (круговая) скорость. Положив в интеграле энергии (2.2) , r a получаем выражение для круговой скорости движения материальной точки вокруг притягивающего центра circ V r (2.3) Из полученного выражения следует, что круговая скорость изменяется обратно пропорционально корню квадратному из удаления от центрального тела. Следовательно, существует сколько угодно круговых скоростей. 29 Рис. 2.4. Межпланетный перелет Рассмотрим две идеализированные схемы выведения на орбиту материальной точки – искусственного спутника безатмосферной сферической планеты (рис. 2.5). Первая схема сводится к сообще- нию точке мгновенного импульса в горизонтальном направлении, обеспечивающего достижение круговой скорости, а вторая к вертикальному подъему, с последующим горизонтальным импуль- сом, позволяющим развить скорость, меньшую круговой, но до- статочную, чтобы спутник не упал на планету. Рис. 2.5. Две схемы выведения на орбиту искусственного спутника безатмосферной сферической планеты Первая траектория идет через точки А и С на малом расстоя- нии от поверхности планеты, вторая состоит из подъема по прямой АВ и последующего движения по эллипсу, идущему через 30 точки В и С. Поскольку в точке С обе орбиты касаются, они имеют одинаковый радиус r В то же время орбита II характеризуется большей полуосью , a чем орбита I. Следовательно, в точке С скорость тела, движущегося по орбите II, больше, чем скорость тела, движущегося по орбите I. Таким образом, учитывая, что начало разгона (точка А) у обеих орбит совпадает, для получения орбиты II надо затратить больше энергии, чем для получения орбиты I. Это значит, минимальная затрата энергии разгона соответствует кру- говому движению вокруг планеты на сколь угодно малой высоте. Соответствующая круговая скорость называется первой космиче- ской скоростью и получается по формуле (2.3), где в качестве ра- диуса r берется радиус планеты. В зарубежной литературе первая космическая скорость именуется circular velocity. На практике из-за наличия у Земли атмосферы траектория вы- ведения имеет в начале старта вертикальное направление, чтобы обеспечить, возможно, быстрый проход атмосферного участка, а затем постепенно приближается к траектории движения, находя- щейся на постоянном удалении от центра Земли, чтобы не совер- шать при разгоне работы против сил тяжести. Значения первой космической скорости I V для различных планет Солнечной системы приведены в табл. 1. Вторая космическая (параболическая) скорость. Если при раз- гоне спутнику сообщить достаточно большую скорость, то его движение перестанет быть финитным. Наименьшая скорость будет соответствовать той, которая обеспечит движение по параболе. Рассматривая параболу как предельный случай эллипса с полуосью , a на основании формул (2.2) и (2.3) найдем, что параболи- ческая скорость имеет вид 2 2 circ V V r Связывая параболическую скорость с первой космической, можно получить значение второй космической скорости: II I = 2 . V V Итак, вторая космическая скорость это минимальная ско- рость, достаточная для того, чтобы разогнанная до II V материаль- 31 ная точка улетела (конечно же, в рамках задачи двух тел) на беско- нечность. В зарубежной литературе эта скорость носит название escape velocity. Реально разгон до II V у Земли вовсе не означает удаление КА на бесконечность, так как помимо Земли существует Солнце, тяго- тение которого заставит такой аппарат двигаться по эллипсу вокруг Солнца. Но, с другой стороны, он не останется спутником Земли и уйдет от нее. Величины второй космической скорости для планет Солнечной системы приведены в табл. 1. Таблица 1 Космические скорости для планет Солнечной системы Планета I V , км/с II V , км/с Меркурий 3.014 4.263 Венера 7.316 10.35 Земля 7.905 11.18 Марс 3.552 5.023 Юпитер 42.16 59.62 Сатурн 25.12 35.53 Уран 15.39 21.77 Нептун 16.55 23.40 Плутон 0.857 1.212 Луна 1.679 2.376 2.3. Уравнение Кеплера Полученная ранее квадратура (1.26), дающая в явном виде связь координат движения (истинную аномалию) со временем, имеет весьма сложный вид. Точнее, по положению точки на орбите, от- вечающей этому положению, момент времени вычислить не так сложно. Гораздо сложнее получить положение на орбите в заданный момент времени необходимо обращать квадратуру. Поэтому для той же цели предпочитают использовать уравнение Кеплера, кото- рое было им получено в 1609 году. Перейдем к выводу этого урав- нения. 32 Построим эллипс с заданными полуосями a и , b опираю- щийся на концентрические окружности радиусов a и b (рис. 2.6). Рис. 2.6. Построение эллипса с помощью двух концентрических окружностей Введя угол E (эксцентрическую аномалию), найдем координаты точек, принадлежащих эллипсу, по формулам cos , sin x a E y b E Точка F суть фокус построенного эллипса. Ее удаление от центра эллипса составляет ae Запишем выражения для катетов треугольника, гипотенуза которого образована радиус-вектором r построенной только что точки эллипса из фокуса , F cos = cos , sin = sin r a E ae r b E (2.4) Возводя обе части этих равенств в квадрат, складывая и приравнивая сумму квадрату гипотенузы 2 r , а также вспоминая, что малая полуось b выражается через большую полуось эллипса a и его эксцентриситет e по формуле 2 1 , b a e получаем после извлечения квадратного корня выражение для r : (1 cos ) r a e E (2.5) 33 Перейдем в формулах (2.4) к половинному углу 2 : 2 2 cos cos , 2 sin cos sin 2 2 2 r r a E ae r b E Теперь подставим r из (2.5) в правую часть первого уравнения, а 2 1 b a e – во второе уравнение и перейдем в обоих уравнениях к половинному углу 2 E , тогда соответственно получим 2 2 2 2 (1 ) cos , 2 cos 2 2 2 sin cos 2 1 sin cos 2 2 2 2 E a e r E E r a e Разделив второе равенство на первое, имеем в итоге 1 tg tg 2 1 2 e E e (2.6) Тем самым угол E однозначно определяет обычные координаты точек эллипса ( , ) r . Интеграл площадей (1.25) с учетом (1.22) и выражения для 2 (1 ) p a e имеет следующий вид: 2 2 = (1 ) d r a e dt (2.7) Перепишем интеграл энергии (2.2) так: 2 2 2 2 2 1 = dr d V r dt dt r a Исключая здесь d dt с помощью (2.7), имеем 2 2 2 2 2 [ ( ) ] dr a e a r dt r a Введем среднее движение 34 3/2 2 rev n T a , где период обращения взят из формулы (2.1). Механический смысл n это средняя угловая скорость обращения точки вокруг центрального тела. Тогда можно переписать предыдущую формулу в виде 2 2 2 ( ) dr a n a e a r dt r , и, разделяя переменные, имеем 2 2 2 ( ) rdr ndt a a e a r Подставляя r из (2.5), находим (1 cos ) ndt e E dE и, интегрируя, получаем 0 0 0 ( ) ( ) (sin sin ) n t t E E e E E Выберем начало отсчета времени 0 t соответствующим значе- нию 0 = 0. E Тогда, как видно из равенства (2.6), значение = 0 , то есть 0 = 0, E соответствует перицентру. Следовательно, в качестве 0 t можно взять эпоху Поэтому последнее уравнение будет иметь вид ( ) sin n t E e E или sin , E e E M (2.8) где ( ) M n t называется средней аномалией, так как соответствует углу поворота радиус-вектора движущегося тела, если бы оно вращалось вокруг центрального тела с постоянной угловой скоростью, равной среднему движению n Уравнение (2.8) называется уравнением Кеплера, и, несмотря на предельно простой вид, оно не имеет решений в элементарных 35 функциях. Это уравнение может быть использовано для решения достаточно очевидных задач. Для заданного положения движущегося тела (заданных , ) r найти соответствующее ему время t Решение элементарно по известному значению истинной аномалии определяем значение , E используя формулу (2.6), а по средней аномалии M (2.8) находим . t Нахождение , r для заданного t связано с нахождением E по заданному M Это возможно лишь приближенными методами, например методом итераций. Определим связь (n + 1)-го приближения 1 = n E E с предыдущим , n E следующим из уравнения Кеплера итерационным выражением 1 = sin n n E e E M При 1 e такой итерационный процесс сходится к единственному решению E , где E – корень уравнения = sin E e E M Действительно, при возрастании E от до функция sin E e E монотонно возрастает, так как ее производная всюду положительная. Отсюда следует, что уравнение Кеплера при любом значении средней аномалии M имеет единственное решение. При небольших значениях эксцентриситета e переменные r и удобно представить с помощью рядов в виде явных функций времени. Следует отметить, что уравнение Кеплера в классической форме описывает движение только по эллиптическим орбитам, то есть при 0 1 e . Движение по гиперболическим орбитам ( 1) e подчиняется гиперболическому уравнению Кеплера, сходному по форме с классическим. Движение по прямой линии (e = 1) описывается радиальным уравнением Кеплера. Наконец, для описания движения по параболической орбите ( 1) e используется уравнение Баркера: 36 3 1 2 3 2 tg tg M |