Введение в механику. Введение в динамику космического полёта
 Скачать 2.84 Mb.
|
|
r r r r r r r r r Или с учетом того, что 0 1 2 = 0 r r r , получаем равенства 2 0 1 2 2 0 1 2 0 1 3 3 3 3 0 2 1 2 0 1 2 0 0 1 2 0 1 2 3 3 3 3 1 0 2 0 1 2 0 1 1 2 0 1 2 0 3 3 3 3 2 1 0 1 = 0, = 0, = 0. m m m h m m m h r r r r m m m h m m m h r r r r m m m h m m m h r r r r r r r r r r Эти тождества выполняются в следующих двух случаях. В первом случае когда величины, стоящие в круглых скобках, отличны от нуля, но векторы i r коллинеарны. Тогда три массы 0 1 2 , , m m m должны всегда находиться на прямой. Это возможно, если расстояния между ними и начальные скорости подобрать специальным образом. Просто напросто в этом случае для каждой точки центробежная сила инерции, присутствующая во вращающейся системе координат, связанной с прямой, на которой находятся точки, должна уравновешиваться силами гравитацион- ного притяжения со стороны оставшихся двух точек. Задача усугубляется полиномиальным уравнением пятой степени, но решение ее найти удается. Эти случаи называются эйлеровыми 9 . Их три, со следующими порядками следования масс: 0 1 2 0 2 1 1 0 2 ; ; m m m m m m m m m 9 В 1767 году Леонард Эйлер обнаружил этот класс движений. 46 Второй случай если стоящие в скобках величины нули. Это дает три пары уравнений: 0 1 2 2 2 3 3 3 2 0 1 1 2 0 0 0 3 3 3 0 1 2 2 0 1 1 1 3 3 3 1 2 0 , , m m h m m r r r m m h m m r r r m m h m m r r r Откуда получаем равенство 0 1 2 r r r и, следовательно, 0 1 2 0 1 2 h h h m m m . Таким образом, если массы 0 1 2 , , m m m будут все время находиться в вершинах равностороннего треугольника, то движение будет кеплеровым. Необходимые начальные условия такого движения следующие: массы i m должны быть расположены в вершинах равностороннего треугольника, а их относительные скорости удовлетворять условию 0 1 2 = 0 d d d dt dt dt r r r при равенстве их модулей это следствие требования 1 2 0 = = r r r в любой момент времени t Очевидно, что в этом случае относи- тельные скорости тоже составляют равносторонний треугольник. Тогда в следующее мгновение действительно сохранится равенство 1 2 0 = = . r r r Так как три тела можно расположить в вершинах треугольника двумя разными способами 0 1 2 0 , , , m m m m и 0 2 1 0 , , , , m m m m то существует два решения поставленной задачи. Рассмотренные случаи называются лагранжевыми 10 В 1951 году было показано (Штумпф 11 ), что, кроме этих слу- чаев, других начальных условий для получения кеплеровых траек- 10 В 1772 году Лагранж опубликовал свой знаменитый мемуар «О задаче трех тел», в котором, исследуя решения задачи трех тел, он указывал на существование двух классов несложных движений. 11 Карл Штумпф (Karl Stumpff, 1895–1970). Немец по происхождению, он был назначен профессором астрономии в Граце и затем в Геттингене. Изучал орбиты движения Земли и Луны. Функции Штумпфа, используе- 47 торий не существует. Хотя полученные результаты выглядят весьма искусственными, они имеют практическое значение, которое будет обсуждаться ниже. 4.2. Планетоидная задача трех тел Следующее упрощение – это предположение, что масса од- ного из трех тел пренебрежимо мала по сравнению с массами остальных двух тел. В этом случае два «массивных» тела не будут испытывать возмущений со стороны малого тела и, следовательно, взаимное движение массивных тел полностью описывается в рамках задачи двух тел. Что касается третьего малого тела, то оно уже не будет двигаться по кеплеровой орбите, а будет совершать сложное движение под действием двух притягивающих центров. Первоначально этот метод использовался для изучения дви- жения системы Солнце–Земля–Луна, но сегодня его со значительно бóльшим основанием можно использовать при рассмотрении тра- екторий космических аппаратов при межпланетных перелетах, ко- гда их движение вблизи планет можно рассматривать в рамках ди- намики системы Солнце–планета–космический аппарат. Частным случаем планетоидной задачи трех тел является, так называемая, круговая ограниченная задача трех тел. В этой задаче предполагается, что два массивных тела движутся по круговым орбитам. Рассмотрим ее более подробно. Даны тела (материальные точки) , , S J P с массами 1 2 m m m В нашем рассмотрении масса m пренебрежимо мала и она не оказывает влияния на движение остальных двух тел. Поместим начало координат O в центре масс системы тел S и . J В качестве плоскости Oxy выберем плоскость движения тел S и , J ось Ox направим вдоль вектора из тела S в тело J (рис. 4.2). Пусть 1 d и 2 d суть расстояния тел S и J от начала коор- динат, тогда их координаты в выбранной системе имеют вид 1 ( ,0,0) d и 2 ( ,0,0). d Пусть n угловая скорость вращения си- стемы двух тел вокруг оси Ox относительно инерциального про- мые в универсальных преобразованиях переменных в задаче двух тел, носят его имя. 48 странства. Очевидно, что 1 2 const. d d R Тогда по закону Кеплера (2.1), учтя, что = 2 / , rev n T получим соотношения 2 3 1 2 1 2 ( ) , ( ) n d d m m (4.1) Положительное направление оси Oz выбираем так, чтобы n было положительным числом, а ось Oy дополняла выбранную пару осей до правой системы координат. Рис. 4.2. К планетоидной задаче трех тел Рассмотрим движение материальной точки , P координаты которой во введенной системе отсчета , , . x y z Компоненты абсо- лютной скорости точки P определяются соотношениями , , dx dy dz ny nx dt dt dt , кинетическая энергия точки P 2 2 2 2 m dx dy dz T ny nx dt dt dt Запишем уравнение Лагранжа второго рода для точки P : = d T T U dt q q q , 49 обозначив точкой операцию дифференцирования по времени ,t а q – обобщенную координату. Силовая функция U в нашем случае будет иметь вид 1 2 1 2 1 2 mm mm m m U r r R Последнее слагаемое, являющееся константой, может быть опущено. Отнесем U и T к массе m и введем , U T U T m m Запишем уравнения Лагранжа в явном виде: 2 2 2 = , 2 = , = , x y z x ny n x U y nx n y U z U причем 1 2 1 2 m m U r r Введем функцию 2 2 2 1 2 1 2 1 ( ) 2 m m n x y r r (4.2) Тогда уравнения движения точки P в ограниченной круговой задаче трех тел имеют вид 2 = , 2 = , = x y z x ny y nx z Умножая каждое из этих уравнений на 2 , 2 , 2 x y z соответственно, складывая их и интегрируя получившееся выражение, получим интеграл Якоби 12 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 x y z C , (4.3) 12 Карл Густав Якоб Якоби (Carl Gustav Jacob Jacobi, 1804–1851). Немецкий математик и механик. Внёс огромный вклад в комплексный анализ, линейную алгебру, динамику и другие разделы математики и механики. 50 где C постоянная интеграла Якоби. Интеграл Якоби напоминает интеграл энергии, отнесенный к массе, но не следует забывать, что в левой части равенства стоит не абсолютная, а относительная ско- рость материальной точки P Найденный первый интеграл движения позволяет произвести качественное исследование движения точки P Поверхность 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 x y z будет отделять области, в которых относи- тельная скорость вещественна, от тех, где она могла бы принимать мнимое значение. Уравнение этой поверхности, как видно из (4.3), имеет следующий вид: 2 C (4.4) Для упрощения анализа выберем подходящую систему единиц. Пусть в ней 1 2 = 1, = 1 k d d . Тогда из равенства (4.1) следует, что 2 1 2 n m m , и уравнение (4.4) с учетом (4.2) записывается так: 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 ( )( ) m m m m x y C r r (4.5) Уравнение (4.5) определяет поверхность нулевой относительной скорости во вращающейся вместе с телами S и J системе координат. Сравнение выражений (4.3) и (4.2) показывает, что для заданной точки (в координатах ( , , )) x y z уменьшению константы C соот- ветствует увеличение модуля относительной скорости. Восполь- зуемся этим фактом для рассмотрения вопроса об изменении кон- фигурации поверхности нулевой относительной скорости в зави- симости от модуля относительной скорости тела P . Начнем рас- смотрение с малых относительных скоростей, которым соответ- ствуют большие C Если предположить, что C велико, то из уравнения (4.5) можно заключить, что это будет иметь место в трех областях про- странства ( , , ) x y z – при больших 2 2 x y (и, следовательно, больших 1 r и 2 r ) и при малых 1 r или 2 r . Для этих трех случаев уравнение (4.5) удобно записать в трех различных видах: 51 2 2 1 2 1 1 2 1 2 3 2 ( )( ) ( , , ), 2 ( , , ), 2 ( , , ), m m x y C x y z m C x y z r m C x y z r (4.6) где 1 2 3 , , суть некоторые функции от ( , , ), x y z имеющие относи- тельно малую величину. Если положить функции i равными нулю, то первое уравнение из (4.6) будет уравнением кругового цилиндра с осью, совпадающей с осью , Oz а второе и третье уравнения из (4.6) будут уравнениями сфер с центрами в точках S и J Таким образом, поверхность нулевой скорости (4.5) распалась на три отдельные поверхности. Учет малых слагаемых i несколько деформирует конфигурацию этих трех поверхностей, и поэтому они носят название квазицилиндра и квазисфер. Квазицилиндр имеет наименьший диаметр в плоскости ( , ), x y а квазисферы яйцевидную форму с острыми концами, направленными к началу координат. По мере увеличения относительной скорости (то есть умень- шения ) C размеры квазицилиндра будут уменьшаться, а квази- сфер расти, так что первоначально отдельные поверхности начнут сближаться и сливаться. Этот процесс показан на рис. 4.3, где дана эволюция сечений поверхности (4.5) плоскостями Oxy и Oxz Уменьшению C соответствует переход вправо от рисунка к ри- сунку. Области, в которых движение невозможно, то есть для ко- торых 2 2 2 ( ) ( ) ( ) x y z становится отрицательной величиной, за- штрихованы. Поясним механический смысл изображенных на рис. 4.3 диа- грамм. По мере уменьшения C происходит увеличение относи- тельной скорости тела P и область «досягаемости» увеличивается. При очень малых относительных скоростях (левая диаграмма) тело P может лишь незначительно удаляться от мощных притягиваю- щих центров S и . J По мере увеличения относительной скорости область досягаемости настолько увеличивается, что, например, на правой диаграмме тело P как при «старте» с , S так и с J может удалиться в бесконечность. 52 Первоначально такой подход был применен Хиллом 13 в 1878 году к анализу движения Луны. Рассматривая три тела Солнце, Землю и Луну – и считая Луну малой сравнительно с двумя другими небесными телами, Хилл показал, что реализуется диаграмма типа самой левой на рис. 4.3 Луна движется глубоко внутри квази- сферы Земли. В связи с этим говорят, что движение Луны относи- тельно Земли устойчиво по Хиллу. Рис. 4.3. Эволюция сечений поверхности (4.5) плоскостями Oxy и Oxz Интеграл Якоби используется нередко для отождествления вновь открытой периодической кометы. Рассматривая Солнечную систему как совокупность двух тел Солнца и Юпитера, находят из наблюдений движения кометы константу C системы Солнце– Юпитер–комета. При повторном появлении этой кометы необхо- димым условием ее тождественности с ранее наблюдавшейся яв- ляется близость констант Якоби C 13 Джордж Уильям Хилл (George William Hill, 1838–1914) – американский астроном и математик. Известен своими работами в области небесной механики и, в частности, в области теории движения Луны, Юпитера и Сатурна 53 4.3. Особые точки поверхности нулевой скорости Особая точка поверхности ( , , ) 0 F x y z должна удовлетво- рять условиям = 0, = 0, = 0. x y z F F F Рассмотрим свойства особых точек поверхности (4.4). На этой поверхности по определению 2 2 2 ( ) ( ) ( ) = 0, x y z а следовательно, = = = 0. x y z В особых точках дополнительно выполняются равенства 0. x y z Вычислив , , x y z для (4.2), запишем 2 2 0. x ny y nx z Откуда с учетом того, что 0, y x получаем 0. x y z Следовательно, материальная точка , P находясь в особой точке поверхности (4.4) и имея соответствующее значение константы , C будет не только неподвижна в системе координат , Oxyz но и её ускорения будут равны нулю. Таким образом, это будут точки, в которых P находится в состоянии относительного равновесия. С известными оговорками об устойчивости такого положения равновесия можно утверждать, что при сформулированных выше условиях P будет «вечно» находиться в подобной точке. Поиск таких точек можно провести обычными методами ана- лиза, однако используем другой подход. Если в особых точках по- верхности (4.4) точка P оказывается неподвижной относительно тел S и , J то, поскольку и расстояние между телами S и J тоже является постоянной величиной, можно утверждать, что все три тела , , S J P будут вращаться вокруг общего центра масс вме- сте с плоскостью , Oxy в которой все они должны лежать. Для тел S и J это следует из выбора системы координат, для тела P – из условия 0. z Но тогда не только тела S и J будут совершать круговое движение, но круговое движение будет свойственно и точке . P Следовательно, всем трем объектам будут свойственны движения по кеплеровым орбитам. Но выше уже говорилось, что это возможно лишь в пяти случаях: трех случаях коллинеарного дви- жения (движение Эйлера) и двух случаях триагонального движения (движение Лагранжа). Следовательно, особые точки поверхности (4.4) совпадают с положениями относительного равновесия, найденными Эйлером и Лагранжем. 54 Если материальная точка P находится в малой окрестности особой точки поверхности нулевой относительной скорости и имеет малую относительную скорость, то дальнейшее ее поведение зави- сит от характера поля ускорений, то есть величин , , x y z . Оно может быть таким, что ускорения будут «уводить» P от особой точки или, напротив, стремиться привести P в особую точку. В первом случае следует говорить о том, что положение равновесия является неустойчивым, а во втором – устойчивым. В случае устойчивости отклонение P от идеального равновесия, то есть наличие малых относительных скоростей и отклонений координат от координат особой точки, при отсутствии диссипации механической энергии приведет к незатухающим колебаниям (либрациям) точки P в малой окрестности особой точки поверхности нулевой относи- тельной скорости. Поэтому особые точки называются обычно точками либрации. Эйлеровы точки называют еще коллинеарными точками либрации, а лагранжевы треугольными точками либра- ции. В системе Земля–Луна коллинеарная точка, лежащая за Луной, обозначается 2 , L между Землей и Луной – 1 , L за Землей – 3 L Треугольные обозначаются 4 L и 5 L Аналогично и в системе Солнце–Земля. Если обозначить координаты точки либрации во вращающейся системе координат Oxyz через 0 0 0 , , , x y z через , , малые отклонения P от этого положения, то, применяя обычные методы линеаризации, можно сформулировать и решить задачу об устой- чивости движения тела P в малой окрестности точки 0 0 0 ( , , ). x y z Наибольший интерес представляет движение точки P в плоскости Oxy Соответствующие уравнения движения будут иметь вид = 0, = 0, где многоточиями обозначены слагаемые, со- держащие производные порядка, ниже второго, и следовательно, характеристическое уравнение этой системы дифференциальных уравнений будет четвертой степени. Оказывается, что оно приво- дится к биквадратному уравнению вида 4 2 = 0 a b , 55 которое и дает ответ на вопрос об устойчивости движения тела. Анализ показывает, что коллинеарные точки либрации всегда характеризуются неустойчивостью, а треугольные точки либрации дают устойчивое движение в тех случаях, когда 2 2 1 2 1 2 < 0.038 или > 1 0.038 m m m m m m (4.7) Представляет интерес поверхность потенциальной энергии над координатной плоскостью движения двух массивных тел 14 (рис. 4.4). Здесь на плоскости показаны коллинеарные точки либ- рации и проекции уровней энергии. Рис. 4.4. Поверхность потенциальной энергии для двойной звезды с отношением масс 2:1 Устойчивые точки либрации замечательны тем, что помещен- ное в их малой окрестности небесное тело, если свойственная ему константа C имеет нужное значение, будет находиться там «веч- но», причем для обеспечения этой неподвижности нет необходи- мости затрачивать энергию. Это может быть использовано для расположения ретранслятора радиосигналов, излучаемых по каналу ABC с невидимой с Земли стороны Луны (рис. 4.5). Неподвиж- ность ретранслятора в системе координат, связанной с Луной и 14 http://hemel.waarnemen.com/Informatie/Sterren/hoofdstuk6.html#h6.2 56 Землей (неподвижность точки B относительно точек A и ), C значительно упрощает проблему обеспечения связи: направленные радиоантенны в точках A и B могут сохранять постоянное направление, не требуя постоянного слежения. Треугольные точки либрации подходящая база для создания радиоинтерферометра 15 Рис. 4.5. Расположения ретранслятора радиосигналов, излучаемых по каналу ABC с невидимой с Земли стороны Луны Устойчивость геометрии взаимных расположений точек , , A B C следует из того, что входящая в условия (4.7) величина 2 1 2 ( ) m m m имеет в рассматриваемом случае порядок 0.01. Наличие устойчивых точек либрации приводит к тому, что об- ласти этих точек становятся своего рода «мусорными ямами», в которых накапливается межпланетная материя пыль и другие мелкие частицы, которые в результате взаимных столкновений случайно приобрели нужное значение константы C в окрестности устойчивой точки либрации. В.А. Егоров 16 вычислил скорости на поверхности гипотетиче- ской сферы, удаленной от поверхности Земли на 200 км, необхо- 15 Улыбышев Ю.П. Точки Лагранжа. Перспективы их использования в космической деятельности. Доступно и популярно способы использования точек Лагранжа изложены на ресурсе: http://gagarin.energia.ru/past-future/174-tochki-lagranzha-perspektivy-ikh-ispol zovaniya-v-kosmicheskoj-deyatelnosti.html 16 Всеволод Александрович Егоров (1930–2001) советский и российский учёный-математик и механик. С 1966 года работал в Институте приклад- ной математики АН СССР. Профессор МГУ, доктор физ.-мат. наук. Работы |