Теория игр - теоретический материал, все вопросы. Задачи теории игр в экономике, финансах и бизнесе. Теория игр
 Скачать 4.21 Mb.
|
Теорема о существовании показателей эффективности и неэффективности смешанных стратегий в антагонистической игре.12. Теорема о существовании показателей эффективности и неэффективности смешанных стратегий в антагонистической игре. Для каждой смешанной стратегии  игрока  существует    ;(4.1)Для каждой смешанной стратегии  игрока  существует   . (4.2)Доказательство: Для проведения доказательства введём понятие симплекса Стандартным n-симплексом называется подмножество пространства  действительных чисел, определяемое как .Его вершинами являются точки:  , ,…  .Сначала покажем, что симплекс является ограниченным замкнутым множеством, т.е. компактом. Рассмотрим симплекс  в евклидовом пространстве  . Так как норма вектора  в пространстве определяется следующим образом: ,то для любой точки  симплекса  справедливо неравенство ,означающее ограниченность симплекса .Пусть последовательность точек  ,  ,сходится к точке  при  . Так как сходимость в является покоординатной, то  означает, что  ,  . Поскольку  , то и  .Так как  для каждого k, то .Таким образом, предельная точка  принадлежит симплексу , что доказывает его замкнутость.Аналогично и симплекс  – компакт в пространстве  .Если зафиксировать произвольную смешанную стратегию  , то функция выигрыша  будет функцией одного векторного аргумента  , определённой на симплексе . Из аналитического выражения ,  видно, что она непрерывна по аргументу Q на множестве , которое, как мы только что установили, является компактом, а непрерывная на компакте функция достигает своей нижней и верхней граней. Поэтому для любого существует (4.1), т.е. для любого найдётся хотя бы одна точка  такая, что .Аналогично доказывается и существование (4.2). Теорема доказана. |