Теория игр - теоретический материал, все вопросы. Задачи теории игр в экономике, финансах и бизнесе. Теория игр
 Скачать 4.21 Mb.
|
Теорема о существовании нижней и верхней цен игры в смешанных стратегиях.Нижней ценой (или максимином)матричной игры в смешанных стратегиях называется величина  Верхней ценой (или минимаксом)матричной игры в смешанных стратегиях называется величина  Докажем существование нижней и верхней цен в смешанных стратегиях, т.е. достижимость максимума в (1) и минимума в (2). Необходимость этого доказательства возникает по причине бесконечности множеств SAв (1) и SBв (2). Сначала докажем вспомогательные предложения. Лемма 1. Соответствие, сопоставляющее каждой смешанной стратегии Р  SAигрока А показатель ее эффективности α(Р),является числовой функцией, определенной на симплексе SA,аналитическое выражение которой задается равенством Аналогично, соответствиеβ(Q),задаваемое формулой  является числовой функцией, определенной на симплексеSBи ставящей в соответствие каждой смешанной стратегииQ SBигрока В показатель ее неэффективностиβ(Q). Доказательство. Для каждой смешанной стратегии P SAв силу теоремы 1 - для каждой смешанной (в частности, чистой) стратегии Р SAигрока А существует (достигается)  для каждой смешанной (в частности, чистой) стратегии Q SBигрока В существует (достигается)  существует число  которое по определению минимума является единственным. Следовательно, α(Р)- числовая функция векторного аргумента Р, определенная на симплексе SA.Аналогичной аргументацией обосновывается, что  является числовой функцией векторного аргумента Q, определенного на симплексе SB. Лемма 2. Функцииα(Р) иβ(Q)непрерывны в своих областях определения SAиSB. Оставим без доказательства. Теперь докажем следующую теорему. Теорема 2. Для любой конечной матричной игры существуют нижняя и верхняя цены игры в смешанных стратегиях. Доказательство. Так как функция α(Р)по лемме 2 непрерывна на компакте SA, то она достигает на этом множестве своего максимума, т.е. существует нижняя цена игры в смешанных стратегиях:  Аналогичным образом обосновывается существование и верхней цены игры в смешанных стратегиях:  Смешанная стратегия PО SA,максимизирующая показатель эффективности α(Р) (существование которой доказано в теореме 2), назовем максиминной смешанной стратегией игрока А. Таким образом, нижняя цена игры есть (см. 1) показатель эффективности максиминной смешанной стратегии PО:  В частном случае PО =Аi0 является максиминной чистой стратегией игрока A. Аналогично, смешанная стратегия QО SB(существование которой доказано в теореме 2), минимизирующая показатель неэффективности β(Q), назовем минимаксной смешанной стратегией игрока В.Показатель неэффективности минимаксной смешанной стратегии QОравен верхней цене игры  (см. 2)):  Если QО=Bj0, то Bj0является минимаксной чистой стратегией. |