Теория игр - теоретический материал, все вопросы. Задачи теории игр в экономике, финансах и бизнесе. Теория игр

• Название: Задачи теории игр в экономике, финансах и бизнесе. Теория игр
• Анкор: Теория игр - теоретический материал, все вопросы.docx
• Дата: 02.05.2017
• Размер: 4.21 Mb.
• Имя файла: Теория игр - теоретический материал, все вопросы.docx
• Тип: Документы; #6343
• Категория: Математика
• страница: 9 из 27

Рисунок 5.3 – Геометрическая интерпретация игры примера 5.4

Точка М находится на пересечении отрезков, соответствующих стратегиям B₁ и B₂ второго игрока.

Найдем ее координаты:

B₁B^'₁:

=  ,  откуда  y = 3x + 7,

B₂B^'₂:

=  ,  откуда  y = -3x + 9,

3x + 7 = -3x + 9, 6x = 2, x = 1/3, т.е.  = 2/3,  = 1/3, цена игры v = 8.

Активными стратегиями игрока B являются стратегии B₁ и B₂, следовательно,  = 0.

Используя выражение (5.2), вытекающее из теоремы об активных стратегиях, составим систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

7 + 9 = 8,  +  = 1.

Второе уравнение умножим на семь и вычтем из первого:

2 = 1,  = 1/2,    = 1/2.

Ответ: U^* = (2/3, 1/3); Z^* = (1/2, 1/2, 0); v = 8.
Пример 5.5. Найдите решение игры, заданной матрицей:

A =

6   5 4   6 2   7 1   8

.

Решение.

Проверим наличие седловой точки.

= max (5, 4, 2, 1) = 5,  = min (6, 8) = 6.

Седловая точка отсутствует, поэтому решение следует искать в смешанных стратегиях.

Выполним построения на плоскости XY в соответствии с методикой, приведенной выше. Результат представлен на рисунке 5.4.

Рисунок 5.4 – Геометрическая интерпретация игры примера 5.5

В данном случае необходимо отыскать точку, соответствующую минимальному гарантированному проигрышу. Такая точка (точка М) находится на пересечении отрезков, соответствующих стратегиям А₁ и А₄ игрока А.

Найдем координаты:

A₁A^'₁:

=  ,  откуда  y = -x + 6,

A₄A^'₄:

=  ,  откуда  y = 7x + 1,

7x + 1 = -x + 6, 8x = 5, x = 5/8,  = 3/8,  = 5/8, v = 43/8.

Активными стратегиями игрока A являются стратегии A₁ и A₄, следовательно,  =  = 0.

Используя выражение (5.1), вытекающее из теоремы об активных стратегиях, составим систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

6 +  = 43/8,  +  = 1.

Вычтем из первого уравнения второе:

5 = 35/8,  = 7/8,  = 1/8.

Ответ: U^* = (7/8, 0, 0, 1/8); Z^* = (3/8, 5/8); v = 43/8.