Теория игр - теоретический материал, все вопросы. Задачи теории игр в экономике, финансах и бизнесе. Теория игр
![]()
|
Теорема о соотношении нижней и верхней цен игры в чистых и смешанных стратегиях.Теорема. Нижняя цена игрыαи верхняя цена игрыβ в чистых стратегиях, нижняя цена игры ![]() ![]() ![]() Доказательство. Начнем доказательство с левого неравенства (1). По определению ![]() нижней цены в смешанных стратегиях ![]() ![]() Здесь правая часть ![]() ![]() Так как полученное неравенство справедливо для всехi= 1, ..., m, то оно будет справедливым в частности для того номера i,который максимизирует показатель эффективности αi: ![]() Итак, первое из неравенств (1) доказано. Докажем второе неравенство ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() имеем: ![]() Соотношение (2) означает, что в любой ситуации в смешанных стратегиях (Р, Q)выигрыш H(P, Q)игрока A не меньше показателя эффективности α(P)его стратегии Р и не больше показателя неэффективности стратегии Qпротивника В. Так как (2) справедливо для любых Р ![]() ![]() ![]() Докажем последнее (правое) из неравенств (1). В силу определения ![]() верхней цены игры в смешанных стратегиях ![]() В частности, это неравенство справедливо и для чистых стратегий Q = Bj,j = 1, ..., п ,игрока В ![]() и, следовательно, неравенство остается в силе и для того номера j,который минимизирует показатель неэффективности β(Bj) стратегии Вj, т.е. ![]() Итак, (1) доказано.
Каждая конечная игра имеет, по крайней мере, одно решение, возможно, в области смешанных стратегий. Применение оптимальной стратегии позволяет получить выигрыш, равный цене игры: ![]() Применение первым игроком оптимальной стратегии ![]() ![]() Аналогично для второго игрока оптимальная стратегия ![]() ![]() Если платежная матрица не содержит седловой точки, то задача определения смешанной стратегии тем сложнее, чем больше размерность матрицы. Поэтому матрицы большой размерности целесообразно упростить, уменьшив их размерность путем вычеркивания дублирующих (одинаковых) и не доминирующих стратегий. Если ![]() ![]() ![]() |