Электротехника Лекции. Закон Кулона напряженность электрического поля
 Скачать 39.64 Mb.
|
|
Контрольные вопросы
Г л а в а 5 ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
В современной практике чаще используются переменные токи, т.к. в сравнении с постоянными токами они обладают рядом существенных преимуществ:
Переменными называют токи (напряжение, эдс), меняющийся во времени. Эти величины с течением времени могут изменяться только по величине (рис.61 а) а б Рис.61 или по направлению (рис. 61б), а также и по величине, и по направлению по различным Рис.62 законам (рис.62 а,б). В практике среди переменных токов наибольшее распространение получили синусоидальные токи благодаря следующим преимуществам:
Синусоидальным переменным током (напряжением, эдс) называется такой периодический ток, который изменяет свое направление и величину по закону синуса или косинуса. Аналитически зависимость тока от времени можно представить выражением: (5-1) где - мгновенное значение тока, – максимальное или амплитудное значение тока; аргумент функции (����+��) называется фазой, отсчитываемой от точки перехода тока через нуль к положительному значению; α – начальная фаза – значение фазы синусоидального тока в начальный момент времени. Так как синусоидальной функцией можно описать вращательное движение, то под угловой частотой ω понимают скорость изменения переменной величины, где путь , пройденный этой переменной, выражен в радианах. Откуда следует, что (5-2) При Тогда = , где - период, а ʋ = 1/T –частота колебаний. Период измеряется в секундах (с), а частота в герцах (Гц). Графическое изображение синусоидальных величин. Графически синусоидально изменяющиеся функции изображаются синусоидами (рис.63 а) или вращающимися векторами (рис. 63б). В первом случае (временная диаграмма) ординаты синусоиды представляют Рис.63 собой мгновенные значения функции, а абсциссы – промежутки времени или фазы. Синусоида наглядно отражает изменения переменной величины во времени. Во втором случае (векторная диаграмма) длина вращающегося вектора отражает амплитуду, а угол, образованный этом вектором и осью абсцисс – фазу переменной. Проекции вращающегося вектора на ось ординат определяют мгновенные значения переменной. При анализе цепей переменного тока, в большинстве случаев, нужно определять действующие значения токов (напряжений, эдс) и сдвиги фаз между ними. Для этой цели достаточно построения векторных диаграмм токов и напряжений соответствующих цепей. Такие диаграммы строятся для неподвижных векторов, т.е. векторы напряжений и токов цепи рассматриваются в положении, которое они занимают в определенный момент времени. Совокупность векторов, изображающих синусоидальные величины одинаковой частоты, называют векторной диаграммой. Так как на векторной диаграмме представляют переменные величины одной частоты, то вращение векторов происходит с одной и той же угловой скоростью, а, следовательно, взаимное расположение их во времени остается неизменным. Это дает возможность наглядно видеть взаимное расположение синусоидальных величин в пространстве. Построение векторных диаграмм существенно упрощает анализ цепей переменного тока. В большинстве случаев диаграммы используют лишь для того, чтобы, руководствуясь показываемыми ими соотношениями, составить уравнения Кирхгофа. В таких случаях нет необходимости строить диаграммы в точно определенных масштабах. На векторных диаграммах взаимное расположение векторов не зависит от выбранного момента времени и направления первого вектора.
На практике часто приходится складывать синусоидальные токи, напряжения, эдс и другие величины. Определим переменный ток i как сумму нескольких переменных токов и сначала аналитически, а затем используя векторный метод. Рис.64 Схема узла электрической цепи Аналитический метод. Для аналитического сложения необходимо произвести алгебраическое сложение их мгновенных значений. Из закона Кирхгофа следует, что общий ток (5-3) Пусть и Упростим задачу и положим, что Тогда Обозначим . Тогда в окончательном виде : (5-4) Откуда видно, что в результате сложения двух синусоидальных токов результирующий (общий) ток имеет ту же частоту ω, амплитуду равную Im и начальную фазу α. Векторный метод. Для сложения двух синусоидальных величин, заданных векторами, необходимо произвести геометрическое суммирование этих векторов, пользуясь правилом параллелограмма, т.е. Рис. 65 Из рис. 65 следует, что при сложении двух векторов, вращающихся с одинаковой частотой ω, результирующий вектор вращается с той же частотой. Для определения результирующей амплитуды при векторном сложении двух синусоидальных величин, сдвинутых по фазе, необходимо воспользоваться теоремой косинусов. Тогда ( 5-5) где α2 – α1 = φ –сдвиг фаз между синусоидальными величинами. Начальную фазу результирующего вектора α определим из соотношения . (5-6) Для случая из уравнения (5-5) следует: Откуда Далее определим начальную фазу результирующего вектора или . (5-7) Таким образом, используя графический метод мы получили тот же самый результат, что и в случае решения задачи аналитическим методом (см. ур. 5-4 ). Метод комплексных чисел. Комплексы амплитуды первого и второго токов в тригонометрической форме Ím1 = Im1 (cosα1 + γsinα1) и Ím2 = Im2 (cosα2 + γsinα2). (5-8) Комплекс результирующего тока Ím = Ím1 + Ím2 = Im1[(cosα1 + cosα2) + γ (sinα1 + sinα2)] . (5-9) Сумма косинусов cosα1 + cosα2 = 2 cos(α2 +α1)/2 ∙ cos(α2 – α1)/2. Сумма синусов sinα1 + sinα2 = 2 sin (α2 +α1)/2∙cos (α2 –α1)/2. Тогда Ím =2Im1∙ cos (α2 –α1)/2 [cos(α2 +α1)/2 +γ sin (α2 +α1)/2. Обозначим 2Im1∙ cos (α2 –α1)/2 =Im и α = (α2 + α1)/2. Получим Ím = Im (cosα + γsinα) = Imeγα. Откуда мгновенное значение результирующего тока i = i1 + i2 = Im sin(ωt + α). (5-10)
Часто для технических расчетов оказывается недостаточным знание мгновенного или амплитудного значения синусоидальной величины, поэтому дополнительно вводится понятие среднего значения. Средним значением переменного тока за некоторое время t называют такое значение постоянного тока, при котором за одинаковый промежуток времени через поперечное сечение проводника проходит одинаковое количество электричества. Т.е. среднее значение переменного тока Iср определяется через сопоставление с количеством заряда, прошедшего через проводник при протекании постоянного тока. Аналитически это можно представить так: Q = Iсрt = (5-11) Рис. 66 Из рис.66 следует, что среднее значение тока определяется из условия равенства площади, охватываемой постоянной ординатой и осью абсцисс, и площади под синусоидальной кривой за время t. Графически средний ток выражается высотой (Iср) прямоугольника с основанием равным t. Причем площадь этого прямоугольника равна площади ограниченной кривой тока и осью абсцисс за время t. Среднее значение синусоидальной величины за время равное периоду равно нулю: Iср T = = 1/T = 1/Tw = Im/Tw (-coswt/0T )= Im/Tw(-сos(2π/T)∙T + cos0) = 0. Это подтверждается суммированием площадей синусоиды. Т.е. среднее значение синусоидальной величины за период равно нулю. Поэтому среднее значение обычно рассчитывается за время равное половине периода. Тогда Iср T/2 = ; → Iср = 2/T = 2/T ∙Im/ω = 2Im/Tω cos/0T 2 = 2Im/Tω(1+1) = 2/π ∙Im. (5-12) Таким образом, Iср= 2/π ∙Im = 0/637 Im. (5-16)
При расчетах электрических цепей кроме мгновенного, амплитудного и среднего значений синусоидальной величины очень часто используется действующее значение, которое в дальнейшем будем обозначать заглавными буквами без индексов, т.е. I, U, E. Отметим, что большинство приборов, используемых для измерений в цепях переменного тока ( амперметры, вольтметры, ваттметры и т.д.) проградуированы в действующих значениях. Действующим значением синусоидального тока называют такое значение постоянного тока, при котором за одинаковый промежуток времени в резистивном элементе выделяется такое же количество теплоты, как и при переменном токе. Из определения следует Rdt, (5-17) где R- активное сопротивление элемента цепи, I- величина постоянного тока, равная действующему значению. Так как то I = dt = . (5-18) Понизим степень при функции синуса, т.е. sin2wt = ½(1-cos2wt). I = - 1/2). Т.к. интеграл (1/2)) любой синусоидальной функции, взятый в пределах целого числа периодов равен нулю, то I = = =Im/ = 0,707Im. (5-19) Аналогично можно записать U = Um/ = 0,707Um; (5-20) E = Em/ = 0,707Em. (5-21) Таким образом, действующее значение синусоидальной величины в раз меньше ее амплитудного значения. Контрольные вопросы
Г л а в а 6 ЭЛЕМЕНТЫ И ПАРАМЕТРЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА 1. ЦЕПЬ С АКТИВНЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ На рис. 67 в цепь переменного тока включен элемент, обладающий только активным сопротивлением r (лампа накаливания, угольный резистор, электронагревательный прибор и т.д.). Пусть подаваемое в схему напряжение синусоидально и изменяется по закону u =Um sinwt. Схема идеализированная, следовательно, L = C = 0. Рис. 67 Однофазная электрическая цепь с активным сопротивлением: а – схема, б, в - временная и векторная диаграммы. Ток в цепи. Согласно закона Ома, в цепи протекает переменный ток, мгновенное значение которого определяется выражением: (6-1) Обозначим Тогда (6-2) где – амплитудное значение тока, –циклическая частота. Из выражений для напряжения и тока видно, что эти величины синфазны и разность фаз между ними φ=0. Совпадение фаз тока и напряжения в цепи с активной нагрузкой означает совпадение во времени нулевых и амплитудных значений. Закон Ома в комплексном виде. Комплексы действующих значений тока и напряжения İ =I и Ù = U, соответственно. Комплекс сопротивления Ż = Ù/İ = U/I = - γ = U/I = R. (6-3) Комплексное сопротивление резистивного элемента является положительным действительным числом, численно равным активному сопротивлению. Уравнение мощности. Произведение мгновенного значения напряжения на мгновенное значение тока в любой момент времени равно мгновенному значению мощности: р = u i. (6-4) Так как u =Um sinwt; i =Im sinwt, то р = Im sinwt Um sinwt = Im Um sin2wt. (6-5) Понизим степень функции синуса, получим sin2wt = (1 -/2. P =UmIm (1 -/2 =UI (1 - = UI – UI . (6-6) Данное выражение показывает, что кривая мгновенной мощности колеблется с удвоенной частотой 2ω по сравнению с кривыми тока и напряжения. Рис. 68 Из рис. видно, что за один период изменения тока, мощность изменяется дважды, оставаясь положительной (график мощности выше оси абсцисс) как при i >0, так и при i <0. Максимальных значений мощность достигает в те моменты времени, когда максимальны напряжения и ток, а нулевое, когда напряжение и ток равны нулю. Положительные значения мощности свидетельствуют о том, что электрическая энергия забирается от источника энергии и преобразуется в тепловую. Причем скорость потребления энергии с течением времени не остается постоянной, а изменяется по закону р = UI (1 -. Средняя мощность. Средняя мощность за период времени Рср = Р = 1/T∙ = 1/T∙UI . (6-7) Так как интеграл то P = 1/T∙ (6-8) Cредняя мощность, выделяемая за время равное периоду в цепи с чисто активной нагрузкой называется активной мощностью, которая измеряется в ваттах (ВТ). Последнюю формулу можно представить и в таком виде: P = UI = I2R = U2/R. (6-9) 2. ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ С ИНДУКТИВНОСТЬЮ Рассмотрим идеальную катушку индуктивности, для которой Rk =C = 0 (Rk – активное сопротивление катушки, С – межвитковая емкость). L – индуктивность катушки. Пусть напряжение u = Um . По цепи протекает переменный ток. Так как ток в цепи изменяется, следовательно в катушке индуцируется эдс индукции eL = -L di/dt. Уравнение электрического Рис. 69 Цепь переменного тока с индуктивным элементом: а – схема, б.в – временная и векторная диаграммы. состояния имеет вид u + eL = I Rk = 0. (6-10) Откуда следует, что u = - eL = L di/dt. Из уравнения следует, что для любого момента времени (u) численно равна (eL) и эти величины находятся в противофазе. di = u/L dt = Um. (6-11) Проинтегрируем последнее выражение А – постоянная интегрирования, которая при отсутствии постоянной составляющей тока равна нулю. Заменим - = . Тогда мгновенное значение тока приобретает вид: i = Um/ωL sin(����− ��/2). Обозначим Um/ωL = Im. В окончательном виде выражение для тока в цепи с индуктивным элементом i = Im . (6-12) Из сравнения аналитических уравнений напряжения и тока следует, что в результате возникновения в цепи эдс индукции между этими характеристиками возникает фазовый сдвиг равный π/2 или напряжение опережает ток на угол π/2. Это означает, что с нарастанием напряжения от нуля до максимума ток падает по абсолютной величине от максимума до нуля и наоборот (рис. б). На векторной диаграмме (рис. в), если вектор тока располагается горизонтально, то вектор напряжения – с опережением по фазе на угол π/2. |