Федеральное агентство по образованию ассоциация кафедр физики технических вузов россии в. М. Анисимов, он. Третьякова Практический курс физики механика под редакцией проф
 Скачать 2.5 Mb.
|
В.М.Анисимов, ОН. Третьякова Практический курс физики МЕХАНИКА Под редакцией проф. Г.Г. Спирина Допущено Министерством образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебныхзаведений, обучающихся по техническим направлениями специальностям Москва 2008 1 Авторы с благодарностью примут замечания и пожелания читателей, направленные на улучшение содержания книги, по адресу 125871, Москва, Волоколамское шоссе, д, МАИ, кафедра физики, по электронному адресу tretiyakova_olga@mail.ru или по телефону 8-499- 158-86-98. 3 Траектория – это линия, которую описывает точка (тело) в процессе движения. Произвольное сложное движение твердого тела можно изучить, рассмотрев два основных типа движения – поступательное и вращение вокруг закрепленной оси. Поступательное движение – это такое движение, при котором любая прямая, соединяющая две точки тела, остается параллельной самой себе в процессе движения. Это означает, что все точки тела движутся одинаково. Поэтому для описания поступательного движения твердого тела достаточно рассмотрения кинематики и динамики точки. Вращение твердого тела вокруг закрепленной оси – это такое движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на оси вращения. Механическая система – это совокупность материальных точек и твердых тел. Поскольку твердое тело можно рассматривать как совокупность составляющих его точек, механическую систему называют также системой материальных точек. Число степеней свободы механической системы i - это число независимых переменных, которые необходимо ввести, чтобы задать ее положение в пространстве. Для материальной точки i = 3, для твердого тела в общем случае i = 6. 4 1.1. Основные понятия и законы В кинематике движение точки (тела) описывают без рассмотрения вызвавших это движение причин. Существуют три способа описания движения точки – векторный, координатный и естественный. Последний используется в том случае, когда траектория движения точки известна. Для описания движения первыми вторым способом часто используют прямоугольную декартову систему координат (рис. 1.1). 1 z 2 z 1 y 1 2 x 2 x Рис Положение точки в выбранной системе отсчета задают радиус- вектором, проведенным в данную точку изначала отсчета k z j y i x r r r r r + + = k j i r r r , , , где - единичные векторы (орты, задающие направления осей z y x Закон движения – это уравнение или система уравнений, позволяющее определить положение точки в любой момент времени. ( ) t r r r r В векторной форме он имеет вид При координатном способе закон движения – это система скалярных уравнений вида ( ) ( ) ( При движении вдоль заданной кривой на траектории выбирается начало отсчета, выбирается направление движения, принятое за положительное, и положение точки на кривой определяется дуговой координатой s , которая может быть как положительной, таки отрицательной. При естественном способе закон движения точки вдоль заданной траектории имеет вид ( Существуют три основные кинематические характеристики движения – перемещение, скорость и ускорение. Пусть за промежуток времени 1 2 t t t − = Δ точка переместилась из положения 1 в положение 2 (см. рис. 1.1). Обозначим ( ) 1 1 t r r r r = , ( ) 2 2 t r r r r = 5 k z j y i x t r t r r r r r r r r r r r r Δ + Δ + Δ = − = − = Δ 1 2 1 2 , где 1 2 1 2 1 Вектор средней скорости – это отношение вектора перемещения точки к промежутку времени, за который оно было совершено t r v Δ Δ = r r rr Δ vr . Направление совпадает с Скорость (мгновенная скорость – это векторная величина , равная производной перемещения повремени, где - проекции вектора скорости на оси координат. Вектор направлен по касательной к траектории. 2 2 2 z y x v v v v v + + = = Модуль вектора скорости Поскольку модуль элементарного перемещения равен соответствующей длине дуги траектории , dt ds v v = = r ds s Δ Путь – это скалярная величина , равная расстоянию, пройденному точкой вдоль траектории, 0 ≥ Δ s , ∫ = Δ 2 Средняя путевая скорость при неравномерном ( const v ≠ ) движении на данном участке s Δ - это скалярная величина, равная численному значению скорости такого равномерного движения , при котором на прохождение пути затрачивается тоже время t Δ , что и при заданном неравномерном движении t s v ср Δ Δ = v v ср r ≠ 2 В общем случае , т.к. Вектор среднего ускорения – это отношение приращения вектора скорости ( ) ( ) 1 2 t v t v v r r r − = Δ к промежутку времени, за который это изменение произошло t v a Δ Δ = r r ar vr Δ совпадает с направлением Направление Ускорение (мгновенное ускорение – векторная величина , равная производной от скорости повремени, где Модуль вектора ускорения τ r nr τ ar y ar 2 Рис 2 2 2 z y x a a a a a + + = = В частном случае плоского движения по криволинейной траектории в плоскости ХОУ можно ввести прямоугольную декартову сопутствующую систему координат, начало отсчета которой совпадает с движущейся точкой, а оси задаются единичными векторами нормали и касательной nr τ r (рис. 1.2). Тогда ускорение можно представить в виде τ τ τ τ r r r r r r r r dt v d n R v a n a a a a n n + = + = + = 2 , где R – радиус кривизны траектории в данной точке. Нормальное ускорение n ar характеризует изменение направления скорости, а тангенциальное касательное) τ ar характеризует изменение величины скорости. Модуль ускорения в данном случае равен 2 2 2 При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси основные кинематические характеристики движения – угловое перемещение, угловая скорость и угловое ускорение, которые вводятся аналогично соответствующим характеристикам поступательного движения. Положение твердого тела при вращении вокруг фиксированной оси определяется углом поворота или угловым перемещением. Бесконечно малому углу поворота ϕ r d ϕ d соответствует вектор Направление вращения и направление вектора связаны правилом правого винта (рис. Угловая скорость (мгновенная угловая скорость – это производная от угла поворота повремени Направление совпадает с направлением Угловое ускорение – это производная от угловой скорости повремени Направление совпадает с направлением . Если вращение происходит против часовой стрелки при увеличении угловой скорости ( εr ωr d vr 0 Рис r ) вектор углового ускорения направлен вверх, а приуменьшении вниз (см. рис. Связь между угловыми и линейными величинами, 7 характеризующими вращение твердого тела вокруг закрепленной оси или движение материальной точки по окружности радиуса R (см. рис. Длина дуги окружности [ ] , , R v r v ω = ω = r Скорость [ ] , , R a r a ε = ε = τ τ r Тангенциальное ускорение Нормальное ускорение , 2 2 R a n R a n n ω = ω − = r Равномерное вращение Равномерное движение вдоль ОХ 0 0 = = + = a const v vt x x 0 Равноускоренное движение Равноускоренное вращение const a at v v at t v x x = + = + + = 0 2 0 0 2 const t t t = ε ε + ω = ω ε + ω + ϕ = ϕ 0 2 0 0 2 8 1.2. Примеры решения задач Задача 1.1. Лодка, имеющая скорость , спускает парус в момент времени и продолжает двигаться так, что скорость лодки обратно пропорциональна времени t. Показать, что ускорение лодки а на этом участке движения пропорционально квадрату ее скорости. 0 v 0 t t t v v 0 Решение. В соответствии с условиями задачи (при этом начало отсчета t и одно и тоже. Тогда мгновенное значение ускорения 0 t 0 0 2 t v v a − = v t v t 0 0 = 2 0 0 0 0 t t v t t v dt d dt dv a − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = . Так как , то (при ). Задача 1.2. Кинематическое уравнение движения материальной точки по прямой (ось х) имеет вид 3 Ct Bt A x + + = , где 3 c мм м. Для момента времени c 2 определить 1) координату точки, 2) мгновенную скорость , 1 x 1 v 3) мгновенное ускорение . Решение. Координату точки, для которой известно кинематическое уравнение движения, найдем, подставив в уравнение движения вместо заданное значение времени : м 3 1 1 1 = + + = Ct Bt A x 2. Мгновенную скорость в произвольный момент времени найдем, продифференцировав координату повремени Тогда в заданный момент времени мгновенная скорость см 3 2 Знак минус указывает на то, что в момент времени c 2 точка движется в отрицательном направлении координатной оси. 3. Мгновенное ускорение в произвольный момент времени найдем, взяв вторую производную от координаты x повремени Мгновенное ускорение в заданный момент времени равно 2 см Знак минус указывает на то, что вектор направлен в сторону, противоположную координатной оси х, причем в условиях данной задачи это имеет место для любого момента времени. Задача 1.3. Две частицы (1 и 2) движутся со скоростями ирис) по двум взаимно перпендикулярным прямым к точке их пересечения О. В момент они находились на расстояниях и от точки О Через сколько времени расстояние между частицами станет минимальным Чему оно равно Решение. Начальное расстояние между частицами равно 2 2 2 1 0 l l l + = . Через промежуток времени частицы пройдут расстояние и , и расстояние между частицами станет равным t v 1 t v 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 2 2 Минимальным расстояние между частицами будет тогда, когда подкоренное выражение минимально. Обозначим ( ) ( 2 2 2 2 1 Исследуем функцию на экстремум ( ) , 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 = + − + − = + − + + − = t v v l t v v l t v t v l l t v t v l l dt d dt dz ( ) , 2 2 2 1 2 2 1 1 min 2 2 2 1 2 2 1 Тогда минимальное расстояние между частицами будет ( ) ( ) ( ) ( ) = + − − + + + − − + = = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + − = 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 min v v v v l v l v l v l v v v v l v l v l v l v v v l v l v l v v v l v l v l l ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + − = + − + − = 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 v v v v v l v l v v v l v l v v l v l v 2 l 1 vr 0 l 1 l ( Рис ( ) 2 2 2 1 1 2 2 Задача 1.4. Частица перемещается в пространстве так, что ее радиус-вектор изменяется по закону ( ) [ м 2 k t j i t r r r r Найти вектор средней скорости частицы соответствующий интервалу времени ( t , 2t ). Решение. По определению, вектор средней скорости перемещения t r v Δ Δ = r r t t t t = − = Δ 2 , , где ( ) ( ) ( ) ( ) [ мс м r r Тогда Задача 1.5. Две материальные точки одновременно начали движение по законам ( ) [ мм, Определить угол между ускорениями точек в момент после начала движения. Решение. По определению скорости найдем законы изменения скоростей материальных точек ( ) [ см см Дифференцируя полученные зависимости, также по определению получаем ускорения материальных точек в любой момент времени ( ) [ ] 2 1 c мм Обозначим - углы, которые составляют векторы ускорения с осью ОХ. Очевидно, что 2 1 , ϕ ϕ 2 1 , a a r r 2 2 6 12 tg , 3 3 2 2 6 tg 1 2 2 2 2 1 1 Угол между ускорениями 2 arctg 3 arctg 1 1 2 Задача 1.6. Радиус-вектор частицы меняется со временем t по закону ( ) [ м r b r , где - постоянный вектор, α - 11 vr ar положительная постоянная. Найти а) скорость и ускорение как функцию времени б) промежуток времени t Δ , по истечении которого частица вернется в исходную точку, а также путь s , который она пройдет при этом. ( ) [ см Решение. Вектор скорости вектор ускорения [ см те. движение равнозамедленное. Возвращение частицы к моменту времени в исходную точку означает ( ) ( ) [ ] c 1 ; 0 Для нахождения пройденного пути определим время остановки частицы ( ) [ ] c 2 1 ; 0 2 1 ; 0 α α = = − = ост ост t t v Смещение частицы к моменту остановки будет ( ) α α α α α 4 2 1 1 2 1 1 b b t bt r ост ост ост = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = − = Δr , а весь пройденный путь будет ( ) ( ) ( ) ( ) [ м 2 0 α b r t r t r r t r s ост ост ост = Δ = − Δ + − = r r r Задача 1.7. Материальная точка движется по закону . Определить вектор скорости, вектор ускорения и траекторию движения материальной точки. ( ) ( ) j t i t r r Решение. Находим компоненты радиус-вектора ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 2 / 10 cos 1 Определяем компоненты вектора скорости ( ) ( ) ( ) ( ) t t v t t v y x 10 sin 5 , 5 cos 5 β − = α = и вектора ускорения ( ) ( ) ( ) ( Для получения уравнения траектории исключим время t из системы уравнений и ( ) t x ( ) t y . Материальная точка движется по параболе 4 3 3 Задача 1.8. Частица движется в плоскости ХОУ со скоростью , где - орты осей Хи У j x i v r r r β + α = j i r r , β α , - постоянные. В начальный момент частица находилась в точке 0 = = y x . Найти 1) уравнение траектории частицы ух 2) радиус кривизны траектории в зависимости от х Решение. 1. Найдем уравнение движения частицы в декартовых координатах и исключим из них время j x i v r r r β + α = . По условию t , откуда 12 , 2 2 2 2 2 x v v v x v v y x y x β + α = + = ⎭ ⎬ ⎫ β = α = dt r d v r r По определению, , или в декартовых координатах ; dt dy v dt dx v y x = = ∫ ∫ + α = α = = 1 C t dt dt v x x Т.к. , Константу интегрирования найдем, используя начальные условия Следовательно, 1 C 0 0 0 0 0 1 1 = ⇒ + = ⇒ ⎭ ⎬ ⎫ = = C C x t t x α = ∫ ∫ ∫ + αβ = αβ = β = = 2 2 2 Так как , то Константу интегрирования найдем аналогично предыдущему 0 0 0 0 0 2 2 = ⇒ + = ⇒ ⎭ ⎬ ⎫ = = C C y t 2 2 1 t y αβ = Следовательно, Найдем уравнение траектории ух) 2 2 2 2 2 x x y x t α β = α αβ = α = ⇒ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ αβ = α = 2 Траектория частицы представляет собой параболу. График траектории изображен на рис. 1.5. 2. Чтобы определить радиус кривизны траектории Рис, надо воспользоваться выражением для нормального ускорения R v 2 = , откуда a n n a v R 2 = Нормальное ускорение можно найти из следующих соотношений n a dt dv a dt dv a a a a dt dv a a a a y y x x y x n = = + = = + = , , , , 2 2 2 2 τ τ βα = = = = α = dt dx dx dv a a const v y y x x , 0 , , то Так как Так как , то тангенциальное ускорение 2 2 2 2 x x dt dx dx dv a β + α β α = = τ , анормальное ускорение 13 2 2 2 2 2 2 x a a a n β + α β α = − = τ 2 3 2 2 2 Радиус кривизны . Отметим, что для определения нормального ускорения можно использовать формулу , где ϕ - угол между векторами ar n ar ϕ = и . v v x = ϕ cos 2 2 2 cos x β + α α = ϕ , те. Как следует из рис 2 2 Используя , получаем , что совпадает с ранее полученной формулой. Задача 1.9. Точка движется, замедляясь, по прямой с ускорением, модуль которого зависит от ее скорости v по закону v a α = , где α - положительная постоянная. В начальный момент скорость точки равна . Какой путь s 0 v она пройдет до остановки За какое время τ этот путь будет пройден ( Решение. Для решения задачи надо знать зависимости и Зависимость найдем, используя выражения ( ) t s ( Знак минус соответствует тому, что скорость точки убывает со временем ( 0 , 0 < > dv dt ). Приравнивая правые части, получим дифференциальное уравнение dt dv v − = α dt v dv α − = , разделяя переменные, имеем Проинтегрируем с учетом начальных условий ( ) 0 , 0 v v t = = ( ) 0 0 0 0 2 1 , 2 , 0 Возводя в квадрат, окончательно получим ( ) 0 0 2 2 4 1 v t v t t v + − = α α ( Зависимость пути от времени найдем с помощью формулы для модуля скорости dt ds v = , из которой следует ( ) t v t v t t s dt v t v t vdt s t t 0 2 0 3 2 0 0 0 2 2 0 2 12 , 4 Исходя из того, что при 0 = = v t τ , имеем 14 0 4 1 0 0 2 2 = + α − α v t v t , Рис откуда Пройденный путь будет равен α = 3 2 0 На рис изображен график зависимости ( ) t v , представляющий собой параболу. Искомый путь численно равен площади заштрихованной фигуры. Задача 1.10. При движении автомобиля его колесо радиуса движется по окружности радиуса Рис 2 ωr 1 ωr O O′ ωr vr r A B R α R в горизонтальной плоскости. При этом центр колеса точка А перемещается с постоянной скоростью v . Определить угловую скорость и угловое ускорение колеса, а также угол, который составляет вектор угловой скорости с вертикалью. Решение. Движение колеса (рис) представим как сумму вращательных движений с угловой скоростью вокруг горизонтальной оси АВ и с угловой скоростью 2 ωr 1 ωr вместе с осью АВ вокруг вертикальной оси O O Результирующий вектор угловой скорости 2 1 ω + ω = ω r r r 2 2 2 1 ω + ω = ω , а его модуль Рассмотрим движение в системе отсчета, связанной с автомобилем. Тогда колесо будет вращаться вокруг неподвижной оси АВ , а точки дороги, соприкасающиеся с колесом, будут иметь скорость . Так как скольжение колеса отсутствует, то его наружные точки будут иметь скорость v v − = ′ v′ , равную по модулю v . Тогда выражение для ω примет вид 2 2 2 Угол между вектором ω и вертикалью r r R arctg arctg 1 2 = ω ω = α εr есть скорость изменения угловой скорости Угловое ускорение ω r , при этом модуль вектора не меняется. 15 Конец вектора ωr описывает в горизонтальной плоскости окружность радиуса за время, равное периоду вращения колеса вокруг оси . Поэтому 1 T 2 ω rR v T 2 2 1 1 2 2 = ω ω = πω = ε O O Задача 1.11. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси так, что его угловая скорость ω зависит от угла поворота по закону , где и положительные постоянные. В момент времени 0 ϕ b ϕ − ω = ω b 0 0 ω 0 = ϕ = t угол поворота . Найти зависимость от времени : 1) угла поворота 2) угловой скорости. Решение. Угол поворота вращающегося твердого тела за время t ( ) ( ) ∫ ω = ϕ t dt t t 0 ( где - зависимость от времени угловой скорости. Для нахождения ( ) t ω ( ) ϕ ω воспользуемся зависимостью Продифференцируем ее повремени, oткуда получим дифференциальное уравнение вида. Решим его, разделив переменные Интегрируя обе части уравнения, найдем его решение в виде Обозначим bt C bt C C C − = ω − = − ω = ln ; ln ln , ln 1 . Откуда Постоянную интегрирования C найдем изначального условия. Так как при t = 0 ( ) bt e t − ω = ω 0 0 = ϕ , то, откуда 0 ω = ω ϕ = ω d dt dt d ϕ = ω , то Поскольку, по определению, , интегрируя это выражение получим ( ) ( ) ∫ ∫ − ω = ω = ϕ t bt t dt e dt t t 0 Окончательно, зависимость угла поворота от времени имеет вид ( ) ( ) bt e b t − − ω = ϕ 1 0 16 |