Лекции по газовой механике. Министерство образования и науки российской федерации башкирский государственный университет нил "гамметт" уфимского государственного
 Скачать 4.39 Mb.
|
|
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НИЛ "ГАММЕТТ" УФИМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО АВИАЦИОННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА С. В. Х АБИРОВ ЛЕКЦИИ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ГАЗОВОЙ ДИНАМИКЕ Уфа 2013 УДК 533.6 Лекции аналитические методы в газовой динамике: С.В.Хабиров; БГУ, Уфа, 2013. 224 с. Газовая динамика считается фундаментальной физико-математической дисциплиной. В ней гармонично сочетаются абстрактные математические по- строения, физические представления о реальном мире, различные методы аналитического и численного моделирования. Поэтому элементы этой теории встречаются в различных теоретических и прикладных курсах. Огромный, накопленный столетиями, материал не позволяет кратко изложить всевозможные аспекты газовой динамики. Книга предназначается студентам и аспирантам специальности прикладная математика и механика. В ней даются основные математические понятия, аналитические и численные методы решения газодинамических задач. Применен экономный стиль изложения материала с использованием симметрийного анализа дифференциальных уравнений. Получено множество точных решений и дана их физическая интерпретация. Издание осуществлено при финансовой поддержке РФФИ (проект 12-01- 06819-моб-г), гранта правительства РФ №11.G34.31.0042 по постановлению №220 и за счет внебюджетных средств БашГУ. Редакционная коллегия: д-р физ. - мат. наук Н.Х. Ибрагимов, д-р физ. - мат. наук В.А. Байков, д-р физ. - мат. наук Р.К. Газизов, к-т физ.- мат. наук В.В. Картак © Хабиров С.В. © БГУ, 2013 3 С ОДЕРЖАНИЕ Стр. Обозначения ........................................................................................... 4 Введение. Газовая динамика – фундаментальная дисциплина.............. 5 § 1. Интегральные законы сохранения и их инвариантность................ 7 § 2. Термодинамические закономерности............................................... 13 § 3. Дифференциальные уравнения......................................................... 21 § 4. Уравнения сильного разрыва и свойства ударных волн................. 26 § 5. Характеристики и слабые разрывы.................................................. 37 § 6. Основные краевые задачи................................................................. 43 § 7. Групповой анализ............................................................................. 51 § 8. Инвариантные подмодели ранга 3 и ранга 2...................................... 58 § 9. Частично инвариантные подмодели...................................................... 76 § 10. Дифференциально - инвариантные подмодели................................ 82 § 11. Приближенные группы и подмодели................................................ 87 § 12. Нестационарное одномерное движение.......................................... 92 § 13. Двумерные установившиеся течения............................................... 107 § 14. Одномерные движения газа с цилиндрическими волнами и закруткой.............................................................................................. 126 § 15. Течения со спиральными поверхностями уровня........................... 132 § 16. Инвариантные решения ранга один ...................................................... 139 § 17. Автономные подмодели ранга один ................................................... 162 § 18. Неавтономные подмодели ранга один ............................................... 182 § 19. Инвариантные решения подмодели сферически симметричных движений газа......................................................................................... 200 § 20. Вычислительные методы ................................................................ 208 Приложение. Оптимальная система подалгебр основной алгебры ............. 216 Список литературы............................................................................................ 224 4 О БОЗНАЧЕНИЯ R x n ( ) – пространство векторов x размерности n; u – модуль вектора u ; m m m i N i N 1 1 – сумма из N слагаемых; 0 0 ( ) t t x x t – начальное значение вектор - функции; u n – скалярное произведение векторов u и n ; u n – векторное произведение; S T – транспонированная матрица матрицы S; det S= S – определитель матрицы S; f f f – частная производная; u x – матрица Якоби из частных производных u x k i ; di v u tr u x – сумма элементов матрицы, стоящих на главной диагонали; r ot u i j k u v w i w v j w u k v u u x y z y z x z x y ; x grad – оператор градиента; 5 Введение. Газовая динамика – фундаментальная дисциплина. Газовая динамика есть физико-математическая дисциплина, зани- мающая место в списке основных фундаментальных знаний. С точки зрения физики она занимается изучением движения сплошных сред с сильно меняющимися термодинамическими параметрами: плотностью, давлением, энтропией, внутренней энергией, температурой. Сплошные среды могут быть как газообразные и жидкие, так и твердые при воздействии больших температур и давлений. В реальных условиях проявление сильного изменения термодинамических параметров сопро- вождается другими важными эффектами: вязкостью, теплопроводностью, химическими реакциями, фазовыми переходами, излучением и т.п. Такие диссипативные процессы имеют характерные времена протекания. Если ограничиться быстропротекающими процессами, в которых диссипация мало меняется, то изменение термодинамических параметров становится преобладающим. Такую газовую динамику называют классической наукой о движении газа, ее изучению посвящена эта книга. С точки зрения математики классическая газовая динамика является объектом приложения абстрактных теорем из алгебры, анализа, геометрии, нелинейных дифференциальных уравнений и других математических дисциплин. Кроме того, физические наблюдения за поведением газа приводят к новым математическим понятиям и новым задачам, решение которых развивает известные математические теории и способствует появлению новых аналитических и численных методов исследования нелинейных дифференциальных уравнений. Богатство теоретической газовой динамики заключено в большом количестве различных математических моделей и подмоделей, в разнообразии применяемых методов, в многочисленных точно решенных задачах, в разнообразии 6 примененных численных методов, во множестве открытых проблем, в ценности ее выводов для практических приложений. Как самостоятельная наука газовая динамика начала складываться в первой половине XIX века. С. Пуассон, Дж. Стокс, Р. Иршоу начали анализ нелинейных эффектов, возникающих при распространении волн давления. Б. Риман (Германия), Ж. Адамар (Франция) завершили теорию сильного разрыва. Эксперименты Сен-Венана, А. Гюгонио, Э. Жуге (Франция), Н.В. Маевского (Россия), Э. Маха (Австрия) заложили основы знаний о движении сильных и слабых разрывов. На рубеже веков В.А. Михельсон, Д. Чепмен, Э. Жуге заложили основы теории горения и детонации. В XX веке газовая динамика развивалась в основном как прикладная наука, возникают все новые и новые направления: теория обтекания, теория внутренних течений, метеорология, акустика, численные методы в газовой динамики. Большой вклад в газовую динамику внесли выдающиеся ученые, как математики, так и механики многих стран мира: Л. Прандтль, А. Буземан, Г. Гудерлей, К. Фридрихс (Германия), Я. Аккерет, А. Стодал (Швейцария), Л. Крокко (Италия), Дж. Тейлор (Англия), Т. Карман, С. Тзян (США), Н.Е. Жуковский, С.А. Чаплыгин, А.А. Фридман, Н.Е. Кочин, М.В. Келдыш, И.А. Кибель, Ф.И. Франкль, С.А. Христианович, М.А. Лаврентьев, Л.И. Седов, А.А. Дородницин (Россия), Х. А. Рахматулин, А.Ф. Сидоров, Л.В. Овсянников, Г.Г. Черный, Н.Н. Яненко и др. Перечисление большого числа известных ученых, работающих в области газовой динамики, дает представление о многообразии полученных результатов и о трудностях наибольшего охвата знаний в преподавании дисциплины. В основу книги положен универсальный способ изложения методов газовой динамики – способ, основанный на симметрийном (групповом) анализе дифференциальных уравнений. Уже при выводе уравнений 7 замечается их инвариантность относительно группы Галилея расширенной растяжением, с помощью которой классифицируются движения газа, разрабатываются методы решения, находятся точные решения. Конечно, пока не все теоретические методы объясняются в рамках симметрийного анализа, но такой подход дает экономию времени изложения, объема содержания, усилий преподавания основ газовой динамики. §1. Интегральные законы сохранения и их инвариантность. Общие физические представления таковы: всякий ограниченный объем газа состоит из конечного числа движущихся частиц i , i N 12 , , ... , с массами m i , векторами скоростей u i , импульсами m u i i , кинетическими энергиями 1 2 2 m u i i и внутренними энергиями i . В результате столкновений молекул меняются скорости, импульсы и энергии, что приводит к хаотическому движению молекул в объеме Способ описания движения всех молекул в отдельности с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений неприменим не только из-за очень большого их числа (в 1 см 3 воздуха при нормальных условиях содержится 2.7 10 19 молекул), но и потому, что невозможно указать точные начальные данные. Поэтому в газовой динамике используется осредненное описание движения. Для выделенного объема вводят понятия массы газа m m i i N 1 , импульса K m u i i i N 1 и полной энергии E m u i i i i N 1 2 2 1 . Если есть величина , то определяются ве- 8 личины: средняя плотность 1 m , средняя скорость 1 u m K , средняя внутренняя энергия 2 1 1 1 2 N i i i i m u u Упражнение 1. Показать, что масса, импульс и полная энергия газа в объеме выражаются через средние величины по формулам 2 1 2 , , m K u E u (1.1) В газовой динамике постулируется гипотеза сплошности: при стяги- вании объема в точку (в малый объем возле фиксированной точки) введенные средние величины имеют конечный предел и тем самым порождают распределение плотности, вектора скорости и внутренней энергии. Стянутый в точку объем называется частицей, которая со временем t занимает различные положения в пространстве R x 3 . Поэтому пространство событий газовой динамики есть R x t 4 , , основными величинами являются скорость u u x t , , плотность x t , , давление p p x t , , удельная внутренняя энергия , x t ( ). Эти величины задают движение газа. Положение частицы x x t x , 0 определяется ее скоростью и зависит от времени и начального положения dx dt u x t x x t t , , 0 0 (1.2) Упражнение 2. Записать векторное уравнение (1.2) и начальные ус- ловия в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат. Если векторное поле u x t , задано в некоторой области R 4 , непрерывно в и удовлетворяет условию Липшица по x , то область однократно покрыта семейством интегральных кривых уравнения (1.2). Эти 9 кривые называются мировыми линиями частиц в пространстве событий R x t 4 , . Проекция мировой линии в пространство R x 3 называется траекторией частиц. Каждая мировая линия определена начальным условием, как решение задачи (1.2) x x t x , 0 (1.3) Одна частица отличается от другой значением x 0 . Все функции можно выразить через переменные t, x 0 – это локальные лагранжевы переменные. Переменные t, x определяют положение частиц в момент времени t – это эйлеровы переменные. Связь между эйлеровыми и лагранжевыми переменными дается формулой (1.3). Скорость может быть определена в области большей, чем область занятая графиками (1.3), так как якобиан 0 / x x в некоторых точках может обратиться в ноль. В этих точках происходит схлопывание частиц. Существуют для заданного состояния газа глобальные лагранжевы координаты, которые различают частицы во всех точках области Упражнение 3. По мировым линиям (1.3) определить вектор скорости в эйлеровых переменных. Область t R 3 , состоящая при всех t из одних и тех же частиц, называется движущимся объемом. Вводятся физические характеристики движущегося объема: масса d t , импульс ud t , энергия 1 2 2 u d t В газовой динамике постулируется принцип отвердевания: измене- ние массы, импульса и энергии любого движущегося объема (t) для ка- 10 ждого t происходит так же, как для твердого тела, занимающего объем (t) и имеющего те же физические характеристики. Следовательно, справедливы законы движения твердого тела из теоретической механики: масса неизменна d dt d t 0 , импульс меняется за счет приложения всех сил, действующих на объем (t), d dt ud F t , энергия меняется за счет работы внешних сил и дополнительного притока энергии d dt u d W Q t 1 2 2 , где W – мощность, развиваемая суммой всех сил F ,Q – скорость притока дополнительной энергии. В книге рассматривается модель невязкого, нетеплопроводного газа, действующая в отсутствие внешних силовых полей и внешних источников энергии Q=0. Силами, действующими на объем, будут только поверхностные силы давления, направленные по нормали к поверхности (t), ограничивающей объем (t). Пусть n – единичный вектор внешней нормали, тогда F pnd W pn ud t t , Итак, справедливы интегральные законы движения газа 11 d dt d t 0, d dt ud pnd t t , (1.4) 2 1 2 t t d u d pu nd dt для любого движущегося объема (t) с гладкой границей (t), у которой есть непрерывная внешняя нормаль n . Упражнение 4. Показать, что закон изменения момента импульса d dt u x d p n x d t t является следствием первых двух законов (1.4) для непрерывных движений и сильных разрывов. Упражнение 5. Показать, что балансовый закон сохранения величин , u , 2 1 2 ( ) q в неподвижном объеме 0 задается равенством 0 0 0 0 , d u nd t 0 0 0 0 ( ( )) , ud pn u u n d t 0 0 2 2 1 1 0 0 2 2 ( ) ( ( )) u d p u u nd t Система (1.4) содержит пять скалярных уравнений и связывает шесть скалярных искомых величин (три компоненты скорости, плотность, дав- ление, внутреннюю энергию). Она не определена, поэтому требуется привлечение термодинамических закономерностей. 12 Уравнения (1.4) были выведены из законов движения твердого тела. В теоретической механике доказывается, что эти законы не зависят от выбора начала отсчета в R x t 4 , , от поворота системы координат на любой угол вокруг любой оси, от движения с постоянной скоростью начала отсчета. Перечисленные преобразования образуют группу Галилея: 1 x x a; 2 t t a 0 ; 3 x Ox u Ou OO O T , , , det ; 1 1 4 x x tb u u b , Здесь не указаны преобразования инвариантных (не меняющихся) пере- менных, O – оператор вращения, который может быть представлен как суперпозиция трех вращений вокруг трех взаимно перпендикулярных осей (например, декартовой системы координат) и, значит, зависит от трех параметров – углов вращения. Преобразования 1 4 не должны изменять уравнения (1.4). Проверяется, что равномерное растяжение в R x t 4 , : 5 t ct x cx , тоже не меняет уравнения (1.4). Это следует из соотношений dt cdt d c d d c d , , 3 2 Суперпозиция преобразований 1 –5 зависит от 11 параметров. Упражнение 5. Записать преобразования 1 –5 в декартовой системе координат, причем вращения вокруг каждой оси отдельно. Проверить, что уравнения (1.4) не меняются. Показать, что преобразования 1 –5 образуют группу G 11 Итак, с интегральными уравнениями движения газа (1.4) связана группа G 11 преобразований, допускаемых уравнениями. 13 |