Метод k-моделирования. МЕТОД К-моделирования. 3. каузальное моделирование популяций

• Название: 3. каузальное моделирование популяций
• Анкор: Метод k-моделирования
• Дата: 25.04.2022
• Размер: 2.74 Mb.
• Имя файла: МЕТОД К-моделирования.doc
• Тип: Документы; #496372
• страница: 1 из 12

3. КАУЗАЛЬНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОПУЛЯЦИЙ

О методах моделирования

В этой главе мы, наконец представим читателю регулярный метод составления дифференциальных уравнений для каузального моделирования больших и сложных популяций самой разнообразной природы. Это могут быть биологические популяции, социальные группы и весь социум, экономические и социальные системы, технологические системы и т.д. и т.п. Но прежде всего внесём ясность в наше понимание метода математического и компьютерного моделирования. Очевидным методом является подбор уравнений, не обязательно дифференциальных, но таких, что вычисленные параметры хорошо приближают наблюдаемые величины. Тут есть три пути.

1. Регрессионный анализ. Подгонку модели под имеющиеся данные легко сделать, если нам известен общий характер процесса. Метод поиска таких моделей хорошо разработан в математической статистике и известен как метод наименьших квадратов. Метод минимизирует суммарное квадратичное отклонение R² модельных результатов от наблюдаемых и используется при поиске уравнения регрессии – того полинома, к которому исследователь хочет свести (возвратить) наблюдаемый зашумлённый процесс. Исследователь задаёт степень уравнения регрессии для заданного массива статистических данных. Обычно это линейное или квадратичное уравнение, максимум – уравнение третьей степени. Чем выше степень, тем точнее приближение, однако при высокой степени уравнение регрессии начинает остро реагировать на случайные отклонения измерений от измеряемой величины. Искомый «закон процесса» при этом теряется в ошибках измерения. Всё это хорошо работает при малом числе независимых переменных, например, время или что-то ещё. Но представим себе десяток переменных, которые все зависят друг от друга. Тогда задача усложняется. Но не это главный недостаток метода.

Пусть мы справились со всеми математическими сложностями и получили искомые уравнения для всех переменных. Мы что-нибудь поняли в исследуемом процессе, в его причинно-следственной (каузальной) структуре? Вряд ли. Обнаруженные корреляции зачастую бывают ложными, т.е. только математическими и не более. А между тем каузальные связи нам часто известны заранее и эти знания можно использовать при моделировании.

2. Имитационное моделирование. Если элементов в системе немного и зависимости между переменными просты, мы можем просто описать поведение каждого элемента системы на специальном языке программирования. Совокупность таких описаний даст нам программу, имитирующую поведение системы. Этот путь широко используется, и для него давно разработаны специальные языки. Очень популярен язык GPSS, описание которого легко найти в Интернете.

Но что делать если в системе тысячи и даже миллионы элементов, как это бывает в популяциях и в социальных системах?

3. Дифференциальные уравнения. Исследователь составляет дифференциальные уравнения, которые описывают известные, как ему кажется, каузальные связи между переменными системы. Правда проблема составления диффуров сама по себе является сложной и требует тренировки и опыта, которым исследователь-предметник обычно не обладает. Поэтому математические модели даже в таких математизированных науках как биология и экономика составляют профессиональные математики. Но и они находятся в затруднении и разрабатывают специальные приёмы решения этой задачи. Проблема связи между математиком и предметником возникает здесь во всей своей сложности.

Но вот уравнения составлены. И что с ними делать? Исследуемые причинно-следственные связи так глубоко спрятались в математической символике, что найти их и обсудить со специалистом-предметником уже невозможно. Более того, в реальных моделях уравнения так сложны, что решаются не аналитически, а только численно. А это значит, что их надо перевести специальный дискретный вид, пригодный для решения на компьютере.

Общая картина может быть получена при качественном исследовании дифференциальных уравнений, чем занимался, например, А.Базыкин [1]. Целью качественной теории диффуров является получение фазовых и параметрических портретов исследуемой системы, которые дают общее представление о её поведении.

Пусть X = {x₁, x₂,…, x_n} – набор переменных, задающих состояние системы, K= {k₁, k₂,…, k_m} – набор параметров системы. При функционировании система пробегает некоторую траекторию в пространстве X переменных. Картина множества возможных траекторий называется фазовым портретом системы. Разумеется исследователю не рассмотреть все возможные траектории, но ему будет полезно увидеть те из них, к которым система стремится – аттракторы, точки бифуркаций, сепаратриссы – линии разделения режимов функционирования. Аналогично, в пространстве параметров K можно рассмотреть траектории перемещения элементов фазового портрета и их особые точки. Таким образом, для тех кто понимает, получается наглядная картина поведения системы.

Но всё это можно увидеть и представить наглядно только когда число переменных и параметров системы не более трёх. А что делать с системой у которой десятки переменных и параметров? Как построить и рассмотреть кривую в 10-мерном пространстве? Не лучше ли просто рассмотреть каждую динамическую функцию x_i(t) на всём протяжении времени моделирования?

Итак, все существующие методы моделирования не годятся для наших целей. Требуемый метод должен быть понятен и прост для освоения не математиком, а просто грамотным предметником. Никаких дифференциальных уравнений не надо писать. Они ведь всё равно получаются из описания каузальных связей, а значит, если это описание формализовать, должны получаться автоматически [3].

Когда-то молодой Питирим Сорокин мечтал построить социальную аналитику так же как была построена статистическая механика [6]. Эта программа представлена ниже как каузальное моделирование популяций.