А. И. Уколов Управление рисками страховой организации
 Скачать 2.83 Mb.
|
|
ABC . Таким образом, про- странство треугольника ABC представляет собой все возможные сочетания риска и доходности портфелей, состоящих из двух активов, в пределах корреляции их доходности от -1 до +1. Рис. 11. Варианты портфелей из двух активов, корреляция доходности которых изменяется от -1 до +1 (пунктирный треугольник не включает предельные значения корреляции) 106 В то же время, на практике подавляющая часть ак- тивов имеет корреляцию отличную от -1 и +1, и большинство активов имеют положительную корреля- цию. Если построить график для портфелей, состоя- щих из активов A и B при меньшей корреляции, чем +1, то он примет выпуклый вид, как показано на рис. 12 сплошной линией. Чем меньше корреляция (полагается стремле- ние к отрицательности) между доходностью акти- вов, тем более выпуклой будет график . На рис. 12 линия 2 представляет меньшую корреляцию доходно- сти активов A и B по сравнению с линией 1. Рис. 12. Варианты портфелей из двух активов с различной степенью корреляции доходности Как видно из рис. 12, чем меньше корреляция до- ходности активов, тем более они привлекательны для формирования портфеля, поскольку инвестор может получить тот же уровень ожидаемой доходности при меньшем риске. Так, портфель 2 Р на рис. 12 предлага- ет то же значение ожидаемой доходности 1 r , что и 1 P , однако его риск меньше и равен 2 , а первого порт- феля – 1 107 Рис. 13. Варианты портфелей из двух активов с корреляцией доходности меньше +1 Как показано на рис. 13, если активы имеют корре- ляцию меньше +1, инвестор может сформировать лю- бой портфель, который бы располагался на кривой ADB . Однако рациональный инвестор остановит свой выбор только на верхней части данной кривой, а именно, отрезке DB , поскольку на нем расположены портфели, которые приносят более высокий уровень ожидаемой доходности при той же величине риска по сравнению с портфелями на участке DA . Сравним для наглядности портфели 1 Р и 2 Р . Оба портфеля имеют риск равный 1 , но ожидаемая доходность портфеля 2 Р больше ожидаемой доходности портфеля 1 Р . Если инвестор формирует портфель из двух акти- вов, А и B , как показано на рис. 13, то в точке D он может получить для сочетания данных активов порт- фель с наименьшим уровнем риска. 108 Чтобы его сформировать, необходимо найти удельные веса в портфеле активов A и B . Это можно сделать, продифференцировав уравнение B A В А В В А А Р Cov , 2 2 2 2 2 2 по A и приравняв его к нулю при условии, что А В 1 0 2 2 2 2 2 1 2 1 2 , , 2 2 2 , 2 , 2 2 2 2 2 2 , 2 2 2 2 , 2 2 2 2 B A A B A B A B A A B A A B A A B A B A B A A B A A A B A A A B A B A B B A A Cov Cov Cov Cov Cov Cov Отсюда B A B A B A B A Cov Cov , 2 2 , 2 2 , B A B A B A A B Cov Cov , 2 2 , 2 2 Для того чтобы лучше представить идею и эффект диверсификации портфеля при различной корреляции доходностей входящих в него активов, мы рассмотрели риск портфеля, состоящего только из двух активов. Общие выводы, которые можно сделать по результатам вышесказанного, состоят в следующем: 1) если в портфель объединяются активы с корре- ляцией +1, то достигается только усреднение, а не уменьшение риска; 2) если в портфель объединяются активы с корре- ляцией меньше, чем +1, то его риск уменьшается. Уменьшение риска портфеля достигается при сохране- нии неизменного значения ожидаемой доходности; 3) чем меньше корреляция доходности активов, тем меньше риск портфеля; 109 4) если в портфель объединяются активы с корре- ляцией -1, то можно сформировать портфель без рис- ка; 5) при формировании портфеля необходимо стремиться объединить в него активы с наименьшей корреляцией. Основоположником современной теории портфеля является Г. Марковиц. Именно ему принадлежит идея для снижения риска портфеля объединять в него акти- вы с наименьшей корреляцией. Согласно Марковцу, чем меньше корреляция доходностей бумаг в портфе- ле, тем больше его степень диверсификации. Следует отметить, что диверсификация позволяет снизить риск портфеля для обычной конъюнктуры рынка. В услови- ях финансовых крахов сложившиеся корреляции между доходностями активов нарушаются, и динамика их до- ходностей будет такова, как если бы они имели корре- ляцию близкую к +1. Выше мы рассмотрели портфель, состоящий из двух активов, и сделали общие выводы относительно его формирования. Они верны и для портфеля, объе- диняющего большее количество активов. Рассмотрим, каким образом определяется риск портфеля, состоящего из нескольких активов. Он рас- считывается по формуле: n i n j j i j i P Cov 1 1 , 2 где: 2 P — риск портфеля; i – удельный вес го i актива в портфеле; j – удельный вес го j актива в портфеле; j i Cov , – ковариация доходности го i и го j акти- вов. 110 Для того, чтобы проиллюстрировать использова- ние данной формулы, рассчитаем риск портфеля, со- стоящего из трех активов. Пример Портфель состоит из трех бумаг – A, B и C; А = 0,2; В = 0,3; С = 0,5; % 30 А ; % 20 В ; % 10 С ; 8 , 3 , B A Cov ; 5 , 2 , C A Cov ; 8 , 3 , A B Cov ; 5 , 5 , C B Cov ; 5 , 2 , A C Cov ; 5 , 5 , B C Cov . Определить риск портфеля. Для наглядности сведем данные о дисперсии и ко- вариации бумаг в табл. 1. Таблица 1 Ковариационная матрица A B C A 30 30 8 , 3 5 , 2 B 8 , 3 20 20 5 , 5 C 5 , 2 5 , 5 10 10 Ковариационная матрица характеризуется тем, что ее диагональные члены являются дисперсиями случай- ных величин. В нашем случае это позиции AA, BB,CC. Остальные члены представляют собой ковариации до- ходностей активов. В исходной формуле стоит знак двойной суммы ΣΣ. Он означает, что, раскрывая формулу, мы должны вначале взять значение i = 1 и умножить на него все значения j от 1 до п. Затем повторить данную опера- цию, но уже для i = 2 и т. д. В итоге мы получим п сла- 111 гаемых. Расчеты по нашему примеру представлены в табл. 2. Решение Дисперсия портфеля равна: 606 , 99 10 10 5 , 0 5 , 0 5 , 5 3 , 0 5 , 0 5 , 2 2 , 0 5 , 0 5 , 5 5 , 0 3 , 0 20 20 3 , 0 3 , 0 8 , 3 2 , 0 3 , 0 5 , 2 5 , 0 2 , 0 8 , 3 3 , 0 2 , 0 30 30 2 , 0 2 , 0 2 P Стандартное отклонение портфеля составляет: % 98 , 9 606 , 99 P Таблица 2 Определение дисперсии и стандартного отклонения Активы Произведения AA 0,2×0,2×30×30 = 36 AB 0,2×0,3×3,8 = 0,228 AC 0,2×0,5×2,5 = 0,25 BA 0,3×0,2×3,8 =0,228 BB 0,3×0,3×20×20 = 36 BC 0,3×0,5×5,5 = 0,825 CA 0,5×0,2×2,5 = 0,25 CB 0,5×0,3×5,5 = 0,825 CC 0,5×0,5×10×10 = 25 606 , 99 2 P % 98 , 9 P Как уже отмечалось выше, для портфеля, состояще- го из двух активов с корреляцией доходности +1, риск представляет собой средневзвешенный риск входящих в него активов. Поэтому для такого случая не наблюда- ется уменьшение риска, а происходит только его ус- реднение. Данный принцип сохраняется и для портфе- ля, насчитывающего много активов с корреляцией 112 доходности +1. Если портфель состоит из активов с корреляцией равной нулю, то риск портфеля рассчи- тывается по формуле: 2 P = n i i i 1 2 2 и n i i i P 1 2 2 Когда бумаги имеют одинаковую дисперсию и удельный вес, представленные формулы принимают соответствующий вид: 2 2 2 n P и n P Как следует из представленных выше формул, риск портфеля убывает по мере увеличения количества вхо- дящих в него активов. Формулу n i n j j i j i P Cov 1 1 , 2 можно переписать в следующей форме: ij n i n i n j i j j i i i P Cov 1 1 , 1 2 2 2 2 2 Если в портфель включить бумаги в равном удель- ном весе, формула запишется как: ij n i n i n j i j i P Cov n n n 1 1 1 1 1 , 1 2 2 2 , где n 1 – удельный вес бумаги в портфеле. 113 При увеличении количества активов в портфеле значение первого слагаемого в формуле будет умень- шаться и при большом значении n оно приблизится к нулю. Поэтому для большого значения n последнюю формулу можно записать как: n i n j i j ij P Cov n n 1 , 1 2 1 1 Умножим и разделим правую часть формулы на значение 1 n : n i n j i j ij n i n j i j ij P n n Cov n n n n Cov n n 1 , 1 1 , 1 2 1 1 1 1 В формуле для большого значения n выражение n n 1 будет стремиться к единице, а выражение n i n j i j ij n n Cov 1 , 1 1 – к средней ковариации доходностей активов, входящих в портфель, так как в числителе данного выражения стоит сумма ковариаций, а в знаме- нателе – их число. Таким образом, при наличии в портфеле большого количества бумаг и при условии, что их удельные веса приблизительно одинаковы, риск портфеля по своей величине будет близок к значению средней ковариации доходностей входящих в него ак- тивов. Если объединить в портфель не два, а большее число активов, например, C D E A , , , корреляция до- ходности которых лежит в диапазоне от -1 до +1, то, в зависимости от их удельных весов, можно построить множество портфелей с различными параметрами рис- ка и доходности, которые расположены в рамках фигу- ры ABCDE, как показано на рис. 14. Такая картина объясняется тем, что на самом деле можно выбрать сколько угодно портфелей, состоящих из двух активов, 114 которые будут отличаться значениями доходностей и рисков входящих в них активов, в том числе и таких, как показано на рис. 14. Огибающая ABC учитывает степень корреляции входящих в портфель активов. Чем больше степень выпуклости этой огибающей, тем больше степень отрицательной корреляции между ак- тивами, а значит и выше степень диверсификации рис- ков, что в итоге приводит к уменьшению общего риска портфеля. Рис.14 . Эффективный набор портфелей Рациональный инвестор будет стремиться миними- зировать свой риск и увеличить доходность. Поэтому всем возможным портфелям, представленным на ри- сунке, вкладчик предпочтет только те, которые распо- ложены на отрезке BC , поскольку они являются доми- нирующими к портфелям, расположенным на AB и обладающим тем же уровнем риска, за счет более вы- сокой доходности. Набор портфелей на отрезке BC называют эффективным набором портфелей. Эффективный набор портфелей – это набор доминирующих портфелей. На- бор портфелей на участке BC называют еще эффектив- ной границей. Она открыта Г. Марковцем в 50-х гг. Чтобы 115 определить эффективную границу, необходимо на ос- нове уравнения: n i n j ij j i P Cov 1 1 рассчитать соответствующие удельные веса, входя- щих в портфель активов, при которых минимизируется значение стандартного отклонения для каждого данно- го уровня доходности при условии, что n i P i i r E r 1 , 1 1 n i i и n i i ,..., 2 , 1 0 Другими словами, с помощью компьютерной про- граммы необходимо для каждого значения ожидаемой доходности портфеля определить наименьший риск портфеля. Данный метод называется методам Марков- ца. Неудобство его состоит в том, что при определении эффективной границы для портфеля, включающего много активов, необходимо произвести большое коли- чество вычислений. Если портфель состоит из n акти- вов, то следует определить n ожидаемых доходностей и стандартных отклонений и 2 1 n n ковариаций. В результате для определения эффективной грани- цы следует рассчитать 2 3 n n отдельных показателей ожидаемой доходности, дисперсий и ковариаций. Так, если определяется эффективная граница для портфеля из 5 активов – необходимо получить 20 исходных дан- ных, для 10 активов – уже 65, для 20 активов – 230, а для 30 активов – 495 данных и т. д. Таким образом, боль- шое количество вычислений делает модель Марковца не очень удобной для решения задачи определения 116 эффективной границы. Эта проблема в более простой форме решена в модели У. Шарпа. Нерыночный, специфический или диверсифицируе- мый риск связан с индивидуальными чертами конкрет- ного актива, а не с состоянием рынка в целом. Данный риск является диверсифицируемым, поскольку его можно свести практически к нулю с помощью дивер- сификации портфеля. Как показали исследования за- падных ученых, портфель, состоящий из 20 активов, способен был фактически полностью исключить не- рыночный риск (см. рис. 15). Рис. 15. Эффект диверсификации Широко диверсифицированный портфель заклю- чает в себе практически только рыночный риск. Слабо диверсифицированный портфель обладает как рыноч- ным, так и нерыночным рисками. Таким образом, ин- вестор может снизить свой риск только до уровня рыночного, если сформирует широко диверсифици- рованный портфель. Приобретая актив, вкладчик рассчитывает получить компенсацию за риск, на который он идет. Однако 117 риск состоит из двух частей. Каким образом рынок оценивает компоненты риска с точки зрения ожидае- мой доходности? Как было сказано выше, инвестор способен практи- чески полностью исключить специфический риск за счет формирования широко диверсифицированного портфеля. Характеризуя механизм диверсификации в целом, следует отметить, что он избирательно воздействует на снижение негативных последствий отдельных финан- совых рисков. Обеспечивая несомненный эффект в нейтрализации комплексных, портфельных финансо- вых рисков несистематической (специфической) груп- пы, он не дает эффекта в нейтрализации подавляющей части систематических рисков – инфляционного, нало- гового и других. |