Теория игр. Искусство стратегического мышления в бизнесе и жизни. Барри Дж. НейлбаффАвинаш ДикситТеория игр. Искусство
 Скачать 3.58 Mb.
|
|
Теория и реальность Насколько близки показатели реальных игроков, выпол- няющих штрафной удар, и вратарей нашим теоретическим расчетам соответствующих оптимальных смешанных стра- тегий? Обратите внимание на таблицу, составленную по дан- ным, которые получил Игнасио Паласиос Уэрта, а также по данным наших расчетов 143 143 Некоторые числа немного отличаются от чисел Игнасио Паласиоса Уэрты, поскольку он использует данные с точностью до двух десятичных знаков, а мы решили округлить их для большей наглядности. Неплохо, не правда ли? Во всех случаях фактический процент стратегии «слева» в смешанной стратегии достаточ- но близок к оптимальному. Фактические смешанные страте- гии обеспечивают почти одинаковый процент положитель- ных результатов при любом выборе другого игрока, а значит, делают первого игрока неуязвимым к попыткам эксплуата- ции, предпринимаемым другим игроком. Аналогичные доказательства совпадения фактических результатов игры и теоретических прогнозов были получе- ны в процессе анализа профессиональных теннисных матчей высшего уровня 144 . В этом нет ничего удивительного. Одни и те же люди регулярно играют друг против друга и изуча- ют методы соперника, поэтому любая более или менее оче- видная схема будет замечена и использована противником с выгодой для себя. Ставки же в таких матчах очень высоки в плане денег, достижений и славы; следовательно, игроки весьма заинтересованы в том, чтобы не совершать ошибок. 144 Mark Walker and John Wooders, “Minimax Play at Wimbledon,” American Economic Review 91, no. 5 (December 2001): 1521–1538. Тем не менее теория игр не всегда обеспечивает благо- приятный исход. Далее в этой главе мы проанализируем, на- сколько эффективен или неэффективен метод смешивания стратегий в других играх и почему. Но сначала давайте крат- ко сформулируем то, о чем шла речь, в виде очередного пра- вила: ПРАВИЛО № 5: в игре с чистым конфликтом (игре с нулевой суммой), если вам невыгодно заранее раскрывать сопернику свой фактический выбор, следует случайным образом выбрать одну из имеющихся у вас чистых стратегий. Смешивать стратегии нужно в такой пропорции, чтобы соперник не смог извлечь для себя выгоду из вашего выбора, придерживаясь любой из имеющихся в его распоряжении чистых стратегий. Иными словами, вы получаете один и тот же средний выигрыш, если ваша смешанная стратегия противопоставлена каждой из чистых стратегий соперника 145 . Если один игрок придерживается этого правила, другой не сможет добиться большего выигрыша, применив одну из своих чистых стратегий. Следовательно, для него не име- 145 Одно предостережение: другой игрок может использовать в своей смешанной стратегии только часть имеющихся у него стратегий, поскольку другие стратегии обеспечат ему относительно низкий выигрыш (или дадут вам возможность получить особенно большой выигрыш). Равновесное решение покажет вам, какие стратегии задействованы в смешанной стратегии соперника. См.: Avinash Dixit and Susan Skeath. Games of Strategy. P. 210–212. ет большого значения, какую именно стратегию выбрать, и единственное, что ему остается сделать, – это использовать смешанную стратегию, предписанную ему тем же правилом. Когда этого правила придерживаются оба игрока, ни один из них не сможет добиться большего выигрыша, отклонившись от данной линии поведения. Это полностью соответствует определению равновесия Нэша, представленному в главе 4 Иными словами, в ситуации, когда оба игрока следуют этому правилу, мы имеем равновесие Нэша в смешанных страте- гиях. Следовательно, теорему о минимаксе Неймана – Мор- генштерна можно рассматривать как частный случай более общей теории Нэша. Теорема о минимаксе применима толь- ко к играм с нулевой суммой, рассчитанным на двух игро- ков, тогда как концепцию равновесия Нэша допускается ис- пользовать в играх с любым числом игроков и любым соче- танием конфликта и общности интересов. В играх с нулевой суммой равновесие возможно и при от- сутствии смешанных стратегий. Вот простой пример: пред- положим, у игрока, выполняющего пенальти, очень низкий процент успешных ударов слева от вратаря (это не его есте- ственная сторона), даже когда вратарь неправильно угады- вает его действия. Это может быть связано с высокой веро- ятностью того, что бьющий игрок в любом случае промах- нется, если будет бить внешней стороной ступни. Предполо- жим, таблица выигрышей в этом случае выглядит так: В данном случае стратегия «справа» доминирующая для бьющего игрока и у него нет причин смешивать стратегии. В более общем случае равновесие возможно даже при наличии чистых стратегий, среди которых нет доминирующих. Но и здесь нет причин для беспокойства: методы поиска равно- весия в смешанной стратегии также позволяют обнаружить равновесие в случае чистой стратегии как частный случай смешивания стратегий, в котором доля одной из них состав- ляет 100 процентов. Детская забава 23 октября 2005 года Эндрю Бергель из Торонто полу- чил титул чемпиона мира в игре «камень, ножницы, бума- га» (КНБ), а также золотую медаль Всемирной ассоциации игроков в КНБ. Стэн Лонг из Ньюарка выиграл серебряную медаль, а Стюарт Уолдман из Нью-Йорка – бронзовую. Всемирная ассоциация игроков в КНБ поддерживает сайт www.worldrps.com , на котором публикуются правила игры и различные рекомендации по поводу стратегии. Кроме то- го, ассоциация проводит ежегодный чемпионат мира по игре КНБ. Знали ли вы о том, что игра, в которую вы играли в детстве, вышла на такой серьезный уровень? Правила игры в КНБ сейчас те же, что были в вашем дет- стве; они описаны в главе 1 . Два игрока одновременно выби- рают (на жаргоне этой игры «выбрасывают») один из знаков рукой: кулак символизирует камень, расположенная гори- зонтально ладонь – бумагу, а указательный и средний паль- цы, расставленные под углом и указывающие на соперника, – ножницы. Если оба игрока показали один знак, засчитыва- ется ничья. Если игроки выбирают разные знаки, камень по- беждает (ломает) ножницы, ножницы побеждают (режут) бу- магу, а бумага побеждает (обертывает) камень. Каждая пара игроков проводит несколько раундов игры подряд, а участ- ник соревнований, победивший в максимальном числе ра- ундов, становится победителем матча. Тщательно продуманные правила, опубликованные на сайте Всемирной ассоциации игроков в КНБ, регламенти- руют два важных момента соревнований по этой игре. Во- первых, точно описаны жесты, которые символизируют ка- мень, ножницы и бумагу в момент выброса. Это предотвра- щает любые попытки мошенничества, когда один игрок де- лает жест, допускающий двоякое толкование, а затем заяв- ляет, что его знак побеждает знак соперника. Во-вторых, в этих правилах описана последовательность действий, кото- рые обозначаются как «исходная позиция, готовность, вы- брос», для того чтобы обеспечить одновременность ходов двух игроков. При таком подходе один игрок не может зара- нее увидеть, что сделал другой, и выбрать в ответ тот знак, который обеспечил бы ему победу. Таким образом, мы имеем игру с параллельными ходами с участием двух игроков, у каждого из которых есть три чи- стые стратегии. Предположим, за победу засчитывается 1 оч- ко, за поражение – 1, за ничью – 0; игроков назовем Эндрю и Стэн в честь победителей на чемпионате мира в 2005 году. Таблица этой игры выглядит так: Что порекомендовала бы в этом случае теория игр? Это игра с нулевой суммой, поэтому раскрывать свой ход зара- нее невыгодно. Если Эндрю делает только один чистый ход, Стэн сможет ответить выигрышным ходом и сократить вы- игрыш Эндрю до –1. Если Эндрю смешает три хода в равных пропорциях, по 1 / 3 на каждый ход, это обеспечит ему сред- ний выигрыш 1 / 3 × 1 + 1 / 3 × 0 + 1 / 3 × (–1) = 0 против любой из чистых стратегий Стэна. Поскольку игра имеет симметрич- ную структуру, очевидно, что это лучшее, на что может рас- считывать Эндрю, и расчеты подтверждают эту интуитивную оценку. Та же аргументация верна и для Стэна. Следователь- но, смешивание всех трех стратегий в равной пропорции – оптимальное решение для обоих игроков, которое и пред- ставляет собой равновесие Нэша в смешанных стратегиях. Однако далеко не все участники чемпионата мира по иг- ре «камень, ножницы, бумага» придерживаются такого под- хода. На сайте ассоциации этот подход называют хаотичной игрой и не рекомендуют применять. «Критики этой страте- гии настаивают на том, что случайного выброса просто не существует. Люди неизменно подчиняются какому-либо им- пульсу или склонности при выборе знака, а значит, придер- живаются подсознательной, хотя и предсказуемой схемы иг- ры. “Школа хаоса” теряет свое влияние в последнее время, поскольку статистика проведения турниров свидетельствует о более высокой эффективности таких стратегий». Формирование «подсознательной, хотя и предсказуемой схемы игры» – это действительно серьезная, заслуживающая дальнейшего обсуждения проблема, и мы вернемся к ней немного позже. Но сначала посмотрим, каким стратегиям отдают предпочтение участники чемпионата мира по игре «камень, ножницы, бумага». На сайте перечислен ряд «гамбитов», в частности страте- гия с весьма удачным названием «бюрократ», которая сво- дится к трем последовательным выбросам знака «бумага», или стратегия «сэндвич с ножницами», которая состоит из ходов «бумага», «ножницы», «бумага». Достаточно часто ис- пользуется стратегия исключения, когда игрок пропускает один из знаков. Идея таких стратегий заключается в том, что соперники сфокусируют все свое внимание на изменении схемы или на появлении пропущенного знака, а вы постара- етесь воспользоваться этим слабым местом в их рассужде- ниях. Кроме того, у игроков могут быть хорошо развиты навыки обмана и обнаружения обмана со стороны соперника. Такие игроки наблюдают за движениями тела и рук друг друга в по- исках признаков того, какой именно знак те выбросят. С дру- гой стороны, они пытаются ввести соперника в заблуждение, делая движения, которые предполагают один знак, а вместо этого выбирают совсем другой. Вратари и футболисты, вы- полняющие штрафной удар, тоже наблюдают за движения- ми ног и тела друг друга, чтобы догадаться, в какую сторону будет двигаться соперник. Такие навыки имеют очень боль- шое значение. Например, во время серии послематчевых пе- нальти, которая решила исход матча в четвертьфинале чем- пионата мира по футболу 2006 года между сборными Ан- глии и Португалии, вратарь португальской команды каждый раз правильно угадывал направление удара и отбил три мя- ча, что обеспечило его команде победу. Смешивание стратегий в лаборатории В отличие от поразительной согласованности теоретиче- ских прогнозов и реальных результатов смешанных страте- гий на футбольном поле или на теннисном корте во время лабораторных экспериментов были получены разнородные или отрицательные выводы. В одной из первых книг, посвя- щенных экспериментальной экономике, в достаточно кате- горичной форме сказано: «Участники экспериментов редко (почти никогда) не используют подбрасывание монеты» 146 Каковы причины этого различия? Некоторые из этих причин совпадают с теми, о которых шла речь в главе 4, когда мы сравнивали два типа эмпири- ческих данных. В лабораторных условиях игры искусствен- но структурированы, а играют в них новички ради сравни- тельно небольшого выигрыша. С другой стороны, в реаль- ных условиях опытные игроки ведут знакомые им игры ради огромного выигрыша – славы, престижа, а во многих случа- ях и денег. На результатах экспериментов сказывается еще один ограничивающий фактор. Эксперименты всегда начинают- ся с объяснения правил игры; экспериментаторы делают все возможное, чтобы участники игры действительно их поня- ли. Однако в этих правилах в явной форме не упоминается о возможности рандомизации; не говорится что-либо в таком роде: «При желании вы можете подбросить монету или бро- сить кости для того, чтобы решить, что вы будете делать». В таком случае вряд ли стоит удивляться тому, что участники эксперимента, которым было указано строго придерживать- ся правил игры, не бросают монету. Еще со времени прове- 146 Douglas D. Davis and Charles A. Holt, Experimental Economics (Princeton, NJ: Princeton University Press, 1993): 99. дения знаменитого эксперимента Стэнли Милгрэма извест- но, что испытуемые воспринимают экспериментаторов как авторитетных лиц, которым необходимо подчиняться 147148 Поэтому нет ничего удивительного в том, что они строго придерживаются правил игры и даже не думают о случайном выборе стратегий. Однако факт остается фактом: даже в тех случаях, ко- гда структура лабораторных игр была аналогична структуре футбольных пенальти, где ценность смешивания стратегий не вызывала сомнений, участники этих игр даже с течени- ем времени не применяли рандомизацию надлежащим обра- зом 149 Таким образом, у нас есть противоречивые выводы от- носительно успеха и провала теории смешанных стратегий. Проанализируем некоторые из этих выводов глубже, для то- 147 Речь идет об известном эксперименте в социальной психологии, впервые описанном в 1963 году С. Милгрэмом, в ходе которого была показана неспособ- ность испытуемых открыто противостоять «начальнику» (в данном случае иссле- дователю, одетому в лабораторный халат). Прим. ред. 148 Stanley Milgram, Obedience to Authority: An Experimental View (New York: Harper and Row, 1974). 149 Информацию об этих экспериментах можно найти в статьях в следую- щих работах: Pierre-Andre Chiappori, Steven Levitt, Timothy Groseclose, “Testing Mixed-Strategy Equilibria When Players Are Heterogeneous: The Case of Penalty Kicks in Soccer,” American Economic Review 92, no. 4 (September 2002): 1138– 1151; Ignacio Palacios-Huerta, “Professionals Play Minimax,” Review of Economic Studies 70, no. 2 (April 2003): 395–415. К числу материалов, опубликованных в популярных СМИ, относится и статья Daniel Altman, “On the Spot from Soccer’s Penalty Area,” New York Times, June 18, 2006. го чтобы понять, что нам следует ожидать от тех игр, кото- рые мы наблюдаем, а также чтобы научиться играть более эффективно. Внесение элемента случайности Рандомизация – не простое чередование чистых страте- гий. Если питчеру говорят, чтобы он смешивал фастболы и форкболы в равных пропорциях, это не означает, что ему следует бросать фастбол, затем форкбол, затем снова фаст- бол и так далее по очереди 150 . Бэттеры сразу же заметят эту схему и используют ее в своих интересах. Точно так же, ес- ли соотношение фастболов и форкболов должно составлять 60:40, это не значит, что нужно бросать сначала шесть фаст- болов, а затем четыре форкбола. Что же должен делать питчер, для того чтобы случайным образом смешивать фастболы и форкболы в равных пропор- циях? Один из способов – выбрать число от 1 до 10; если выбранное число меньше 5, бросать фастбол, а если больше 6 – форкбол. Безусловно, это снимает только часть пробле- мы. Как обеспечить случайный выбор чисел от 1 до 10? 150 Фастболл (англ. fastball) – прямая подача, при которой упор делается на скорость полета мяча; самый распространенный тип подачи. Форкбол (англ. forkball) – подача, при которой мяч удерживается между пальцами руки так, буд- то он зажат между зубьями вилки; в момент броска мяча ему можно придать дополнительное вращение. Прим. пер. Начнем с более простой задачи – попытки записать слу- чайную последовательность выпавших сторон монеты. Если это действительно случайная последовательность, тогда лю- бой, кто попытается догадаться, что именно вы записываете, будет прав в среднем не более чем на 50 процентов. Одна- ко записать такую «случайную» последовательность труднее, чем можно себе представить. Психологи обнаружили интересный факт: люди склонны забывать о том, что, если выпадает орел, в следующий раз с равной вероятностью могут выпасть и орел, и решка. В ито- ге они слишком часто выбирают противоположный вариант, а в их догадках слишком мало последовательностей, состоя- щих из одних только орлов. Если при подбрасывании монеты тридцать раз подряд выпадает орел, в следующий раз с оди- наковой вероятностью могут выпасть и орел, и решка. По- нятия «теперь должна выпасть решка» просто не существу- ет. То же самое касается и лотереи: число, которое выпало на прошлой неделе, может выпасть снова с той же вероятно- стью, что и все остальные числа. Тот факт, что многие люди допускают ошибку, слишком часто чередуя возможные варианты, объясняет использова- ние такого множества стратагем и гамбитов участниками чемпионатов мира по КНБ. Игроки предпринимают попыт- ки извлечь для себя выгоду из этой слабости соперников, а на более высоком уровне пытаются использовать, в свою очередь, и сами попытки такого рода. Игрок, который три раза подряд выбрасывает знак «бумага», рассчитывает на то, что его соперник подумает: маловероятно, чтобы и в четвер- тый раз была «бумага». Игрок, который пропускает один из знаков и смешивает очередность выбрасывания оставшихся двух на протяжении ряда следующих друг за другом раундов игры, пытается воспользоваться тем, что соперник думает, будто недостающий знак вот-вот «должен быть» выброшен. Для того чтобы предотвратить такое «упорядочение хао- са», необходимы более объективные или независимые спо- собы. Один из них сводится к тому, чтобы придерживаться определенного твердого правила, но это правило необходи- мо держать в тайне и оно должно быть достаточно сложным, чтобы его трудно было обнаружить. Возьмем в качестве при- мера длину предложений в нашей книге. Если в предложе- нии нечетное число слов, присвоим ему имя «орел», а если четное – «решка». Это и есть достаточно эффективный гене- ратор случайных чисел. Если рядом с вами нет нашей книги, не беспокойтесь: мы можем предложить вам и другие спо- собы формирования последовательности случайных чисел. Возьмите несколько дат рождения ваших друзей и родствен- ников и загадывайте «орел» на четные даты, а «решку» – на нечетные. Или посмотрите на секундную стрелку своих ча- сов. Если ваши часы не выставлены с точностью до секун- ды, никто, кроме вас, не узнает, на какой отметке находится секундная стрелка. Мы рекомендуем питчеру, который дол- жен смешивать броски в пропорции 50:50, или кэтчеру, гото- вящемуся принять подачу, перед каждым броском смотреть на часы. Если секундная стрелка указывает на четное число, необходимо бросить фастбол, если на нечетное – форкбол. С помощью секундной стрелки обеспечивается случайный выбор бросков в любой пропорции. Для того чтобы бросать фастболы в 40 процентах случаев, а форкболы – в 60 процен- тах, необходимо выбирать фастбол, когда секундная стрелка попадает в диапазон от 1 до 24, и форкбол – от 25 до 60. Насколько успешно применяли метод рандомизации луч- шие профессиональные теннисисты и футболисты? Анализ данных о финальных матчах турниров «Большого шлема» позволил обнаружить интересную закономерность: тенниси- сты переключались с подачи справа на подачу слева чаще, чем это могло происходить случайно (если говорить на язы- ке статистики, наблюдалась отрицательная сериальная кор- реляция). Однако эта закономерность была, по всей видимо- сти, слишком слабой, чтобы соперники заметили и использо- вали ее в своих интересах, что подтверждает статистически несущественная разница между показателями эффективно- сти разных подач. Что касается штрафных ударов в футбо- ле, рандомизация была почти безупречной, а смена страте- гий (отрицательная сериальная корреляция) – статистически несущественной. Это вполне закономерно: между штрафны- ми ударами, которые выполняет один и тот же игрок, прохо- дит несколько недель, поэтому тенденция к смене стратегий менее заметна. Судя по всему, участники чемпионатов по игре «ка- мень, ножницы, бумага» придают слишком большое значе- ние стратегиям, подразумевающим сознательный отказ от рандомизации, и пытаются использовать с выгодой для се- бя попытки соперников распознавать закономерности в иг- ре. Насколько успешны эти попытки? Судить об этом мож- но, в частности, по стабильности успеха. Если некоторые иг- роки добиваются более весомых результатов, когда приме- няют нерандомизированные стратегии, они должны выигры- вать одно соревнование за другим, из года в год. Но у Все- мирной ассоциации игроков в КНБ «нет персонала, кото- рый фиксировал бы результаты всех участников чемпиона- тов, а этот вид спорта еще не получил достаточно широкого распространения, чтобы эту информацию отслеживал кто-то еще. В целом среди участников чемпионатов не так уж много игроков, которые добиваются статистически устойчивых ре- зультатов, хотя серебряный медалист чемпионата 2003 года снова вошел в финальную восьмерку в следующем году» 151 Все это говорит о том, что тщательно продуманные страте- гии не обеспечивают игрокам устойчивого преимущества. Почему бы не положиться на то, что другой игрок ис- пользует метод рандомизации стратегий? Если один участ- ник игры применяет оптимальное смешивание стратегий, то его показатель эффективности останется неизменным, что 151 Электронное письмо Грэма Уокера из Всемирной ассоциации игроков в КНБ за 1 июля 2006 года. бы ни сделал соперник. Предположим, в примере с пеналь- ти вы футболист, выполняющий штрафной удар, а вратарь использует оптимальное смешивание стратегий: «слева» – 41,7 процента, «справа» – 58,3 процента. В данной ситуации вы забьете гол в 79,6 случаев, какую бы стратегию ни выбра- ли: слева, справа или любое их сочетание. Когда вы пойме- те это, может появиться соблазн обойтись без расчета своего оптимального варианта смешивания стратегий, а вместо это- го просто придерживаться какой-то одной линии поведения и рассчитывать на то, что другой игрок использует свой оп- тимальный вариант. Проблема в том, что, если вы не приме- няете свою оптимальную смешанную стратегию, у вашего со- перника нет стимула продолжать использовать свой вариант смешивания стратегий. Например, если вы будете неизменно выбирать стратегию «слева», вратарь тоже начнет прикры- вать только свою левую сторону. В этом и состоит причина: вы должны применить свою оптимальную смешанную стра- тегию, для того чтобы заставить соперника и дальше исполь- зовать свой оптимальный вариант смешивания стратегий. |