учебное пособие для заочников 2 курс. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
 Скачать 3.16 Mb.
|
|
Ответ. 1.С вероятностью 0,9545 можно утверждать, что во всей партии доля проволок с разрывным усилием не меньшим 46 Н/мм2 заключена в границах от 0,23 до 0,39. 2.Для того, чтобы с доверительную вероятностью P=0,9545 гарантировать доверительные границы с предельной ошибкой 0,05, нужно образовать бесповоротную выборку из 185 проволок. Пример 6.6.4 Из числа отобранных по схеме собственно случайной бесповоротной выборки 500 зерен 20 зерен не взошли. Необходимо: 1.Определить с доверительной вероятностью 0,9545 границы процента всхожести во всей партии семян. 2.Найти доверительную вероятность, с которой можно гарантировать втрое меньшую предельную ошибку, чем найденную в п.1. 3.Найти такой объем выборки, что указанную в п.2 предельную ошибку гарантировать с вероятностью 0,99. Значение выборочной доли принять по данным предварительной выборки в 500 зерен. Решение. Исходя из условия задачи, находим выборочную долю взошедших семян: или 96%. 1.По величине P=0,9545 определяем по таблице приложений значение t=2. 2.Вычисляем по формуле (3-в) среднюю квадратическую ошибку выборки Расчет производим по формулам повторной выборки, так как число семян N во всей партии можно считать значительно превосходящим объем выборки n=500 зерен. 3.Вычисляем предельную ошибку повторной выборки: или Отсюда получаем доверительные границы: и . Ответ: С доверительной вероятностью P=0,9545 можно гарантировать следующие доверительные границы для процента всхожести семян во всей партии: от 94,25% до 97,75%. II.Дано n=500, =0,96, 1= Определить значение P. Решение: 1.Вычисляем среднюю квадратическую ошибку выборки (она была найдена в задаче I типа: ). 2.Определить аргумент t по формуле (6.6.2) 3.По таблице приложений находим Ответ. С вероятностью P=0,4971 можно гарантировать предельную ошибку выборки , или приблизительно 0,6%. III.Дано P=0,99, 1=0,00583 и =0,99. Определить n. Решение. 1.По значению P=Ф(t)=0,99 находим из таблицы t=2,577 (здесь используется интерполирование между значениями Ф(2,57)=0,9898 и Ф(2,58)=0,9901). 2.Вычисляем необходимый объем повторной выборки (округляем до целого числа). Ответ. Для того, чтобы гарантировать с вероятностью P=0,99 доверительные границы для процента всхожести семян 96%0,6%, необходимо объем выборки увеличить до 7502 зерен. Элементы проверки статических гипотез Оценка закона распределения по данным выборки предполагает последовательное решение трех проблем:1) выбор типа теоретического (генерального) распределения и определение его параметров по результатам выборки; 2) построение теоретического ряда по найденному закону распределения или решение отдельных задач; 3) оценка расхождения (согласия) между теоретическим и опытным рядами. Элементы корреляционного анализа Линейная корреляция Корреляционный анализ наряду с выборочным методом представляет собой важнейшее прикладное направление математической статистики. Предметом его исследования является связь (зависимость) между различными варьирующими признаками (переменными величинами), при которой каждому значению одной переменной соответствует не определенное значение другой (как это имеет место при функциональной зависимости), а ряд распределения с определенной групповой средней. Конечная цель корреляционного анализа –получение уравнений прямых регрессии, характеризующих форму зависимости и вычисление коэффициента корреляции, определяющего тесноту (силу) связи, если она линейная. Расчет производится в два основных этапа. На первом –обрабатывают табличные данные для нахождения величины и . При этом используется упрощенная схема вычисления (т.е. переход от и к условным переменным и ) и применяются расчетные формулы (6.6.5-6.6.8). Второй этап –вычисление основных параметров корреляционной зависимости (gy/x, gx/y, r) по формулам (6.6.9), (6.6.10) и оценка их достоверности. При выполнении контрольной работы необходимо руководствоваться следующим. Графическое изображение прямых регрессии (обе должны быть построены на одном чертеже) может служить для контроля правильности расчетов: они должны образовывать с осью ОХ либо только острые, либо только тупые углы в зависимости от знака (или r), опытные точки с координатами () и () должны располагаться по обе стороны соответствующих прямых регрессии; прямые регрессии должны пересекаться в центре распределения (). Чертеж следует выполнять четко и аккуратно, удачно выбирая масштабы по каждой оси (они могут быть разными) и начала отсчетов. Все расчеты следует вести с разумной степенью точности (как правило, сохраняя два знака после запятой в окончательных данных). Для этого в промежуточных вычислениях достаточно сохранить три знака после запятой (правило «Лишней цифры»). Основные формулы Упрощенный способ вычисления средних, дисперсий и величины . Групповые средние: , (6.6.5) где , а c, k, c`, k` -произвольные числа. Общие средние и дисперсии: ; (6.6.6) . (6.6.7) Ковариация . (6.6.8) Коэффициенты регрессий и корреляций ; (6.6.9) . (6.6.10) Уравнение прямых регрессий: и . (6.6.11) Построение теоретического закона распределения по опытным данным. Статистическая гипотеза. Понятие о критериях согласия. Критерий 2 Пирсона. Одной из важных задач математической статистики является установление теоретического закона распределения случайной величины, характеризующей изучаемый признак по эмпирическому распределению, представляющему вариационный ряд. Для решения этой задачи необходимо определить вид и параметры закона распределения. Предположение о виде закона распределения может быть выдвинуто, исходя из теоретических предпосылок (например, выполнение условий центральной предельной теоремы может свидетельствовать о возможности нормального закона распределения случайной величины), опыта аналогичных исследований и, наконец, на основании графического изображения эмпирического распределения. Параметры распределения, как правило, неизвестны, поэтому их заменяют «наилучшими» оценками по выборке. Как бы хорошо не был подобран теоретический закон распределения, между эмпирическим и теоретическим распределением неизбежны расхождения. Естественно возникает вопрос: объясняются ли эти расхождения только случайными причинами, связанными с ограниченным числом наблюдений, или они являются существенными и связаны с тем, что теоретический закон распределения подобран неудачно? Для ответа на поставленный и аналогичный вопросы в математической статистике разработаны методы проверки статических гипотез. Статической гипотезой называется любое предположение о виде или параметрах неизвестного закона распределения. Проверяемую гипотезу обычно называют нулевой и обозначают Н0. Например, гипотеза Н0 : случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами а=5, 2=2. Правило, по которому гипотеза Н0 отвергается или принимается (точнее не отвергается), называется статическим критерием. Статические критерии, служащие для проверки гипотез о виде закона распределения, называются критериями согласия. Вероятность допустить ошибку, а именно: отвергнуть гипотезу Н0, когда она верна, называется уровнем значимости критерия. Пусть необходимо проверить нулевую гипотезу Н0 о том, что исследуемая случайная величина Х подчиняется определенному закону распределения. Для проверки гипотезы Н0 выбирают некоторую случайную величину U, характеризующую степень расхождения теоретического и эмпирического распределений, закон распределения которой при достаточно больших n известен и практически не зависит от закона распределения случайной величины Х. Зная закон распределения U можно найти вероятность того, что U приняла значение не меньшее, чем фактически наблюдаемое в опыте u, т.е. Uu. Если вероятность P(Uu)= мала, то это означает в соответствии с принципом практической уверенности, что такие, как в опыте u, и большие отклонения практически невозможны. В этом случае гипотезу Н0 отвергают. Если же вероятность P(Uu)= не мала, т.е. расхождение между эмпирическим и теоретическим распределением не существенно, то гипотезу Н0 можно считать правдоподобной или, по крайней мере, не противоречащей опытным данным. В наиболее используемом на практике критерии 2 Пирсона в качестве меры расхождения U берется величина 2 («хи-квадрат»). (*) где –эмпирические (опытные) частоты случайной величины Х; -теоретические частоты, представляющие произведение числа наблюдений n на вероятность pi, рассчитанные по предполагаемому теоретическому распределению. Доказано, что выборочная характеристика или, как ее еще называют, статистика 2 (*) при n имеет 2 –распределение с степенями свободы, где m –число интервалов эмпирического распределения (вариационного ряда); s –число параметров теоретического распределения, определяемых по опытным данным (например, в случае нормального закона распределения число оцениваемых по выборке параметров s=2). Схема применения критерия 2 сводится к следующему: 1.Определяемая мера расхождения эмпирических и теоретических частот 2 по (*). 2.Для выбранного уровня значимости по таблице 2 –распределения находят критическое значение 2,, при числе степеней свободы . 3.Если фактически наблюдаемое значение 2 больше критического, т.е. 2 >2,, гипотеза Н0 отвергается, если 22,, гипотеза Н0 не противоречит опытным данным. В таблице 1 приводятся наиболее часто используемые на практике значения 2 –критерия Пирсона. Таблица 6.6.5.Некоторые значения 20,05; k критерия Пирсона
Замечание 6.6.1. Если в таблице 2 –распределения приводятся вероятности P(2 >2,), то гипотеза Н0 отвергается, если вероятность P(2 >2,) меньше выбранного уровня значимости и –принимается в противном случае. Замечание 6.6.2. Критерий 2 Пирсона дает удовлетворительные результаты, если в каждом группировочном интервале достаточное число наблюдений ni; если в каком-нибудь интервале число наблюдений меньше, например, 5, имеет смысл объединить соседние интервалы с тем, чтобы в объединенных интервалах ni , было меньше 5. Пи этом при вычислении числа степеней свободы к в качестве m берется соответственно уменьшенное число интервалов. Пример 6.6.5Получено следующее распределение 100 рабочих цеха по выработке в отчетном году (в процентах к предыдущему году): Таблица 6.6.6
На уровне значимости проверить гипотезу о нормальном распределении случайно величины Х – выработки рабочих – с помощью критерия Пирсона. Решение. Параметры теоретического нормального закона распределения а и , являющиеся соответственно математическим ожиданием и дисперсией случайно величины Х, неизвестны, поэтому заменяем их «наилучшими» оценками по выборке – несмещенными и состоятельными оценками соответственно выборочной средней х и «исправленной» выборочной дисперсии. Так как число наблюдений n = 100 достаточно велико, то вместо исправленной можно взять «обычную» выборочную дисперсию . По данному в условии распределению были вычислены Для расчета вероятностей р1 попадания случайно величины Х в интервале , где i = 1,2, ...,m, используем функцию Лапласа Ф(х) в соответствии со свойством нормального распределения: Например, и соответствующая первому теоретическая частота np1=100*0,49=4,9. Аналогично вычисляем частоты np1 в других интервалах (i = 1, 2, ..., m). Для определения статистики удобно составить таблицу: Таблица 6.6.7
Итак, фактически наблюдаемое значение статистики . Так как число интервалов m = 5, а нормальный закон распределения определяется параметрами (которые мы оценили по выборке), то число степеней свободы . Соответствующее критическое значение статистики по таблице 9, . Так как , то гипотеза о выбранном теоретическом нормальном законе распределения с параметрами а = 119,2 и = 87,96 согласуется с опытными данными. Изобразить эмпирические распределения можно, например, ступенчатой фигурой, состоящей из прямоугольников с основания ми, равными величинам интервалов Δхi = хi+1 - хi, и высотами, равными частностям (или частотам n1) этих интервалов, называемой гистограммой. При построении нормальной кривой для каждого интервала по оси ординат откладываем соответствующие вероятности рi (теоретические частоты npi). Выполнив чертеж, можно увидеть, что нормальная кривая теоретического распределения достаточно хорошо «выравнивает» гистограмму эмпирического распределения. Замечание 6.6.3 Если при проверке гипотезы используется таблица вероятностей , то необходимо найти вероятность Р для вычисленного значения при числе степеней свободы к = 2. Непосредственно такого значения в таблице нет. Но (при к = 2) для ближайших соседних значений , равных 1 и 2, вероятность Р соответственно равна 0,3679 и 0, 06065. Таким образом, и без интерполяции ясно, что вероятность Р больше заданного уровня значимости , т.е. P > 0,05, следовательно, в соответствии с замечанием 1, нулевая гипотеза Н0 согласуется с опытными данными. Замечание 2. Если в исходном распределении частоты некоторых интервалов меньше 5, то в соответствии с замечанием 2 их целесообразно объединить с соседними. Предположим, что в распределении рабочих в последнем интервале выработки 134 Х 144 (%) частота (количество рабочих) равняется не 5 (как в рассмотренном примере), а например, 2. В этом случае последний интервал объединяем с предыдущим, полагая при вычислении его частоту равной 24 + 2 = 26. В этом случае для решения вопроса о справедливости гипотезы Н0 вычисленное значение следовало сравнивать с критическим значением при числе степеней свободы k = m –s –1 = 4 – 2 – 1 = 1, уменьшенным на единицу за счет сокращения числа интервалов, т.е. . 7.Контрольные работы 7.1 Контрольная работа №5 Векторный анализ Задача 1. Найти векторные линии в векторном поле . 1.1. Задача 2. Найти поток векторного поля через часть плоскости Р, расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Dz).
Задача 3. Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность S (нормаль внешняя). Задача 4. Найти работу силы при перемещении вдоль отрезка MN от точки M к точке N. Числовые ряды 5.Доказать непосредственно ( по определению) сходимость следующих рядов и вычислить их суммы: 5.1. 1 – ½ + 1/4-1/8+…+(-1)n-1/2n-1+… 5.2. (1/2+1/3)+(1/22+1/32)+…(1/2n+1/3n)+… 5.3. ½+3/22+5/23+…+2n-1/2n+… 5.4. 1/1*2+1/2*3+…+1/n(n-1)+… 5.5. 1/1*4+1/4*7+…+1/(3n-2)*(3n+1)+… 5.6. 5.7. 5.8. 5.9. 5.10. 5.11. 5.12. 5.13. 5.14. 5.15. 5.16. 5.17. 5.18. 5.19. 5.20. 6. Исследовать на сходимость числовые ряды 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6. 6.7. 6.8. 6.9. 6.10. )n 6.11. 6.12. 6.13. 6.14. 6.15. )n 6.16. 6.17. n 6.18. 6.19. 6.20. 7.Исследуйте на сходимость следующие ряды: 7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 7.6. 7.7. 7.8. 7.9. 7.10. 7.11. 7.12. 7.13. 7.14. 7.15. 7.16. 7.17. 7.18. 7.19. 7.20. 8.Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующие знакочередующиеся ряды: 8.1. 8.2. 8.3. 8.4. 8.5. 8.6. 8.7. 8.8. 8.9. 8.10. 8.11. 8.12. 8.13. 8.14. 8.15. 8.16. 8.17. 8.18. 8.19. 8.20. 9.Определить область сходимости функционального ряда и исследовать на сходимость на границе области сходимости следующие функциональные ряды: 9.1. 9.2. 9.3. 9.4. 9.5. 9.6. 9.7. 9.8. 9.9. 9.10. 9.11. 9.12. 9.13. 9.14. 9.15. 9.16. 9.17. 9.18. 9.19. 9.20. 10. Найти радиус и интервал сходимости. Исследовать на сходимость на концах интервала: 10.1. ( 10.2. 10.3. 10.4. 10.5. 10.6. 10.7. 10.8. 10.9. 10.10. 10.11. 10.12. 10.13. 10.14. 10.15. 10.16. 10.17. 10.18. 10.19. 10.20. 11. Разложить следующие функции в ряд Маклорена. Найти их интервал сходимости: 11.1. y= 11.2. y= 11.3. y=x 11.4. y= 11.5. y=(x- 11.6. y=x 11.7. y= 11.8. y= 11.9. y= 11.10. y= 11.11. y= 11.12. y= (1+X) 11.13. y= 11.14. y= (1+ 11.15. y= 11.16. y= x 11.17. y= 11.18. y= 11.19. y= (3+ 11.20. y= ( 12. Вычислить интеграл с точностью до 0,001: 12.1. 12.2. 12.3. 12.4. 12.5. 12.6. 12.7. 12.8. 12.9. 12.10. 12.11. 12.12. 12.13. 12.14. 12.15. 12.16. ) 12.17. 12.18. 12.19. 12.20. 13. Разложить в ряд Фурье функции с периодом 2π: 13.1. ƒ(x)= π2-x2; x€ 13.2. ƒ(x)= x€ 13.3. ƒ(x)= x€ 13.4. ƒ(x)= -π 0 13.5. ƒ(x)= x€ 13.6. ƒ(x)= x€ 13.7. ƒ(x)= x€ 13.8. ƒ(x)=; x€ 13.9. ƒ(x)=x x€ 13.10. ƒ(x)=x x€ 13.11. ƒ(x)= x€ 13.12. ƒ(x)= -π 0 13.13. ƒ(x)= x€ 13.14. ƒ(x)= x€ 13.15. ƒ(x)= x€ 13.16. ƒ(x)= x€ 13.17. ƒ(x)= x€ 13.18. ƒ(x)= x- x€ 13.19. ƒ(x)= x€ 13.20. ƒ(x)= x€ Комплексные переменные Задача 14.Найти модуль и аргумент комплексного числа: Задача 15. Вычислить Задача 16. Найти все значения Дифференциальные уравнения 17.1 xy|+1 = ey 17.2 17.3 (1+x2) y||-2xy| = 0 17.4 xy|+1 = ey 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9. 17.10 17.11 y|-xy2 = 2xy 17.12 xy|+y = y2, y(1)=0,5 17.13 17.14 z| = 10x+z 17.15 17.16 17.17 2x2yy|+y2 = 2 17.18 y| ctgx+y = 2, y(0)=-1 17.19 y| sinx = y lny, y(/2)=1 17.20 x2y| - cos2y = 1 18 .1 18.2 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7 18.8 18.9 ydx – (x+y)dy = 0 18.10(y2-3x2)dx – 2xydy = 0 18.11 (x2+2xy-y2)dx+(y2+2xy-x2)dy = 0 18.12 18.13 (y2-2xy)dx+x2dy = 0 18.14 y2+x2y| = xyy| 18.15(x2+y2)y| = 2xy 18.16 xy|-y=x 18.17 18.18 18.19 18.20
b) y||+3y|-4y = e-4x+xe-x
b) y||+2y|-3y = x2ex
b) y||-4y|+8y = e2x+sin2x
b) y||-2y|+y = 6xex
b) y||-y = 4shx
b) y||+4y|+3y=chx
b) y||+2y|+2y = xe-x
b) y||+y| = 2cosx+ex
b) y||+y = 4sinx
b) y||-3y|+2y = x cosx 21.11. a) y||-2y|+y = 0 b) y||+y = 4xex 21.12. a) y|||-6y||+9y| = 0 b) y||+y|-2y = 3xex
b) y||-3y|+9y = x cosx
b) y||-2y|-3y = e4x
b) y||-y = 2ex-x2
b) y||-3y|+2y = sinx
b) y||-5y| = 3x2+sin5x
b) y||+y = x sinx
b) y||-9y = e3x cosx
b) y||+4y|+4y = xe2x | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||