учебное пособие для заочников 2 курс. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

• Название: Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
• Анкор: учебное пособие для заочников 2 курс.docx
• Дата: 14.05.2017
• Размер: 3.16 Mb.
• Имя файла: учебное пособие для заочников 2 курс.docx
• Тип: Программа дисциплины; #7562
• страница: 7 из 22

Свойства абсолютно сходящихся рядов

Абсолютно сходящиеся ряды обладают некоторыми специфическими свойствами, выделяющими их из остальных сходящихся рядов.

Рассмотрим теоремы, присущие только абсолютно сходящимся рядам.

Теорема 6.2.13. Абсолютно сходящиеся ряды обладают переместительным свойством.

Иными словами, если в абсолютно сходящемся ряде сделаем какую-нибудь перестановку членов, то получится ряд, который также абсолютно сходится и имеет ту же сумму, что и исходный ряд.

Теорема 6.2.14. Два абсолютно сходящихся ряда можно перемножать по правилу умножения конечных сумм. Полученный в результате умножения ряд абсолютно сходится и его сумма равна произведению сумм исходных рядов.

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

В предыдущих лекциях мы рассматривали числовые ряды.Но в математическом анализе играют большую роль и функциональные ряды (они тесно связаны с функциональными последовательностями).
Понятие функционального ряда и его области сходимости

Рассмотрим ряд, членами которого являются не определенные числа (как у числового ряда), а функции:

_(6.2.8)

Такой ряд называется функциональным рядом.

 Сходимость функционального ряда понимается следующим образом:

при каждом фиксированном значении х функции принимают числовые значения и поэтому при каждом фиксированном значении х ряд (1) обращается в числовой ряд.

Причем для одних значений х ряд может быть сходящимся, а для других - расходящимся.

Определение 6.2.5. Множество всех значений х, при которых ряд (6.2.8) сходится, называется областью сходимости функционального ряда (6.2.8).

Пример 6.2.25. Найти область сходимости ряда

 Концы: расходятся,

Ответ:

Обычно областью сходимости функционального ряда является некоторый интервал оси ОХ.

Функциональный ряд (6.2.8) называется абсолютно сходящимся в т. х₀, если в этой точке соответствующий числовой ряд сходится абсолютно.

Если ряд (6.2.8) сходится абсолютно в каждой точке данного множества, то он называется абсолютно сходящимся на этом множестве.

Мажорируемость функционального ряда

Определение 6.2.6. Функциональный ряд называется мажорируемым на данном множестве Д (на котором определены функции , где), если существует такой числовой сходящийся ряд с положительными членами, что члены ряда (хотя бы начиная с некоторого) при всех не превосходят по модулю соответствующих членов ряда , т. е.

(При этом ряд называется мажорирующим или мажорантным рядом для функционального ряда).

 Другое определение 6.2.7.Функциональный ряд (1) называется мажорируемым на данном множестве Д (на котором определены функции , где ), если существует такой сходящийся числовой ряд (2) с положительными членами, что для всех выполняются соотношения

,()
Равномерная сходимость функционального ряда
Среди сходящихся функциональных рядов выделяются своей важностью так называемые равномерно сходящиеся ряды.

Определение 6.2.8. Ряд (1) называется равномерно сходящимся на множестве Д, если для любого можно указать такое число , что при всех будет выполнятся неравенство: для всех (или).

- n-я частичная сумма ряда (1)

S(x)- сумма ряда (1)

Рассмотрим следующий признак, достаточный для равномерной сходимости функционального ряда.

Теорема (признак Вейерштрасса) 6.2.15.: Если функциональный ряд (1) мажорирует на данном множестве Д, то он: 1) равномерно и 2) абсолютно сходится на этом множестве.

Пример 6.2.26.Доказать, что ряд сходится равномерно на всей оси ОХ.

Т. к. для  имеем , то (). Ряд сходится. По признаку Вейерштрасса данный ряд сходится равномерно на всей оси.
Замечание 6.2.8.Признак Вейерштрасса дает только достаточное условие равномерной сходимости функционального ряда, оно не является необходимым.

Замечание 6.2.9. Равномерно сходящийся в некотором промежутке ряд не обязательно сходится там и абсолютно.


Степенные ряды
Одним из важных классов функциональных рядов являются степенные ряды.

Определение 6.2.9.Функциональные ряды, членами которых являются целые положительные степени независимой переменной х или двучлена (х-х₀), ( где х₀=const), умноженные на числовые коэффициенты:

1. 
   , или
   
2. 
   называются степенными рядами.
   

Члены степенных рядов являются: 1) непрерывными и 2) дифференцируемыми функциями на всей числовой оси.

Ряд (1) получается из ряда (2) при х₀=0.

Все последующие рассуждения будем проводить для ряда (1), поскольку ряд (2) приводится к ряду (1) с помощью замены переменной х-х₀=Х.

Замечание 6.2.10. Для удобства n-м членом степенного ряда называют член, несмотря на то, что он стоит на (n+1)-м месте. Свободный член ряда a₀ считают нулевым членом.

Логически могут представиться 3 возможности:

1)ряд (1) сходится на свей числовой оси;

2)ряд сходится только в т. х=0 (в т. х=0 сходится всякий степенной ряд (1),

сумма ряда = a₀)

3) ряд сходится не только в точке х=0, но и не на всей числовой оси.
Область сходимости степенного ряда
Прежде всего заметим, что любой степенной ряд (1) сходится в точке х=0 (сумма ряда = a₀).

1)В отдельных случаях этот ряд может не иметь других точек сходимости

2)С другой стороны, существуют степенные ряды, сходящиеся в (или,

как говорят, всюду)

1)В иных случаях степенной ряд может иметь областью сходимости некоторый

конечный промежуток.

Теорема Абеля 6.2.16. (замечательный норвежский математик, сделавший за свои 27 лет очень много для развития различных областей математики)

1)Если степенной ряд (1) сходится в некоторой точке х=х₀0, то он сходится, и притом абсолютно, и во всех точках х, для которых;

2)Если же этот ряд расходится в некоторой точке х₁, то он расходится и во всех точках х, для которых

С геометрической точки зрения в теореме Абеля утверждается:

1. 
   если ряд (1) сходится в т. х₀0, то он сходится абсолютно в интервале
   
2. 
   если ряд расходится в т. х₁, то он расходится при .
   

Теорема 6.2.17.Если ряд сходится не при всех значениях х, то число такое, что ряд абсолютно сходится при и расходится при .

Интервал называется интервалом сходимости степенного ряда.

Число R – радиусом сходимости степенного ряда ( см. Шипачев, стр. 237).

Из этого можно заключить, что если ряд (1) сходится более чем в одной точке, но не всюду, то существует такое действительное число R, что ряд (1) сходится (и при том абсолютно) в интервале , т. е. при , и расходится при (т. е. вне этого интервала).

Интервал называется интервалом сходимости степенного ряда (1).

Число R при этом называют радиусом сходимости этого ряда.

В целях большей общности степенным рядам, всюду сходящимся, а так же степенным рядам. Сходящимся только в точке х₀=0, тоже принято приписывать радиус и интервал сходимости:

в пером случае говорят, что радиус сходимости , а во втором – что R=0. Соотвественно в первом случае говорят, что интервал сходимости ряда есть , а во втором, что он состоит из одной точки (х=0).

При таких дополнительных соглашениях, мы можем сказать, что всякий степенной ряд имеет интервал сходимости, и )как легко сказать) только один.

Что же касается сходимости степенного ряжа на концах интервала , т. е. в точках х= R, то ответа в общем случае дать нельзя.

В каждой из этих точек различные степенные ряды могут вести себя по разному:

1. 
   может быть, что степенной ряд расходится в обеих точках х=R;
   
2. 
   может быть, что в обеих точках х=R степенной ряд сходится; интервал
   

сходимости обращается в замкнутый интервал – область сходимости;

3. 
   наконец, может быть, что степенной ряд сходится в одной из точек х=R и
   

расходится в другой; в этом случае сходимость в одной из точек неабсолютная (область сходимости здесь – интервал с присоединенным одним концом).

В каждом конкретном примере надо проводить отдельное исследование поведения степенного ряда на концах интервала сходимости.

Вывод. Таким образом, в общем случае необходимо различать: 1) интервал сходимости и 2) область сходимости степенного ряда.

Область сходимости ряда (1) представляет собой интервал (к которому присоединен один или оба его конца), симметричный относительно т. 0.
Нахождение интервала и радиуса сходимости ряда
Разыскание интервала сходимости (абсолютной) ряда (1) может быть проведено следующим образом:

Можно исследовать ряд, составленный из модулей членов данного ряда: (*)

К ряду (*), члены которого положительны, применим признак Даламбера.

Интервалы сходимости рядов (1) и (*) совпадают (за исключением, быть может, их концов).

Допустим, что мы сумеем найти

Этот предел будет содержать множитель , или некоторую степень

Для тех значений , при которых этот предел , ряд сходится.

Значение , при котором , и будет являться радиусом сходимости ряда.

Если найденный при любом равен нулю, то это означает, что ряд сходится всюду и .

Если же , то ряд расходится при всяком , поэтому R=0.

Таким образом, для нахождения интервала сходимости (и радиуса) можно использовать признак Даламбера для абсолютной сходимости.

Аналогичным образом можно использовать признак Коши.

Для разыскания области сходимости ряда дополняют нахождение интервала сходимости исследованием поведения ряда на концах этого интервала.
Рассмотрим несколько примеров
Пример 6.2.27. Найти область сходимости и радиус сходимости ряда

при х=1: - сходится по признаку Лейбница

при х=-1: =(все члены ряда отрицательны, поэтому можно записать)= =; сравним ряд с рядом :. Следовательно, при х=-1 ряд сходится.

Ответ: область сходимости ряда; R=1 (ряд в этом промежутке сходится абсолютно).

Пример 6.2.28. Найти интервал сходимости ряда - ряд расходится R=0; ряд сходится только в т. х=0

Пример 6.2.29.

Применим признак Коши для абсолютной сходимости: - ряд сходится для всех х. Отсюда R= и область сходимости ряда .

Для степенных рядов вида все сказанное выше остается в силе с той только разницей, что теперь центр интервала сходимости будет не в т. х=0, а в точке х=х₀.

Интервал сходимости: .

Д-но, заменим х-х₀=Х, получим ряд Пусть этот ряд сходится в интервале , т. е.  или
Пример 6.2.30. Определить радиус и область сходимости ряда , R=e;

при х=2-e: - этот ряд расходится, т. к. его члены не убывают ()

при х=2+e:

Воспользуемся признаком Даламбера (без предельного перехода), чтобы выяснить поведение этого ряда:

- ряд расходится.

Ответ:
Пусть функция бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки х=х₀.

Если функция является суммой степенного ряда в каком-либо промежутке, то говорят, что в этом промежутке функция разлагается в степенной ряд.

В качестве промежутка обычно рассматривают некоторую окрестность т. х₀.

Допустим, что функция разлагается в степенной ряд по степеням разности х-х₀ в некотором интервале, содержащем данную т. х₀:

где - пока неопределенные коэффициенты.

Пользуясь свойством дифференцируемости степенных рядов, найдем эти коэффициенты по значениям функции и ее производных в т. х₀.

Имеем:

…

(2)
Полагая , что х=х₀, получим:

(6.2.9.)

Таким образом, коэффициенты степенного ряда, суммой которого в соответствующем интервале является функция , однозначно определяются с помощью формулы (6.2.9.: 1) функцией и 2) точкой х₀ , так что представление функции степенным рядом в данном интервале (когда оно возможно) единственно.

Определение 6.2.10. Степенной ряд с коэффициентами, вычисленными по формулам (3), т. е. ряд вида

называется рядом Тейлора функции , записанным по степеням разности х-х₀, или , иначе говоря, в окрестности т. х₀.

Если х₀=0, то ряд Тейлора принимает вид

Этот частный случай ряда Тейлора называется рядом Маклорена.
Условия разложения функции в ряд Тейлора
Вид коэффициентов ряда Тейлора указывает на то, что ставить задачу о разложении в ряд Тейлора можно лишь по отношению к бесконечно дифференцируемой в точке х₀ функции; но это есть только необходимое условие разложения в ряд Тейлора: далеко не всякая бесконечно дифференцируемая функция может быть представлена своим рядом Тейлора.

Может оказаться, что составленный по ряд Тейлора: 1) хотя и сходится в некотором интервале. Но его сумма не совпадает с , кроме как в т. х=х₀; или 2) он даже вообще может оказаться расходящимся для хх₀.

Другими словами, остается пока открытым вопрос: 1) сходится ил ряд где-нибудь, кроме точки х=х₀ ; 2) возникает также и второй вопрос: если ряд сходится в некотором интервале, то какая функция является суммой этого ряда

Та функция , с помощью которой вычислялись коэффициенты ряда, или какая-либо другая функция (см. Увар., стр. 77; Бермант, стр. 591). Пусть функция бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки х₀.

Найдем значения функции и ее производных в т. х₀ в составим для ряд Тейлора.

Выясним, при каких условиях можно утверждать, что составленный ряд сходится к

Т. к. поведение ряда (сходимость или расходимость) зависит откоэффициентов ряда, а коэффициенты определяются функцией , то, очевидно, вопрос о сходимости ряда Тейлора надо изучать с помощью свойств самой функции Т. к. функция имеет в окрестности т. х₀ производные любых порядков, то для всех значений х из этого интервала и для любого n имеет место формула Тейлора (выводится в дифференциальном исчислении).

_(6.2.10)

где – остаточный член этой формулы.

С помощью этой формулы можно дать ответ на поставленный выше вопрос.

Теорема 6.2.18. (необходимое и достаточное условие). Для того, чтобы ряд Тейлора функции сходился к ней, необходимо и достаточно, чтобы остаточный член формулы Тейлора для стремился к нулю при

Теорема 6.2.19.(достаточный признак). Если в некотором интервале, содержащем т. х₀, модули всех производных функции ограничены одним и тем же числом: , то функция в этом интервале разлагается в ряд Тейлора.
РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД МАКЛОРЕНА НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
I Разложение функции

Эта функция имеет производных всех порядков при любом х: (n=1,2,3,…)

Проверим выполнение условий теоремы 2:

если взять любой промежуток , то в нем верна оценка

(т. е. для всех значений х модули всех производных ограничены одним и тем же числом ).

Поэтому по теореме 2 функция разлагается в сходящийся к ней ряд Маклорена в любом промежутке , т. е. иначе говоря, при всех х (всюду).

Найдем коэффициенты ряда:

таким образом, при любых х верно разложение:


Пример 6.2.31. Разложить в ряд Маклорена функцию ; указать интервал сходимости

Решение,

II Разложение функции

Она имеет производные всех порядков:

Очевидно, условия теоремы 2 выполняются: при всех х и n производная функции по модулю не превосходит единицы.

Следовательно, разлагается в ряд Маклорена и разложение справедливо при всех х.

Найдем коэффициенты ряда:

Таким образом, при любых х верно разложение:

(*) ,

В ряде присутствуют только нечетные степени х; это естественно, т. к. - нечетная функция.

Можно считать равенство (*) определением функции , т. к. радиус сходимости ряда равен бесконечности, и, следовательно, сумма ряда определена и непрерывна на всей числовой оси. Эту сумму и можно по определению считать функцией такое определение не связано с геометрическим построением, с которыми эта функция так тесно связана в школьном курсе математики.
III Разложение функции

Разложение в ряд этой функции можно получить так же, как и для

Но можно получить его путем дифференцирования разложения для :

,

Пример 6.2.32. Разложить функцию в ряд по степеням х.

Решение:

IV Разложение функции

Мы должны получить разложение логарифмической функции (в ряд Маклорена) по степеням х. Надо, чтобы сама функция и все ее производные имели смысл при х=0.

Если взять , , и т. д.

Как видим, f(0) и f⁽ⁿ⁾(0) при всяком n лишены смысла. Поэтому рассматриваем функцию Эта функция и все ее производные определены при х=0.

Итак, ;

Разложим эту функцию в ряд, используя возможность почленного интегрирования степенных рядов.

Найдем ; производная может быть разложена в ряд Маклорена, т. к. дробь может рассматриваться как сумма геометрической прогрессии (убывающей) при (знаменатель прогрессии q=-x):

где (радиус сходимости ряда)

Проинтегрируем этот степенной ряд почленно в промежутке , где (интервал интегрирования не выходит за пределы интервала сходимости ряда):

,

Сохраняется ли это равенство при х=±1

При х=±1 теряет смысл функция , поэтому равенство при х=-1 лишено смысла.

При х=1 сохраняет смысл функция , она обращается в число Ряд сходится (по признаку Лейбница).

Остается проверить, имеет ли место равенство:

(*)

Из рассмотренных выше рассуждений справедливость равенства (*) пока еще не вытекает, т. к. доказали только, что разложение функции верно при .!Для проверки равенства (*) проведем оценку остаточного члена при х=1:

Закон образования производных найти легко:

Остаточный член (в форме Лагранжа):

найдем при х=1:

Т. к. , то при стремится к нулю: при . А это означает (теорема 1), что ряд (*) сходится и имеет своей суммой число, т. е. равенство (*) верно.

Итак, ,

V Разложение функции

; эту дробь при можно рассматривать как сумму убывающей геометрической прогрессии со знаменателем :

Интегрируя в пределах от 0 до х, где , получаем: ; откуда имеем:

, (что будет показано ниже)

Проверим, не сохраняется ли это равенство и при х=±1.

При х=-1 – самостоятельно!

При х=1: ряд принимает вид:

который сходится (по теореме Лейбница).

!Остается проверить, имеет ли место равенство:

(*)

Для этого поступим следующим образом:

т. е. приостанавливаемся на (n+1) члене !!!

Интегрируем это равенство (конечное число слагаемых) в промежутке от 0 до 1:


т.к. при , то, следовательно правая часть при (в силу равенства (**)):при; это и означает, что сумма ряда (*), т. е. равенство верно.
6.3.Комплексные числа

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

Число , где и - действительные числа, а - так называемая мнимая единица, называется комплексным числом. Действительные числа и называются соответственно действительной и мнимой частями комплексного числа и обозначаются: - есть действительное число; если , а , то число называется числом мнимым.

Два комплексных числа и считаются равными, если равны их действительные и мнимые части, т. е. = при и

Будем изображать комплексное число с помощью точки на плоскости, абсцисса которой равна , а ордината. Тогда всякое комплексное число изобразится с помощью определенной точки, так называемой комплексной плоскости.

Положение точки, изображающей комплексное числоz , можно определить также с помощью полярных координат rиφ будем называть соответственно модулем и аргументом комплексного числа z: r =|z|; φ = Argz. Из определения модуля и аргумента следует, что если , то x = rcosφ =|z | cos (Argz); y =rsinφ=|z| sin(Argz);

tgφ(при х).

Заметим, что величина j=Arg z имеет бесчисленное множество значений, отличающихся одно от другого на целое, кратное 2p. Если величину одного из углов обозначить через j₀, то совокупность величин всех углов запишется выражением

Arg z=j₀+2pk (k=0,±1, ±2,…).

Значение j=Arg z, принадлежащее промежутку ]- p,p[, называется главным и обозначается j₀=arg z, т.е -p
Следовательно,

Arg z= Arg z++2pk (k=0,±1, ±2,…).

Зная действительную х и мнимую у части комплексного числа z и пользуясь тем, что tg (arg z)=y/x, можно вычислить arg z по формуле

Числу 0 не приписывается какое - либо значение аргумента.

Всякое комплексное число, отличное от нуля, можно представить ь в тригонометрической форме

z=x+iy=rcosj+irsinj=r(cosj+isinj).

Замечание 1.1. С помощью формулы Эйлера e^ij=cosj+isinj можно представить комплексное число в показательной форме :

z=re^ij.

Комплексные числа z=x+iy и называют взаимно-сопряженными. При этом .

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел производят по правилам сложения, вычитания и умножения алгебраических многочленов, полагая при этом i²=-1, i³=-i, i⁴=1,…

При сложении и вычитании комплексных чисел отдельно складываются и вычитаются их действительные и мнимые части:

(x₁+iy₁)±( x₂+iy₂)=( x₁+x₂)+i(y₁+y₂).

Умножение:

(x₁+iy₁) ( x₂+iy₂)=(x₁x₂-y₁y₂)+i(x₁y₂+x₂y₁).

Деление определяется как действие, обратное умножению.

Деление удобно производить следующим образом; сначала умножить делимое и делитель на число, сопряженное делителю, после чего делитель станет действительным числом , а затем произвести деление действительной и мнимой частей отдельно;

Если воспользоваться тригонометрической формой записи чисел

z₁=r₁(cosj₁+isinj₁); z₂=r₂(cosj₂+isinj₂);

получим

z₁ z₂=r₁ r₂ [(cos(j₁+j₂)+isin(j₁+j₂)], (6.3.1)

т.e, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются:

. (6.3.2)

Из правила умножения следует правило возведения в целую положительную степень: если

z=r(cosj+isinj), то zⁿ=rⁿ(cosnj+isin nj). (6.3.3)

Нетрудно убедиться, что формула справедлива и при целом отрицательном n.

Извлечь корень целой положительной степени n из числа z - значит найти такое число , n-я степень которого равна z.

Используя правило возведения в степень, получим

, (6.3.4)

где k=0,1,2, …, n-1.

Геометрически эти n значений выражения изображаются вершинами некоторого правильного n - угольника, вписанного в окружность, с центром в -нулевой почке радиуса .

С помощью формулы Эйлера можно привести к более простому виду:

Рассмотрим множества точек на плоскости и дадим некоторые определения.

Определение 6.3.1. Множество точек г комплексной плоскости, удовлетворяющее неравенству , называется e - окрестностью точки z₀.

Определение 6.3.2. Точка r называется внутренней точкой множества Е точек комплексной плоскости, если существует e окрестность точки z, целиком принадлежащая множеству Е.

Определение 6.3.3. Множество Е называется областью, если оно обладает следующими свойствами;

1) каждая точка Е является внутренней;

2) любые две точки, принадлежащие Е, можно соединить ломаной, состоящей ив точек множества Е. Второе свойство в этом определении называют свойством связности области.

Определение 6.3.4. Граничной точкой области G называется точка, не принадлежащая самой области, но любая e, окрестность которой содержит точки G.

Например , z=1 является граничной точкой области .

Определение 6.3.5. Совокупность всех граничных точек называется границей области G.

Определение 6.3.6. Область с присоединенной к ней границей называется замкнутой областью и обозначается через .

Например, замкнутой областью является множество Определение 6.3.7. Число связных частей, на которые разбивается область, называется порядком связности области. Например, область - односвязная (рис. 6.3.1.).

Рис. 6.3.1.

Пусть границей является кривая С. Положительным направлением обхода называется такое направление, при котором обходимая область остается слева.

Определение 6.3.8. Область G называется ограниченной, если она лежит внутри некоторого круга конечного радиуса.

Пример 6.3.1. Решить уравнение z²-6z+10=0.

Решение.В результате подстановки z=x+iy в данное уравнение имеем

(x+iy)²-6(x+iy)+10=0 , откуда после преобразований получим систему уравнений

x²-y²-6x+10=0;

xy-3y=0.

Решая систему, получим z₁=x₁+iy₁=3+I ; z₂=x₂+iy₂=3-I.

Пример 6.3.2. Выяснить геометрический смысл модуля разности |z₁-z₂| двух комплексных чисел z₁ и z_{2 .}

Решение. |z₁-z₂ |= | (x₁-x₂)+i(y₁-y₂)|= .

Следовательно, |z₁-z₂ | означает расстояние между точками z₁=x₁+iy₁ и z₂=x₂+iy₂

Если изобразить комплексное число с помощью вектора, то действительная и мнимая части z₁-z₂ являются координатами вектора, а так как при вычислении векторов координаты соответственно вычитаются, то вычитание комплексных чисел сводится к вычитанию векторов, изображающих эти числа

Как видно из рис.1а, | z₁-z₂ | есть длина вектора z₁-z₂=М₂М_1, иначе расстояние между точками ,

Пример 6.3.3. Выяснить, какой геометрический смысл имеет модуль разности двух комплексных чисел.

Решение.

то есть равен расстоянию между точками.

6.4.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ