учебное пособие для заочников 2 курс. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
 Скачать 3.16 Mb.
|
Раздел 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Примечание. Вопросы, помеченные в содержании лекций значком *, выносятся на самостоятельное изучение. 5. ПЕРЕЧЕНЬ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ I семестр Занятие 1 1. Свойства и вычисление определителей различных порядков. Решение линейных и алгебраических уравнений по формулам Крамера.Матрицы и действия над ними. Обращение матрицы. Решение систем линейных уравнений матричным способом. Линейные операции над векторами. Скалярное произведение. Действия над векторами в координатной форме.Векторное и смешанное произведения векторов. Простейшие задачи аналитической геометрии. Прямая на плоскости. Решение задач на прямую с использованием различных форм уравнения прямой на плоскости.Кривые второго порядка. Окружность, эллипс, гипербола, парабола. Приведение уравнений 2-го порядка к каноническому виду.Плоскость. Взаимное расположение плоскостей. Прямая в пространстве. Прямая и плоскость, пересечение, угол между ними. 2. Функция. Обзор свойств основных элементарных функций. Построение графиков элементарных функций путем преобразования графиков основных элементарных функций. Построение графиков в полярной системе координат.Предел функции непрерывного аргумента. Вычисление пределов алгебраических выражений.Первый и второй замечательные пределы, следствия. Эквивалентные величины.Непрерывность функции. Точки разрыва. Схематическое построение графиков разрывных функций. Занятие 2 1. Производная. Правила дифференцирования. Дифференцирование сложных функций. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно. Дифференциал и применение его к приближенным вычислениям. Производные высших порядков. Касательная и нормаль к кривой. Правило Лопиталя. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке. Задачи на отыскание наибольшего и наименьшего значения величин. Полное исследование функций и построение графиков. 2. Частные производные. Полный дифференциал, его связь с частными производными. Дифференцирование сложной функции нескольких переменных. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые условия экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. II семестр Занятие 3 1. Комплексные числа и действия над ними. 2. Простейшие приемы интегрирования. Интегрирование по частям и заменой переменной. Разложение рациональной дроби на простейшие дроби. Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование дробно-рациональных функций. 3. Интегрирование некоторых тригонометрических выражений. Интегрирование некоторых иррациональных функций. Занятие 4 1. Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Замена переменной. Интегрирование по частям.Вычисление несобственных интегралов I-го и II-го рода. Сходимость.Вычисление площадей плоских фигур в декартовых и полярных координатах. Вычисление длин дуг, объемов тел вращения. Решение задач физики и механики. 2. Вычисление двойных интегралов в декартовых и полярных координатах. Вычисление объемов тел, площадей плоских фигур с помощью двойных интегралов. Некоторые задачи механики. III семестр Занятие 5 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными, однородные. Линейные уравнения, уравнения Бернулли. Уравнения в полных дифференциалах.Дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка.Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами: однородные и неоднородные. Занятие 6 1. Исследование числовых рядов на сходимость по определению. Признаки сравнения. Признаки Даламбера, Коши, интегральный признак Коши.Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.Определение интервалов сходимости степенных рядов. Разложение функций в ряд Тейлора и Маклорена. IV семестр Занятие 7 1. Основные формулы комбинаторики. Непосредственное вычисление вероятности (классическая формула).Операции над событиями. Вычисление вероятностей суммы и произведения событий. Условные вероятности. Повторные испытания. Схема Бернулли. Формула полной вероятности и формула Байеса.Дискретная случайная величина, законы ее распределения и числовые характеристики. Непрерывные случайные величины, законы их распределения и характеристики. Занятие 8 1. Вариационный ряд. Гистограмма, эмпирическая функция распределения, выборочные средняя и дисперсия. Построение доверительного интервала для математического ожидания и дисперсии нормально распределенной случайной величины. Статистическая проверка статистических гипотез. 5 САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ (СРС) Самостоятельное изучение тем разделов программы (материалы для самостоя тельной работы студентов: УМК дисциплины («Математика»). 5.1 Виды СРС
5.2 Примерный перечень домашних семестровых заданий для заочников
5.3 Примерный перечень тем курсовых проектов (работ). Курсовые работы не предусмотрены. 5.4 Примерный перечень тем рефератов. Рефераты не предусмотрены. 5.5 Самостоятельное изучение тем разделов программы (материалы для самостоя тельной работы студентов:УМК дисциплины «Математика»). Виды СРС
6.Методические указания к самостоятельной работе студентов. 6.1.Векторный анализ ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ. ВЕКТОРНЫЕ ЛИНИИ И ИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Определение 6.1.1. Векторным полем точки М называется векторная функция точки М вместе с областью ее определения. Задание векторного пространственного поля равносильно заданию трех скалярных функций , , , являющихся проекциями вектора на координатные оси. Примерами векторных полей являются поле магнитной напряженности, поле сил тяготения, поле скоростей установившегося потока жидкостей и т.д. Определение 6.1.2. Векторной линией поля называется такая линия, в каждой точке которой касательная совпадает с направлением вектора . Векторная линия обычно называется линией тока для поля скоростей, силовой линией – для силового поля. Как известно, направляющие косинусы касательной пропорциональны дифференциалам , , . Для нахождения векторных линий поля векторов и , (6.1.1) где - проекция вектора на координатные оси. Уравнения (6.1.1.) называются дифференциальными уравнениями векторных линий поля . Если - непрерывно дифференцируемые функции и в точке М вектор отличен от нуля, то через точку М проходит одна определенная векторная линия поля . Пример 6.1.1. Найти векторные линии поля . Решение. Дифференциальные уравнения векторных линий имеют вид или , ; , . Интегрируя, получим и , где и - произвольные постоянные. Векторными линиями являются окружности, расположенные в плоскостях, параллельных плоскости и в самой плоскости при . Пример 6.1.2. Найти векторные линии магнитного поля бесконечного проводника тока. Решение. Будем считать, что проводник направлен по оси и в этом же направлении течет ток I . Вектор напряженности H магнитного поля, создаваемого током, равен , (6.1.2) где есть вектор тока, - радиус-вектор точки , - расстояние от оси провода до точки М. Раскрывая векторное произведение (6.2), получим . Дифференциальные уравнения векторных линий: , откуда , т.е. векторные линии являются окружностями с центрами на оси ПОТОК ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ ЧЕРЕЗ ПОВЕРХНОСТЬ Определение 6.1.3. Потоком П векторного поля через двустороннюю поверхность называется поверхностный интеграл второго рода. , (6.1.3) где - единичный вектор нормали к , указывающей её ориентацию; - элемент площади поверхности ; - проекция вектора на направление . Дадим физическое истолкование формулы (6.1.2). Пусть - скорость жидкости, протекающей через произвольную (двустороннюю) поверхность . Рассмотрим разбиение поверхности на n частей с площадками . Тогда произведение равно количеству жидкости, протекающей через поверхность за единицу времени в направлении вектора . Интеграл , являющийся пределом интегральной суммы Вычисление потока Вычисление методом проектирования на одну из координатных плоскостей Пусть поверхность задана уравнением .Единичный вектор нормали , но, как известно, . Знак в правой части берется так, чтобы получить нормальный вектор именно к выбранной стороне поверхности. Если поверхность задана уравнением , то . Знак «+» соответствует выбору верхней стороны поверхности, нормаль к которой образует острый угол с осью и, следовательно, направляющий косинус положителен. Известно также, что и . Пусть поверхность взаимно однозначно проектируется на плоскость в область , тогда вычисление потока векторного поля через поверхность сводится к вычислению двойного интеграла по области : . (6.1.4.) Аналогично, если поверхность взаимно однозначно проектируется на плоскость или , то поток вычисляется по формулам ; . Пример 6.1.3. Найти поток векторного поля через поверхность конуса и плоскость . Решение. Обозначим потоки векторного поля: через боковую поверхность конуса и через плоскость . Тогда весь поток П=П1 +П2 = . Вычислим . Уравнение : Проекция вектора на ось отрицательна. ; . Из выражения для (6.1.3.) найдем . . Вычислим . Уравнения поверхности : , , (На поверхности ), . Следовательно, . Пример 6.1.4. Найти поток векторного поля через верхнюю сторону треугольника с вершинами в точках , , . Решение. Уравнение плоскости составим как уравнение плоскости, проходящей через три точки . Следовательно, , . . Пример 6. 1.5. Вычислить поток векторного поля через внешнюю сторону однополостного гиперболоида ,ограниченного плоскостями . Решение. Данная поверхность проектируется взаимно однозначно на плоскость в область , ограниченную окружностями и . Находим внешнюю нормаль : . Т.к. образует с осью тупой угол , то берем знак минус и, значит, . Находим скалярное произведение . Применяя формулу , получим рис.6.1.5. . Переходя к полярным координатам ,, будем иметь Вычисление потока методом проектирования на все три координатные плоскости Пусть поверхность взаимно однозначно проектируется на все три координатные плоскости: Тогда поток векторного поля равен где знак перед каждым из двойных интегралом берется соответственно таким, каков знак , , на поверхности . Пример 6.1.6. Найти поток векторного поля через треугольник, получаемый при пересечении плоскости с координатными плоскостями (выбор указан на рис. 6.1.6,). Решение. Найдем . P[x(y,z),y,z]=(1-y-z)-2z=1-y-3z (выразили из уравнения плоскости) . По формуле (6.1.3) получим Рис. 6.1.6 . При вычислении потока векторного поля через боковую поверхность кругового цилиндра или через сферу удобно пользоваться соответственно цилиндрическими или сферическими координатами. Пример 6.1.7. Найти поток векторного поля через часть сферической поверхности , расположенную в первом октанте. Решение. Найдем вектор- градиент , тогда единичный вектор ; . По условию задачи поверхность находится в первом октанте, т.е. , , элемент площади в сферических координатах равен . Следовательно, поток через часть сферы вычисляется по формуле . Вычисление потока методом введения криволинейных координат на поверхности В некоторых случаях при вычислении потока векторного поля через данную поверхность S возможно выбрать на самой поверхности простую систему координат, в которой удобно вычислять поток, не применяя проектирования на координатные плоскости. Рассмотрим частные случаи. Случай 1). Пусть поверхность S является частью кругового цилиндра , ограниченного поверхностями и . Полагая , будем иметь для данной поверхности , , а для элемента площади dS получаем следующее выражение (рис.6. 1.8.): . Тогда поток векторного поля a через внешнюю сторону поверхности S вычисляется по формуле , (6.1.5) где Рис.6.1.7. Пример 6. 1.8. Вычислить поток радиуса-вектора через боковую поверхность кругового цилиндра , ограниченного снизу плоскостью , а сверху – плоскостью . Решение. В данном случае (рис. 6.1.7) имеем . Переходя к координатам на цилиндре будем иметь , Согласно формуле (6.1.4) поток вектора r будет равен Но так как на цилиндре рис.6.1.8 и, следовательно, Случай 2). Пусть поверхность S является частью сферы , ограниченной коническими поверхностями, уравнения которых в сферических координатах имеют вид и полуплоскостями . Положим для точек данной сферы где . Тогда для элемента площади dS полу- чим (рис. 6.1.8) . В этом случае поток векторного поля а через внешнюю часть S сферы вычисляется по формуле ( 6.1.6) Рис.6.1.9. где Пример 6.1.9. Найти поток вектора через часть поверхности сферы , расположенную в первом октанте, в область, где . Решение. В данном случае имеем , , Введем на сфере координаты и так, что Тогда будет иметь и, применяя формулу (6.1.5), получим ДИВЕРГЕНЦИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ. ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО Вычисление дивергенции Определение 6.1.4. Отношение потока векторного поля через поверхность к величине объема называется средней объемной плотностью потока векторного поля. В поле скоростей жидкости это отношение при определяет среднее количество жидкости, поступающей из единицы объема внутри поверхности за единицу времени. При определяет среднее количество жидкости, поглощаемой единицей объема за единицу времени. Определение 6. 1.5. Дивергенцией (или расходимостью) векторного поля называется объемная плотность потока векторного поля в этой точке: , где V-объем, ограниченный замкнутой поверхностью , содержащей точку М. Если координаты вектора непрерывны вместе со своими частными производными , , , то в декартовой системе координат дивергенция вычисляется по формуле , (6.1.7) где частные производные вычислены в точке М. Пример 6.1.10. Вычислить дивергенцию поля радиус-вектора . Решение. . Следовательно, в каждой точке поля радиус-вектора имеется источник, плотность которого равна трем единицам. Формула Остроградского в векторной форме Равенство (6.1.6.) позволяет записать формулу Остроградского в векторной форме. Если учесть, что (6.1.8.) является потоком векторного поля, тогда равенство примет следующий вид: . (6.1.9.) Физический смысл формулы Остроградского заключается в том, что, если - вектор скорости жидкости, протекающей через тело ,тогда подынтегральное выражение в правой части равенства (6.1.8.) дает полное количество жидкости ,вытекающей из тела или через поверхность за единицу времени (или втекающей в тело , если интеграл отрицателен) .Если дивергенция равна нулю , то количество жидкости , втекающей внутрь тела , равно количеству жидкости , вытекающей из него . Формула (6.1.9.) позволяет упростить вычисления потоков через замкнутую поверхность. Пример 6.1.11. Вычислить поток поля через полную поверхность цилиндра , . Решение. Найдем дивергенцию . По формуле (6.1.9.) . Перейдем к циклическим координатам, тогда . ЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ В ВЕКТОРНОМ ПОЛЕ. ЦИРКУЛЯЦИЯ. ПЛОТНОСТЬ ЦИРКУЛЯЦИИ Определение и вычисление циркуляции Пусть L-пространственная кусочно-гладкая направленная линия и - непрерывное векторное поле, заданное в , где , , - проекции на координатные оси. Определение 6.1.6. Криволинейный интеграл вида , взятый по некоторой направленной линии L, называется линейным интегралом от вектора вдоль линии L. Пример 6. 1.12. Вычислить работу силового поля вдоль отрезка AB прямой, проходящей через точки M1(2,3,4) и M2(3,4,5). Решение. Работа данного силового поля будет равна линейному интегралу вдоль отрезка M1M2: . Находим канонические уравнения прямой M1M2. Имеем Отсюда Здесь x изменяется в пределах от 2 до 3 (так как абсцисса точки M1 равна 2, а абсцисса точки M2 равна 3). Искомая работа будет равна . Определение 6.1.7. Циркуляцией векторного поля по замкнутой линии L в области называется линейный интеграл по этой замкнутой линии L, обозначаемый через Ц и определяемый формулой , где - вектор-дифференциал. В том случае, когда - силовое поле, линейный интеграл от вектора равен работе сил поля при перемещении тока по линии L(физический смысл циркуляции). Найдем скалярное произведение векторов и . Вектор направлен по касательной к кривой L . . Тогда циркуляция принимает вид . Пример 6.1.13. Найти циркуляцию векторного поля по контуру АВСА, полученному при пересечении параболоида с координатными плоскостями (рис.6. 1.9.). Решение. .
Линейный интеграл . 2. На ВС: , , . 3. На СА: , ; . Таким образом, . Знак минус указывает на то, что под действием сил поля контур будет вращаться в отрицательном направлении, т.е. по часовой стрелке. Пример 6.1.14. Вычислить циркуляцию векторного поля вдоль линии , получаемой пересечением конуса с координатными плоскостями (рис. 6.1.10). Решение. Линия состоит из двух отрезков ВС и СА, расположенных на координатных плоскостях и соответственно и дуги окружности Рис. 6.1.10. . Поэтому циркуляция данного векторного поля будет равна 1. На отрезке ВС имеем , ; , ; . Следовательно, . 2. На отрезке СА имеем , ; , ; . Следовательно, . 3. На дуге окружности имеем , и значит, . Искомая циркуляция векторного поля равна нулю. Плотность циркуляции векторного поля Пусть в векторном поле на поверхности дан замкнутый контур L, заключающий в себе точку М (рис. 6.1.11.) - единичный вектор нормали к поверхности в т. М; . Пусть - площадь поверхности, ограниченной контуром L. Рис. 6.1.11. Определение 6.1.8. Плотностью циркуляции в точке М называется предел отношения циркуляции к площади поверхности при условии стягивания контура к точке М. . (6.1.10) В проекциях плотность циркуляции выражается в виде . Если подынтегральное выражение преобразовать по формуле Стокса, то получим (6.1.11) Частные производные вычислены в данной точке М. РОТОР ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ. ТЕОРЕМА СТОКСА В ВЕКТОРНОЙ ФОРМЕ Определение 6.1.9. Ротор (или вихрь) векторного поля точки М обозначается и определяется формулой , (6.1.12) где частные производные вычислены в точке М. Для лучшего запоминания этот вектор можно записать в виде следующего символического определителя: (6.1.13.) Смысловое определение ротора вытекает из его связи с плотностью циркуляции поля; сравнивая формулы (6.1.10.) и (6.1.11.), можно записать . Если значение косинуса равно 1, то из последнего равенство . Таким образом, плотность циркуляции в точке М будет наибольшей в направлении ротора и равна его численному значению. Физический смысл ротора в поле скоростей заключается в том, что ротор представляет собой мгновенную угловую скорость вращения тела. Пример 6.1.15. Найти ротор векторного поля . Решение. Используя формулу (6.1.12), найдем проекции ротора ; ; . Следовательно, . С помощью введенного можно записать формулу Стокса в векторной форме. Так как + , следовательно, в векторной форме это равенство имеет вид . (6.1.14) Итак, поток вектора через ориентированную поверхность равен циркуляции вектора вдоль положительного направления обхода контура L этой поверхности. Пример 6.1.16. Найти циркуляцию векторного поля по контуру , где , (рис. 6.1.12.) Решение. Найдем , используя символическую запись (6.1.13) . В качестве поверхности , натянутой на контур , возьмем круг (в плоскости ), тогда , . По формуле (6.1.14) найдем циркуляцию, вычислив двойной интеграл в полярных координатах: ; Пример 6.1.17. Вычислить циркуляцию векторного поля : по контуру . Решение. Вычислим, применив формулу Стокса (6.1.13). Найдем . В качестве поверхности берем часть плоскости , ограниченную контуром . При пересечении цилиндра и плоскости получится эллипс. Поверхность (эллипс) проектируется на плоскость в круг. Тогда , (из уравнения плоскости ). ; . 6.2.ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||