учебное пособие для заочников 2 курс. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

• Название: Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
• Анкор: учебное пособие для заочников 2 курс.docx
• Дата: 14.05.2017
• Размер: 3.16 Mb.
• Имя файла: учебное пособие для заочников 2 курс.docx
• Тип: Программа дисциплины; #7562
• страница: 6 из 22

ОСТАТОК РЯДА

Пусть дан ряд: (6.2.1). Отбросим любое фиксированное число «k» его первых членов, тогда получим новый ряд (6.2.2)

Определение 6.2.2. Ряд (6.2.2), который получается из данного ряда (6.2.1) путем отбрасывания некоторого конечного числа членов, взятых подряд начиная с первого, называется остатком данного ряда.

Если отброшено k первых членов, то остаток называется k-м остатком и его можно записать в виде суммы .

По своему поведению ряды (6.2.1) и (6.2.2) тесно связаны.

Теорема 6.2.3. Ряды (6.2.1) и (6.2.2): 1) либо одновременно сходятся 2) либо одновременно расходятся.

Вывод. Таким образом: 1) если сходится данный ряд , то сходится и любой его отстаток; 2) если сходится какой-либо остаток ряда, то сходится и сам ряд.

Следствие: Ряды (6.2.3) и (6.2.4.), у которых лишь конечное число членов отличается друг от друга, либо одновременно сходятся, либо одновременно расходятся.

Д-но, если, например, , начиная с nk, то ряды (6.2.3.) и (6.2.4.) сходятся или расходятся одновременно с рядом (6.2.2):

Таким образом, отбрасывание конечного числа членов ряда (или добавление к ряду конечного числа членов) не влияет на сходимость или расходимость этого ряда.

Поэтому при исследовании ряда на сходимость можно: 1) изменять конечное число членов этого ряда, а так же 2) добавлять или 3) отбрасывать конечное число членов.

Пример 6.2.4.Исследовать на сходимость ряд

(n4)

Решение. Отбросим в данном ряде 4-ре первых члена, тогда получим новый ряд:

(n=1, 2, 3, …)

который сходится как геометрическая прогрессия с 1. Следовательно, сходится и рассматриваемый ряд.

НЕОБХОДИМЫЙ ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ РЯДА

Рассмотрим необходимый признак сходимости ряда, т. е. укажем условие, при невыполнении которого ряд наверняка расходится.

Теорема 6.2.4. Если ряд (6.2.1) сходится, то его общий член стремится к нулю при неограниченном возрастании номера этого члена, т. е. .

Пусть ряд (6.2.1) сходится и сумма его равна S, т. е.

Наряду с этим равенством имеет место и такое равенство:

Запишем теперь очевидное равенство: , найдем предел

Таким образом, для сходимости ряда (6.2.1) необходимо, чтобы общий член его имел предел, равный нулю.

Пример 6.2.5. +

Данный ряд расходится, т. к. его общий член при имеет предел, равны 1:

Пример 6.2.6..

Ряд расходится, т. к. = sin не существует.

ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ РЯДЫ

Ряд, все члены которого неотрицательны, называется положительным рядом.

Рассмотрим признаки, с помощью которых удается, не прибегая к вычислению предела частичных сумм, установить, сходится ли данный положительный ряд или нет. Эти признаки, правда, не дают ответа на вопрос о том, какова сумма данного ряда (если ряд расходится).

Но отыскивание суммы сходящегося ряда – это трудная задача и ее удается решить только в отдельных, частных случаях, применяя разнообразные приемы преобразования частичных сумм или какие-либо другие методы.

Рассмотрим ряд признаков сходимости положительного ряда.

I. Признаки сравнения рядов

Теорема 6.2.5. Пусть даны два положительных ряда (6.2.1) и (6.2.2). Если члены ряда (6.2.1) не превосходят соответствующих членов ряда (6.2.2), т. е. (n=1, 2, 3), и ряд (6.2.2) сходится, то ряд (6.2.1) также сходится.

Теорема 6.2.6. Пусть даны два положительных ряда (6.2.1) и (6.2.2). Если члены ряда (6.2.1) не меньше соответствующих членов ряда (6.2.2), т. е. (n=1, 2, 3), и ряд (6.2.2) расходится, то ряд (6.2.1) также расходится.

Пример 6.2.7. Исследовать на сходимость ряд

Оценим общий член данного ряда: . Ряд с общим членом b_n=1/2ⁿ. сходится (геометрический ряд). По теореме 6.2.6. данный ряд также сходится.
Пример 6.2.8. Исследовать на сходимость ря

Оценим общий член данного ряда: a_n=

Последний ряд расходится (как узнаете позднее, это гармонический ряд). Следовательно по теореме 6.2.6.данный ряд так же расходится.
Отметим полезное следствие из доказанных выше теорем 6.2.5. и 6.2.6.

Теорема 6.2.7. Пусть даны два положительных ряда (6.2.1) и (6.2.2). Если существует конечный, отличный от нуля, предел отношения общих членов этих рядов: , то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

Смысл этого следствия состоит в том, что если общий член ряда (6.2.1) и общий член ряда (6.2.2) являются бесконечно малыми (если общие члены этих рядов стремятся к нулю при , то a_n и b_n можно рассматривать как бесконечно малые) одного и того же порядка (при )то сходимость одного из этих рядов влечет сходимость другого (а значит, и ,наоборот, расходимость одного влечет расходимость другого).

Эту теорему можно прочитать следующим образом:

Если два ряда имеют общие члены одинакового порядка малости (при ), то эти ряды сходятся или расходятся одновременно.

Пример 6.2.9. .

при . Поэтому можно ставить вопрос о том, сходится ли данный ряд. Возьмем


т. к. ряд сходится (что будет доказано позднее!!!),то и данный ряд сходится.
Пример 6.2.10.

Имеем

Т. к. ряд с общим членом 1/n (гармонический ряд) расходится, то и теорема (6.2.7.) будет расходится и данный ряд.
II. Признак Даламбера (в предельной форме)

Теорема 6.2.8. Если для ряда с положительными членами существует конечный предел (6.2.5) отношения (n+1)-го члена к n-му, то

а) при Д1 ряд расходится, а

б) при Д1 – расходится.

Пример 6.2.11. Выяснить, сходится ли ряд

Имеем:

на основании признака Даламбера данный ряд сходится.

Пример 6.2.12.

Имеем:

Т. к., то ряд расходится.
Пример 6.2.13.

.

Признак Даламбера ответа не дает на вопрос о сходимости данного ряда. Между тем принцип сравнения рядов решает этот вопрос: при всех значениях n, а ряд с общим членом сходится. Следовательно, данный ряд сходится.
Пример 6.2.14.

. следовательно, данный ряд расходится.
III. Признак Коши (в предельной форме)
Теорема 6.2.9.. Если для положительного ряда существует конечный предел , то

а) при С1 ряд сходится, а

б) при С1 – расходится.

Пример 6.2.15.

- ряд сходится.
Замечание 6.2.1. Если , то ряд будет расходится.

Замечание 6.2.2. Если 1) не существует или 2) равен 1, то признак Коши, как и признак Даламбера, не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.

IV. Интегральный признак Коши
Признаки Даламбера и Коши не всегда являются эффективными при исследовании характера данного ряда.

Рассмотрим еще один признак, который позволяет иногда решать вопрос о сходимости ряда с положительными членами в тех случаях, когда рассмотренные выше признаки оказываются неприодными.

Этот признак основан на сравнении данного ряда с некоторым несобственным интегралом I рода от функции, значения которой при последовательных целых значениях аргумента дают все члены этого ряда.

Теорема 6.2.10.. Дан положительный ряд (6.2.1); если существует не возрастающая непрерывная ф-ия , где , такая, что , то

1)ряд (6.2.1) сходится, если сходится несобственный интеграл ; и

2)расходится, если этот интеграл расходится.
Пример 6.2.16.

Предположим - непрерывная, при функция, убывает с возрастанием х.

Несобственный интеграл сходится, следовательно, данный ряд сходится.

Пример 6.2.17. Исследовать на сходимость ряд , где  - любое действительное число, т. е.

1) непосредственно видно, что при член ряда стремится к нулю при неограниченном возрастании n, т. е. не выполняется даже необходимый признак сходимости ряда, и , следовательно, ряд расходится.

2)пусть теперь

Как легко проверить, признак Даламбера и Коши вопроса о сходимости этого ряда не решают. С помощью же интегрального признака вопрос о сходимости этого ряда решается легко.

- эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы, рассмотренной выше.

(- непрерывна, положительна и убывает при )

Вопрос о сходимости ряда эквивалентен вопросу о сходимости несобственного интеграла

(*).

При каких существует интеграл (*)

Вычислим

а) пусть

Тогда при и интеграл

Ряд расходится.

б) пусть

- ряд расходится

в) пусть

Тогда при Следовательно ряд сходится , т. к.

Вывод. Ряды вида 1)сходятся при и 2) расходятся при , где

Замечание 6.2.3.При ряд обращается в гармонический:

Выше мы рассмотрели теоремы сравнения, основанные на сравнении друг с другом двух рядов.

Какие же ряды используются для сравнения 

При непосредственном применении теоремы сравнения в основном пользуются рядами:

1)геометрическим рядом (сходящимся при);

2)рядами (сходящимися при )

Пример 6.2.18.

Оценим общий член ряда:, но ряд с общим членом = сходится (=3).

Поэтому по теореме 1 признаков сравнения данный ряд также сходится.

Пример 6.2.19.

, ,

ряды сходятся или расходятся одновременно, т. к.. Но ряд с - сходится. Поэтому данный ряд также сходится.
ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ
Ряды, содержащие бесконечное множество как положительных, так и отрицательных членов.

Прежде всего остановимся на частном случае – на так называемых знакочередующихся рядах.

Знакочередующиеся ряды

Ряды, у которых каждые два соседних члена имеют противоположные знаки.

Обычно знакочередующийся ряд записывают в виде:

где - модули членов этого ряда

Теорема Лейбница (признак Лейбница) 6.2.11.

Если члены знакочередующегося ряда удовлетворяют условиям:

1. 
   ;
   
2. 
   , такой ряд сходится.
   

Пример 6.2.20. Найти с точностью до 10^-3 сумму ряда

Ряд сходится, т. к. удовлетворяет всем условиям признака Лейбница.

Прежде всего надо знать, сколько слагаемых придется вычислять.

По правилу оценки погрешности вычисления надо взять столько членов, чтобы выполнялось неравенство

Тогда остаток ряда, начинающийся с этого члена, будет также меньше 10^-3.

Следовательно, решаем неравенство:

Это неравенство удовлетворяется уже при n=4.

Д-но,

Следовательно, начиная с члена , можно отбросить все члены ряда и вычислить только первые пять членов ряда.

Замечание 6.2.4. Практически удобнее находить число слагаемых так: записывают несколько первых членов ряда, а именно:

Видно, что модуль 6-го члена (по сету) меньше 10^-3.

Чтобы гарантировать требуемую точность, вычисляют каждое слагаемое с 4-мя знаками после запятой, делая при необходимости округление на 4-ом знаке.

(Все 3 цифры после запятой верные).

Замечание 6.2.5.Признак Лейбница для знакочередующихся рядов является лишь достаточным признаком сходимости, но не необходимым ( т. е. ряд может сходится, хотя по признаку Лейбница не выполняется).
Достаточный признак сходимости знакопеременных рядов
Перейдем теперь к рассмотрению знакопеременных рядов, у которых члены с положительными и отрицательными знаками не обязательно чередуются. Расположение положительных и отрицательных членов в ряде совершенной произвольно.

Снова будем обозначать символом … сам n-й член ряда, а не его модуль, т. е. рассматриваемый знакопеременный ряд будем обозначать символом:

, где - любые действительные числа. (1)

Одновременно с этим рядом рассмотрим ряд

(2)

составленный из модулей членов ряда (2).

Рассмотрим теорему, которая устанавливает зависимость между поведением рядов (1) и (2).

Теорема 6.2.12. Если ряд (1), составленный из модулей членов ряда (2), сходится, то ряд (2) так же сходится.

Пример 6.2.21.Исследовать на сходимость ряд

Рассмотрим ряд, составленный из модулей всех членов данного ряда:

Этот ряд сходится (по признаку Даламбера). Следовательно, по доказанной теореме, данный знакопеременный ряд тоже сходится.

Замечание 6.2.6. В этом примере признак Лейбница не применим. Д-но, не выполняется первое условие теоремы Лейбница. Если б не выполнялось второе условие, то ряд расходился бы, т. к. было бы нарушено необходимое условие.

И хотя признак Лейбница не выполняется, ряд сходится, как получено выше. Это объясняется тем, что признак Лейбница – достаточный признак, но не необходимый.

Замечание 6.2.7. Теорема (6.2.12.) – достаточный признак сходимости ряда (1), не необходимый, т. е. ряд (1) может сходится и тогда, когда ряд (2) расходится.
Пример 6.2.22.

1. 
   Рассмотрим ряд
   

Ряд - расходится (гармонический ряд). В то же время ряд - знакочередующийся ряд, сходящийся по признаку Лейбница.

Таким образом, для знакопеременных сходящихся рядов различают два случая:

1) данный знакопеременный ряд сходится и соответствующий ему положительный ряд также сходится;

2) данный знакопеременный ряд сходится, но соответствующий ему положительный ряд расходится.

В связи с этим введем нижеприведенные определения.

Определение 6.2.3.Сходящийся ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд , составленный из модулей всех n=1 членов данного ряда.

Пример 6.2.23.Ряд сходится абсолютно, т. к. соответствующий ему положительный ряд сходится (геометрический ряд с).

Определение 6.2.4. Если данный ряд сходится, тогда как ряд , образованный из модулей его членов, расходится, то рассматриваемый ряд называется неабсолютно сходящимся (или, как часто говорят, условно сходящимся).

Пример 6.2.24.Ряд , как мы видели выше, сходится, в то время как ряд расходится. Следовательно, данный ряд сходится неабсолютно.

В тех случаях, когда применение признака Лейбница связано с громоздкими выкладками, выгодно сразу же исследовать ряд на абсолютную сходимость.

Если ряд, составленный из модулей членов данного заданного ряда, сходится, то заданный ряд сходится абсолютно (см. Цветк., стр. 25).