учебное пособие для заочников 2 курс. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

• Название: Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
• Анкор: учебное пособие для заочников 2 курс.docx
• Дата: 14.05.2017
• Размер: 3.16 Mb.
• Имя файла: учебное пособие для заочников 2 курс.docx
• Тип: Программа дисциплины; #7562
• страница: 8 из 22

Основные понятия

Определение 6.4.1.Уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и ее производные или дифференциалы различных порядков, называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

Определение 6.4.2. Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в данное уравнение.

Например, уравнение - первого порядка; - второго порядка; - третьего порядка и т. д.

Решением дифференциального уравнения называется функция y=y(x), удовлетворяющая этому уравнению. График решения на плоскости xOy называется интегралом уравнения.

Процесс нахождения решения называется интегрированием дифференциального уравнения.

Если решение уравнения получено в неявном виде , то оно обычно называется интегралом уравнения.

Задача Коши для уравнения

(6.4.1)

ставится следующим образом. Среди всех решений уравнения (6.4.1) требуется найти решение y=y(x), для которого функция y(x) вместе со своими производными до (n-1)-го порядка включительно принимает заданные значения при заданном значении x₀ аргумента x, т.е.

(6.4.2)

где x₀, y₀, y₀^|,…,y₀^(n-1) – заданные числа.

Условия (6.4.2) называются начальными условиями решения y=y(x), а само это решение – частным решением уравнения (6.4.1), удовлетворяющим начальным условиям (6.4.2).

Общее решение уравнения (6.4.1) – это решение вида , зависящее от n произвольных постоянных C₁, C₂, …C_n, которые можно подобрать таким образом, чтобы удовлетворить любой системе начальных условий.

Частное решение уравнения (6.4.1) может быть получено из общего решения при некоторых числовых значениях произвольных постоянных C₁, C₂, …C_n.

Уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными имеет вид

M₁(x)N₁(y)dx+M₂(x)N₂(y)dy=0. (6.4.3)

Поделив обе части уравнения (6.4.3) на N₁(y)M₂(x), получим уравнение

,

в котором переменные разделены. Общий интеграл уравнения находится почленным интегрированием:

Однородные уравнения

Уравнение вида

y^|=f(y/x) (6.4.4)

называется однородным уравнением.

Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой y=ux, где u – новая искомая функция. Дифференцируя равенство y=ux, получим

.

Подставив y и в уравнение (6.4.4), получим

,

Откуда

. (6.4.5)

Это уравнение с разделяющимися переменными u и x. Найдя общее решение (интеграл) уравнения (6.4.5) и заменив u на y/x, получим общее решение (интеграл) данного однородного уравнения.

Линейные уравнения

Дифференциальное уравнение называется линейным, если оно линейно (т.е. первой степени) относительно искомой функции y и ее производной . Общий вид линейного уравнения

y^|+P(x)y=Q(x). (6.4.6)

Линейное уравнение сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными, если искомую функцию y заменить произведением двух вспомогательных функций u и v, т.е. положить y=uv. Тогда

,

и данное уравнение (6.4.6.) примет вид

. (6.4.7)

Пользуясь тем, что одну из вспомогательных функций, например v, можно выбрать произвольно, подберем ее так, чтобы выражение в квадратных скобках обратилось в нуль, т.е. в качестве v возьмем одно из частных решений v=v(x) уравнения с разделяющимися переменными

.

Подставляя выражение v=v(x) в уравнение (6.4.7), получаем уравнение относительно функции u:

, (6.4.8)

которое также является уравнением с разделяющимися переменными. Найдя общее решение уравнения (6.4.8) в виде u=u(x,C), получим общее решение линейного уравнения (6.4.6):

y=u(x,C)v(x).

Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель

Если левая часть уравнения

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (6.4.9)

представляет собой полный дифференциал некоторой функции U(x,y), то уравнение (6.4.9) называется уравнением в полных дифференциалах. В этом случае его можно переписать в виде dU(x,y)=0, так что общий интеграл

U(x,y)=C. (6.4.10)

Для того чтобы уравнение (6.4.9) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках области D, в которой функции P(x,y) и Q(x,y) определены, непрерывны и имеют непрерывные частные производные и , было выполнено условие

. (6.4.11)

В том случае, когда условие (6.4.11) выполнено, общий интеграл уравнения (6.4.9) можно записать в виде

(6.4.12)

или

, (6.4.13)

где (x₀;y₀) – произвольная фиксированная точка области D.

Если же условие (6.4.11) не выполнено, то уравнение (6.4.9) не является уравнением в полных дифференциалах. Однако в некоторых случаях его можно привести к уравнению в полных дифференциалах умножением на функцию µ(x,y), которая называется интегрирующим множителем.

Интегрирующий множитель легко находится в следующих двух случаях:

1)когда он зависит т о л ь к о от x, т.е. µ=µ(x);

2)когда он зависит т о л ь к о от y, т.е. µ=µ(y).

Первый из этих случаев имеет место, если отношение

является функцией только от x; тогда интегрирующий множитель находится по формуле

. (6.4.14)

Второй случай имеет место, если отношение

является функцией только от y; тогда интегрирующий множитель определяется по формуле

. (6.4.15)

Уравнения Лагранжа и Клеро

Уравнение Лагранжа. Уравнением Лагранжа называется уравнение вида

, (6.4.16)

т.е. линейное относительно x и y с коэффициентами, зависящими от y^|, причем коэффициент при x не равен y^|.

Для интегрирования уравнения Лагранжа воспользуемся параметрическим методом. Полагая y^|=p, перепишем уравнение (6.4.16) в виде

. (6.4.17)

Дифференцируя по x, имеем

,

откуда после замены y^| на p, умножения на и соответствующих алгебраических преобразований [в частности, деления обеих частей уравнения на ] получим

. (6.4.18)

Это уравнение является линейным относительно функции x и производной . Его общее решение имеет вид

x=F(p,C). (6.4.19)

Подставляя найденное для x выражение в соотношение (6.4.16), получим

. (6.4.20)

Соотношения (6.4.19) и (6.4.20) дают общее решение уравнения Лагранжа в параметрической форме:

Заметим, что если уравнение =0 имеет действительные корни, то подставляя эти корни в уравнение (6.4.17), мы также получим решения уравнения Лагранжа, которые могут оказаться как ч а с т н ы м и, так и о с о б ы м и. (Решение, в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши, называется особым решением.)

Уравнение Клеро. Уравнением Клеро называется уравнение вида

, (6.4.21)

т.е. частный случай уравнения Лагранжа, когда .

Положим y^|=p, тогда

. (6.4.22)

Дифференцируя по x, имеем

Последнее уравнение распадается на два:

(6.4.23)

Из уравнения следует, что p=C. Подставляя это выражение в равенство (6.4.21), получим общее решение уравнения Клеро:

(6.4.24)

Формально общее решение получается из уравнения (6.4.21) заменой y^| на C.

Уравнение Клеро имеет особое решение, получающееся в результате исключения параметра C из системы уравнений

(6.4.25)

Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.

Уравнение вида

y⁽ⁿ⁾=f(x) (6.4.26)

решается последовательным n-кратным интегрированием. При каждом интегрировании получается одна произвольная постоянная, а в окончательном результате – n произвольных постоянных.

Уравнение второго порядка, не содержащее искомойфункции, т.е. уравнение вида

F(x,y^|,y^||)=0, (6.4.27)

при помощи подстановки y^|=p(x) (откуда ) преобразуется в уравнение первого порядка

Уравнение второго порядка, не содержащее независимой переменной, т.е. уравнение вида

F(y,y^|,y^||)=0, (6.4.28)

при помощи подстановки y^|=p(y) (откуда ) сводится к уравнению первого порядка

Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами

Линейным однородным дифференциальным уравнением n-ого порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение

y⁽ⁿ⁾+p₁y^(n-1)+p₂y^(n-2)+…+p_n-1y^|+p_ny=0, (6.4.29)

в котором все члены имеют первую степень относительно функции ее производных, а коэффициенты p₁,p₂,…,p_n – постоянные.

Общее решение линейного однородного уравнения (6.4.29) имеет вид

y=C₁y₁+C₂y₂+…+C_ny_n, (6.4.30)

где y₁,y₂,…y_n – линейно независимые частные решения (фундаментальная система решений) этого уравнения, а C₁,C₂,…C_n – произвольные постоянные.

Для отыскания общего решения уравнения (6.4.29) составляется характеристическое уравнение

rⁿ+p₁r^n-1+p₂r^n-2+…+p_n-1r+p_n=0, (6.4.31)

которое получается из уравнения (6.4.29) заменой в нем производных искомой функции соответствующими степенями r, причем сама функция заменяется единицей.

Тогда общее решение уравнения (6.4.29) строится в зависимости от характера корней уравнения (6.4.31):

1. 
   каждому действительному однократному (т.е. простому) корню r в общем решении соответствует слагаемое вида Ce^rx;
   
2. 
   каждому действительному корню r кратности k в общем решении соответствует слагаемое вида (C₁+C₂x+…+C_k-1x^k-1)e^rx;
   
3. 
   каждой паре комплексных сопряженных однократных корней и в общем решении соответствует слагаемое вида ;
   
4. 
   каждой паре комплексных сопряженных корней и кратности L в общем решении соответствует слагаемое вида
   

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

y^||+py^|+qy=f(x) (6.4.32)

Оно отличается от соответствующего линейного однородного уравнения

y^||+py^|+qy=0 (6.4.33)

наличием в правой части некоторой функции f(x).

Для нахождения общего решения уравнения (6.4.32) сначала нужно найти общее решение уравнения (6.4.33), а затем найти какое-либо частое решение y^* уравнения (6.4.32). Их сумма есть общее решение данного неоднородного уравнения (6.4.32):

y=+ y^*.

Рассмотрим два метода нахождения частного решения.

Метод неопределенных коэффициентов.

Если правая часть уравнения (6.4.32) имеет вид

(6.4.34)

где  и  -действительные числа, а P_n(x) и Q_m(x) – многочлены соответственно n-й и m-й степени с действительными коэффициентами, то частное решение y^* уравнения (6.4.32) ищется в виде

(6.4.35)

где M_s(x) и N_s(x) – многочлены s-й степени (s – наибольшая из степеней n и m) с неопределенными буквенными коэффициентами, а k – кратность, с которой входит в число корней характеристического уравнения r²+pr+q=0, соответствующего однородному дифференциальному уравнению (6.4.33).

Для того, чтобы найти коэффициенты многочленов M_s(x) и N_s(x), искомое частное решение (6.4.35) подставляют в левую часть дифференциального уравнения (6.4.32) и производят соответствующие упрощения; затем в полученном тождестве приравнивают коэффициенты при подобных членах в левой и правой частях, что дает систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов, из которой определяют эти коэффициенты.

Укажем вид частного решения y^* для некоторых частных случаев функции (6.4.34):

1)если =0, =0 (т.е. =0), то f(x)=P_n(x) и частное решение ищется в виде

y^*=x^k(A₀xⁿ+A₁x^n-1+…+A_n),

где k – кратность, с которой нуль входит в число корней характеристического уравнения;

2)если =0 (т.е. =), то и частное решение ищется в виде

y^*=x^k (A₀xⁿ+A₁x^n-1+…+A_n),

где k – кратность, с которой  входит в число корней характеристического уравнения;

3)если =0, n=m=0 (т.е. =), то и частное решение ищется в виде

где k – кратность, с которой входит в число корней характеристического уравнения.

В том случае, если правая часть уравнения (6.4.32) есть сумма функций вида (6.4.34), т.е.

f(x)=f₁(x)+f₂(x)+…+f_r(x),

нужно предварительно найти частные решения соответствующие функциям f₁(x),f₂(x),…,f_r(x). Тогда частное решение уравнения (6.4.32.) запишется в виде

(6.4.36)

Метод вариации произвольных постоянных

Более общим методом решения линейного неоднородного уравнения (6.4.32) является метод вариации произвольных постоянных.

Пусть y₁ и y₂ – линейно независимые частные решения однородного уравнения (6.4.33). Тогда общее решение неоднородного уравнения (6.4.32) следует искать в виде

y=C₁(x)y₁+C₂(x)y₂, (6.4.37)

где функции C₁(x) и C₂(x) определяются из системы уравнений

(6.4.38)

Решая систему алгебраических уравнений (6.4.38), находим

(6.4.39)

где

(6.4.40)

- определитель Вронского, составленный для решений y₁ и y₂.

Интегрируя равенства (6.4.39), получаем

(6.4.41)

откуда, подставляя найденные функции C₁(x) и C₂(x) в соотношение (6.4.37), получим общее решение линейного неоднородного уравнения (6.4.32).

Системы дифференциальных уравнений

Определение6.4.3.Нормальной системой дифференциальных уравнений называется система вида

(6.4.42)

Здесь число уравнений равно числу неизвестных функций.

Решением системы (6.4.42) называется совокупность n функций , удовлетворяющих всем уравнениям системы.

Частным решением системы (6.4.42.) называется решение, удовлетворяющее начальным условиям:

при x=x₀,

где x₀, - заданные числа.

Семейство решений системы (6.4.42), зависящее от n произвольных независимых постоянных :

называют обычно общим решением этой системы.

6.5.Теория вероятности

Основные формулы и теоремы.

Классическое определение вероятности

Вероятность события А обозначается символом р или р(А). При классическом определении вероятность события А равна

(6.5.1)

Отношению числа случаев m , благоприятствующих ему из общего числа n равновозможных, единственно возможных и несовместных случаев, к числу n , т.е.очевидно, что число 0 P (А) 1.

Задача 6.5.1.

По телевидению передано 10 снимков, из них три снимка с искажениями. Какова вероятность, что два взятых на удачу снимка: а) не имеют искажений б) оба имеют искажения? в) один имеет искажение?

Решение: Два снимка из десяти можно выбрать n=способами (порядок не важен). Обозначим события: а) Событие А- оба снимка не .имеют искажения т.е. они выбраны из 7 качественных снимков. Это можно сделать способами. Следовательно,.б) Событие В - оба снимка имёю искажения, т.е. они взяты .из трех некачественных . Получим , откуда . в) Событие С - один имеет искажение и один не имеет искажение, т.е. один снимок взят из 3 , а 1 - из 7. По правилу произведения это можно сделать способами, поэтому

Задача 6.5.2

а)Сколько различных трехзначных чисел можно записать при помощи цифр 1; 2? б)Найти вероятность, что записано число 121. (Событие А).

Решение: а) Трехзначные числа - упорядоченные тройки элементов, образованные из цифр 1 и 2, размещения с повторениями из двух элементов по 3. Их число б) Событию А благоприятствует один исход m=1. Поэтому .

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Непосредственный подсчет вероятности, основанный на построении полной группы событий, практически редко может быть осуществлен. Поэтому основной задачей теории является рассмотрение различных теорем, с помощью которых вероятности одних событий определяются по вероятностям других событий. Важнейшие из них - теоремы сложения и умножения. Условная вероятность события А относительно события В равна:

(6.5.1)

Выражение (6.5.1) получило название теоремы умножения вероятностей.

В случае произведения более чем двух событий теорема умножения вероятностей принимает вид

Событиянезависимы в совокупности, если (6.5.2)

Теорема сложения вероятностей: если события попарно несовместимы, то вероятность суммы событий равна сумме вероятностей этих событий:

(6.5.3.)

Если несовместные события образуют полную группу, то сумма вероятностей этих событий равна 1. В частности, для двух, противоположных событий Аи имеет место равенство

, и поэтому вероятность противоположного события вычисляется по формуле

Если события совместны, то формулы для вероятности суммы этих событий усложняются. Например, вероятность суммы двух местных событий равна

_,

а вероятность суммы трех совместных событий


Задача 6.5.3.

Из коробки, содержащей 5 красных и 3 черных шариковых ручки, извлекают 2 ручки. Найти вероятность того, что: а) обе ручки красные. 6) ручки разных цветов. Рассмотреть 2 случая: 1) извлеченная первой ручка не возвращается в коробку; 2) извлеченная первой ручка возвращается в коробку перед извлечением второй.

Решение. Введём обозначения для событий: А - обе ручки красного цвета; В - ручки разных цветов. Следует определить Р(А) и Р(В)

Введём события, связанные с извлечением одной ручки: А1-первая ручка: красная; - первая ручка чёрная, А2 - вторая ручка красная; вторая ручка черная. Тогда и .

Применяем формулы (6.5.1) и (6.5.3).

В данном случае события и несовместны.

1 случай. Так как после наступления ручка не возвращается, то в коробке окажется 7 ручек. Из которых 4 красных и поэтому

2 случай. (так как после наступления ручка возвращена в коробку).

а) . б) . Задача 6.5.4

Прибор собирается последовательно четырьмя рабочими. Независимо от остальных 1-й может допустить брак вероятностью 0,1,2-й и 3-й - с вероятностью 0,09, а 4-й -0,15. Готовый прибор относится к I сорту, если ни один рабочий не допустил брак, ко II, если брак допущен 2-м или 3-м рабочим, к III сорту, если брак допустили 1 -й или 4-й рабочие и признаётся негодным в остальных случаях. Найти вероятности следующих событий:А - прибор признан I сорта; В - II сорта; С - Ш сорта; D - прибор признан негодным.

Решение: Обозначим Через Аi событие, состоящее в том, что i-ый рабочий не допустил брак, тогда -i-ый рабочий допустил брак i=1,2,3,4 . В условии дано Р(А1) =01; Р(А2)= Р(АЗ)=0,09 ; Р(А4)=0,15. Тогда P(A1)=0.9; P(A2)=P(A3)=0.91; Р(A4) = 0.85

Интересующие нас события можно представить следующим образом: A=A1А2А3А4; B=A1A2A3A4+А2А3А4;C=A1A2A3A4+A2A3А4. Событие D противоположно сумме событий А+В+С, т.е. D= A+B+C:

Применяем формулы (6.5.2) для независимых событий и (6.5.3) для несовместных событий-слагаемых в выражениях для В и С, получим

Задача 6.5.5

Вероятность того, что проходящая машина потребует заправки в данном пункте, равна 0.3. Сколько должно пройти машин чтобы с вероятностью не меньшей, чем 0.9 можно было утверждать, что хотя бы одна потребует заправки?

Решение: Введем обозначения для событий : Аi –i-я машина потребует заправки и С - хотя бы одна машина из и потребует заправка. Тогда С=А1+А2+...+Аn.

Однако все слагаемые совместны, поэтому перейден противоположному событию С -“ни одна машина из n потребует заправки” получим

События A1 ,А2,..., An , а следовательно , _ A1 А2…Аn независимы и имеют одну и ту же вероятность

Поэтому По условию задачи те. Решая это неравенство, найдем последовательно n lg 0.7 lg 0,1, откуда . Окончательно получаем n=7.

Формула полной вероятности. Формула Бейеса

Из теорем сложения и умножения получается формула полной вероятности и формула Бейеса. Если события A1, A2,...,An образуют полную группу (гипотезы) и событие А, то может произойти вместе с одним из событий А, тогда

- формула полной вероятности .

Если же в результате проведения опыта зафиксировано появление события А, то переоценка вероятности гипотез равна
- формула Бейеса.

Задача 6.5.6

Известно, что в партии из 600 электрических лампочек 200 изготовлены на первом заводе, 250 на втором заводе и 150 на третьем заводе. Известны также вероятности 0.97, 0.91 и 0.93 того, что лампочка окажется стандартно о качества при изготовлении ее соответственно 1,2,3 заводами. Какова вероятность, что на удачу выбранная из данной партии лампочка окажется стандартной.

Решение: Обозначим через А событие, состоящее в том , что лампочка окажется стандартной:

А - лампочка изготовлена на 1 заводе,

А - лампочка изготовлена на 2 заводе,

А - лампочка изготовлена на 3 заводе.

Известно, что РА1(А)=0,97; РА2(А)=0,91;РА3(А)=0,93.

Событие А1,А2,А3 образуют полную группу и по формуле полной вероятности находим

Задача 6.5.7

При массовом производстве некоторого изделия вероятность того, что оно окажется стандартным, равна 0 95. Для контроля производится некоторая упрощенная проверка стандартности изделия, которая дает положительный результат в 99% случаев стандартности изделии и в 3% случаев для нестандартных изделий. Какова вероятность стандартности изделий, выдержавшего упрощенную проверку?

Решение: Введем события;

А1 - изделие окажется стандартным,

А2 - изделиеокажется нестандартным.

А 3 - изделие выдержит упрощеннуюпроверку.

События A1, А2 образуют полную группу. До проверки Р(А1)=095,Р(А2)=0 05. Известно, что РА1(А)=0,99 РА2(А)=0,03. Нас интересует вероятность стандартности издания, прошедшего проверку, т.е РА(А1). По формулам Бейеса получаем

Это означает, что в среднем только 2 изделия из 1000 , успешно прошедших проверку, будут нестандартным.

Схема испытаний Бернулли (повторение опытов)

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в, каждом из которых вероятность появления события равна p(0

1), событие наступит ровно m раз (безразлично, в какой последовательности), есть

где q=1-p.Вероятность- того, что событие наступит:

а) менее m раз:

б) более m раз:

в) не более m раз:

г) не более m раз:

Вероятность наступления события А хотя бы один раз при проведении n независимых испытаний, равна:

, где

Наивероятнейшее значение числа наступления события А при проведении n независимых повторных испытаний, вычисляется по формуле

Задача 6.5.8

Вероятность того, что денежный приемник автомата при опускании одной монеты срабатывает правильно, равна 0,97. Сколько нужно опустить монет, чтобы наивероятнейшее число случаев правильной работы автомата было равно 100?

Решение. Двойное неравенство

np-q<
Следовательно, с одной стороны,

0,97n-0.03< 100, откуда

С другой стороны

откуда n302.09 т.е. 102,09 .

Поэтому n= 103 , как то целое число которое заключено между 102,09 и 103.12.

Предельные теоремы

Если число испытаний n велико , то применение формулы Бернулли приводит к громоздким вычислениям . В таких случаях пользуются предельными теоремами Лапласа. а) Локальная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которые вероятность появления события равна р(о<р < 1), событие наступит ровно m раз, выражается приближенным равенством

Функция у(х) - четная, т.е. у(-х)= γ(х). При х>5 можно считать, что γ(x)=0. б) интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n, независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления. события равна р, событие наступит не менее m1 раз и не более m2 раз, выражается приближенным равенствам

При >5 полагают Ф(х)=5. Функция Лапласа – нечетная, т.е.

Ф(-х)=-Ф(х), Ф(0)=0.

Если число испытаний достаточно велико , а р - мало при, этом не больше 10 ( 10), то вероятность можно найти приближенно по формуле Пуассона:.

Задача 6.5.9

Прибор состоят из 200 деталей, каждая из которых за врем tможет выйти из строя с вероятностью р=0 01. Найти вероятность того, что за время t выйдут из строя: а) 3 детали; б) не более 3 деталей; г) от двух до четырех деталей включительно.

Решение: В данном случае n=200, m=0.01, q=0.99, m- количество

деталей ,

вышедших аз строя за время t. а) m=3;РЗ;200 по формуле Бернулли равно