учебное пособие для заочников 2 курс. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
 Скачать 3.16 Mb.
|
Основные понятияПусть дана бесконечная числовая последовательность: 1, 2, 3,…, n,… Выражение, которое получится, если все члены этой последовательности соеденить формально знаком плюс: , (6.2.1) называется числовым рядом (или просто рядом). Часто ряд записывают в виде , где указано, что индекс n пробегает все натуральные числа: 1, 2, 3,…. Числа 1, 2, 3,…, n,… называются членами ряда, называют общим членом ряда ( при произвольном n). В арифметике и алгебре рассматривают суммы с конечным числом слагаемых. В ряде же слагаемых бесконечно много. Поэтому понятие суммы, состоящей из бесконечного числа слагаемых, требует некоторого специального определения. Что же понимают под выражением (6.2.1) Может оказаться, что иногда это выражение и лишнего чистого смысла. Введем тонкое определение. Возьмем сумму n первых членов ряда (6.2.1) и обозначим ее через Sn: (6.2.2) эту сумму называют n-й частичной суммой ряда (6.2.1). При этом под S1 понимают 1. Давая в (6.2.2) «n» последовательных значений 1, 2, 3,…, получим последовательность частичных сумм: Возможны два случая:
ни к какому пределу). Определение 6.2.1. Если последовательность частичных сумм (или иначе частичная сумма Sn) имеет конечный предел , то ряд (6.2.1) называется сходящимся, а сам этот предел называется суммой ряда. При этом пишут: или . Если же последовательность частичных сумм не имеет предела то ряд (6.2.1) называется расходящимся. Расходящийся ряд не имеет суммы в том смысле как мы ее определили. Однако в том случае когда , пишут , а также S=. Пример 6.2.1. Пользуясь непосредственно определением суммы ряда, показать, что ряд сходится и найти его сумму. Представим общий член ряда в виде суммы двух дробей: Тогда частичную сумму Sn данного ряда можем переписать так: В соответствии с определением надо выяснить существует ли конечный предел Sn при n: следовательно данный ряд сходится и его сумма S=1. Решение. n=-1; A=1/3; B=-1/3. Sn- Пример 6.2.2. Исследование сходимости ряда, составленного из членов геометрической прогрессии. Рассмотрим ряд , (6.2.3) составленный из членов геометрической прогрессии. Часто данный ряд называют геометрическим рядом. Выясним, при каких значениях q ряд (6.2.3) сходится. Составим частичную сумму Sn ряда: по формуле для суммы n первых членов геометрической прогрессии= (6.2.4) а) если 1 (прогрессия убывающая), то , поэтому существует и следовательно, в случае, когда 1, ряд (6.2.3) сходится и его сумма равна . б) Если 1, то , а тогда (т. к. a0) и Значит, в случае, когда 1, ряд (6.2.3) расходится. в) если q=-1, то частичная сумма Sn принимает вид: Отсюда ясно что в этом случае Sn при n предела не имеет и ряд (6.2.3) расходится. г) При q=1 формула (6.2.4) лишена смысла. Но ясно непосредственно, что в этом случае Значит в случае q=1 ряд (6.2.3) также расходится. Вывод. Итак геометрический ряд 1) сходится при 1 и 2) расходится 1 (a0), причем при 1 имеем известную (из школьного курса математики) формулу суммы членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВТеорема 6.2.1. Если ряд (6.2.1) сходится и имеет сумму S, то ряд (6.2.2) (где С – какая-либо постоянная) также сходится и имеет сумму cS. Теорема 6.2.2. Если ряды (6.2.1) и (6.2.2) сходятся и имеют соответственно суммы S и , то ряды (6.2.3) и (6.2.4) также сходятся и их суммы соотвественно равны S+ и S-. Вывод. Таким образом: 1) сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать так же, как и конечные суммы; 2) можно умножать члены сходящегося ряда на одно и тоже постоянное число, в результате получаются так же сходящиеся ряды. Пример 6.2.3. Найти сумму ряда: По теореме 6.2.2: |