учебное пособие для заочников 2 курс. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
 Скачать 3.16 Mb.
|
Оценим значениеПрактически формула непригодна для вычисления. Найдем np=200 0.01=2, меньше 10 Можно использовать формулу Пуассона при X= 2 и m=3; сразу получаем Р3,200 =0.1805; б)- не более 3 деталей вышло из строя Для вычисления каждого слагаемого используем формулу Пуассона, определяя значения вероятностей по таблице при и при m=0,1, 2,3. Р200() = 0.8572; в){т > 2}- не менее двух деталей вышло из строя .Здесь следует перейти к противоположному событию m<2. Тогда Р200(m>2)=1-Р0,2ОО –P1,200=0.5940. г)2< m <1 от двух до четырех деталей включительно за время t вышли из строя следует найти Р200(2<m< 4)=Р2,200+Р3,200+Р4,200. Используя, формулу Пуассона опять при =2 и m=2,3,4 по таблице находим Р200 Задача 6.5.10 Вероятность изделию быть, бракованным равна 0.05. Найти вероятность того, что среди 1000 изделий а) 40 бракованных; б) число бракованных находится впромежутке от 40 до 70 включительно; в) сколько изделий надо взять, чтобы с вероятностью, не менее 0,9 среди них оказалось не менее 50 бракованных? Решение: Испытание изделий на брак удовлетворяет модели испытаний Бернулли Вероятность для каждого изделия быть бракованным, р=0.05, а набракованным q=0.95. Испытаниям подвергаются n=1000 изделий. a) m=40; Р 40,1000 находим по формуле Муавра Лапласа. Определим необходимые величины: np=50; npq=47,5, f(-1.45)=f(1.45)=0.1392.Окончательно получаем б) Р1000 (40< m < 70) находим по интегральной формуле Муавра –Лапласа при в) необходимо найти число n,удовлетворяющее условию (Очевидно, что ).Следовательно Ф(x2)=1. Получаем По таблице, что Ф(t)=-0,8 при t=-1,29. Поэтому и после упрощения получаем Решив это неравенство, найдем Следует взять менее 1198 изделий. Функция распределения случайной величины. Непрерывная случайная величина Функция распределения F(x) примет значение F(x)=P(X<x). (6.5.4) Свойства функции распределения: F(-) = 0; F(+) = 1. О < F(x) < 1; если х2 >, toF()F(). Вероятность попадания случайной величины Xв промежуток [а;b) определя ется формулой P(a<X<b) = F(b)-F{a). (6.5.5) Существуют случайные величины, множество значений которых непрерывно заполняют некоторый числовой промежуток. Если функция F(x) распределения случайной величины X непрерывна и имеет почти всюду (кроме, возможно, конечного числа точек) непрерывную производ ную, то случайную величину Xназывают непрерывной, а функцию f(x) = F'(x) называют плотностью вероятности случайной величины X. Имеют место формулы: а) б) в) ; г) . Вероятность того, что непрерывная случайная величина имеет конкретное значение, равна нулю. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Xназывается число M(X), равное (6.5.6) Дисперсия D(x) непрерывной случайной величины X определяется по формуле (6.5.7) Задача 6.5.11 Прибор состоит из двух блоков, вероятность безотказной работы каждого из которых в течение времени равна 0,5. Найти ряд распределения для числа блоков, работающих, и момент t=T . Найти функ цию распределения F(x) ДСВ X Решение. Обозначим состояние каждого блока через (R) или (О), в зависимо сти от того, работает он или отказал. Вероятность F(R)=P(O)=1/2. Множество всех исходов опыта Е содержит 4 элемента, вероятность каждого равна ¼, Е = {(0,0); (0,R); (R,0); (R,R)}- Случайная величина X- число работающих блоков к моменту t. Случаю (О О) соответствует значение X=0 (оба блока отказали), = Р(Х = 0) = 1/4, случаям (О R) и (R О) соответствует значение Х=1 (один блок отказал), = Р(X = 1)=1/4+1/4=1/2. Случаю (RR) соответствует зна чение Х=2 (оба блока работают) , = Р(Х = 2) =1/4.Ряд распределения для случайной величины Х- числа работающих блоков имеет вид
Если x 0, то F(x)=0, так как нет ни одного значения Xлевее нуля. Если 0 < x 1 ,то в промежуток (- ;0) попадает одно значение Х=0, следователь но, F(x)=P(x=0)=1/4. Если 1 < x 2 ,то в промежуток (- ;х) попадает два значения X=0 и X=1, следо вательно, F(x) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) = ¾. Если 2 < x ,то в промежуток (-;x) попадают все значения X, т.е. Х=0, Х=1, Х=2. Следовательно, F(x)=1. Получаем Задача 6.5.12 Составить функцию распределения случайной величины, распре деленной по биномиальному закону. Решение. Xпринимает значение с вероятностями. При . При нужно найти сумму значений, попавших в промежуток от - до x, т.е. значения 0,1,2…k. Следовательно, . При x>n, F(x)=1. Задача 6.5.13 Случайная величина Х имеет плотность распределения, пропорциональную х при 0 и равную 0 при и . а) Найти выражение для f(x) б) Найти М(х), D(x),. Решение. а) Выражение плотности распределения имеет вид Пользуясь свойством плотности распределения, находим откуда 1/2 б) Математическое ожидание М(Х)= Дисперсия D(X)= Задача 6.5.14 Задана функция распределения случайной величины X: Найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале (1;3). Решение. Вероятность попадания случайной величины в интервал (1;3) по формуле (1.2) равна P(1<X<3)=F(3)-F(1)=1-1/2=1/2. Закон больших чисел. Предельные теоремы Теорема Чебышева 6.5.1 Если Х – неотрицательная случайная величина и М(Х) – её математическое ожидание, то для любой А>0 имеет место неравенство , (6.5.8) или . (6.5.9) Если случайная величина имеет дисперсию D(X), то для любого имеет место неравенство Чебышева: , (6.5.10) или . (6.5.11) Если - средняя арифметическая независимых случайных величин , k=1, … n, каждая из которых имеет и , то неравенство Чебышева принимает вид . (6.5.12) Для случайных величин, одинаково распределённых с и , неравенство (6.5.12) принимает вид . (6.5.13) Если дисперсия независимых случайных величин равномерно ограничены числом С, то следствием (6.5.11) является неравенство . (6.5.14) Следствием (6.5.11) является также неравенство Чебышева для случайной величины, распределенной по биноминальному закону: , (6.5.15) и для случайной величины, равной частности появлений события в n независимых испытаниях: . (6.5.16) Теорема Ляпунова 6.5.2 Пусть дана последовательность независимых случайных величин , k=1, … n,…, для каждой из которых существует математическое ожидание =, дисперсия = и третий центральный абсолютный момент . Если выполняется условие (6.5.17) то случайная величина распределена нормально с математическим ожиданием М(Х)=∑ и дисперсией =. Теорема Ляпунова относится к группе теорем, объединённых общим названием центральная предельная теорема. Одна из простых формулировок центральной предельной теоремы относится к одинаково распределённым случайным величинам: если - независимые одинаково распределённые случайные величины с математическими ожиданиями и дисперсиями , то при неограниченном увеличении их числа n закон распределения их суммы X приближается к нормальному с параметрами M(X)=na и D(X)= . Теорема Лапласа 6.5.3. Пусть m – частота появлений события A в n независимых испытаниях, а p – вероятность наступления события A в отдельном испытании. При случайная величина распределена нормально с М(Х)=0 и D(X)=1, то есть . Приближение формулы Муавра – Лапласа следует из того, что закон распределения случайной величины при большом nблизок к нормальному с плотностью вероятности . Задача 6.5.15 Математическое ожидание скорости ветра на аэродроме равно 7 м/с. Оценить вероятность того, что скорость ветра на аэродроме а) не превзойдет 28 м/с : б) будет не менее 35 м/с. Решение. Случайная величина Х – скорость ветра. а) по условию А – 28 м/с. Применяем неравенство (6.5.12’): б) По условию А = 35 м/с. Применяем неравенство (6.5.12): . Задача 6.5.16 Средний вес детали равен 50 г, а дисперсия равна 0,1. Оценить вероятность того, что вес случайно выбранной из партии детали окажется в границах (49,5;50,5). Решение. Случайная величина Х – вес детали. По условию =50 г, =0,1 и =0,5. Неравенство 49,5<X<50,5 равносильно -0,5<X-50<0,5 , или . Поэтому применяем неравенство Чебышева (1.7.2’): Искомая вероятность не меньше 0,6. Задача 6.5.17 Сумма всех вкладов в некоторую сберегательную кассу составляет 20000 руб., а вероятность того, что случайно взятый вклад не превышает 100 руб., равна 0,8. Что можно сказать о числе вкладчиков данной сберкассы? Решение. Пусть Х – размер случайно взятого вклада ,а n – число всех вкладов. Тогда из условия задачи средний размер вклада Так как и по неравенству (1.7.1’) то Отсюда и, следовательно, Задача 6.5.18 Ёмкость изготовляемого заводом конденсатора должна быть по техническим условиям равной 2 мкФ с разрешённым допуском 0,1 мкФ. Завод добился средней ёмкости, равной 2 мкФ с дисперсией, равной 0,004 мкФ. Какова вероятность изготовления бракованного конденсатора? Расчёт провести по неравенству Чебышева, предположив, что ёмкости конденсаторов распределены по нормальному закону с теми же параметрами. Решение. Конденсатор будет бракованным, если отклонение ёмкости конденсатора Х от среднего значения М(Х)=2 мкФ будет по абсолютной величине болеем =0,1 мкФ. По неравенству Чебышева (6.5.13 ) имеем а поэтому вероятность события P Если же предположить, что значения ёмкости распределены по нормальному закону, то Видим, что, используя значение о нормальном законе распределения, ответ получаем более точным. Неравенство же Чебышева дает грубую оценку, зато оно применимо к случайным величинам, распределенным по любому закону. Системы случайных величин Систему двух случайных величин (X,Y) можно изобразить случайно точкой на плоскости. Событие, состоящее в попадании случайной точки (X;Y) в область D, принято обозначать в виде (X;Y)D. Закон распределения системы непрерывных случайных величин (X,Y) будем задавать с помощью функции плотности вероятности f(x,y). Вероятность попадания случайной точки (X,Y) в область Dопределяется ра венством Функция плотности вероятности обладает следующими свойствами: Если все случайные точки (X;Y) принадлежат конечной области D, то послед нее условие принимает вид . (6.5.18) Математическое ожидание дискретных случайных величин Xи Y, входящих в систему, определяются по формулам , (6.5.19) а математические ожидания непрерывных случайных величии - по формулам (6.5.20) (6.5.21) Точка (;) называется центром рассеивания системы случайных величин (X,Y). Математические ожидания и туможно найти и проще, если случайные величины Xи Yнезависимы. В этом случае из законов распределения этих случайных величин можно определить математические ожидания и тупо формуле (6.5.22) (6.5.23) Дисперсии дискретных случайных величин Xи Yопределяются по формулам ; (6.5.24) . (6.5.25) Дисперсии же непрерывных случайных величин Xи Y, входящих в систему, находятся по формулам ; (6.5.26) . (6.5.27) Средние квадратичные отклонения случайных величин Xи Y определяются по формулам (6.5.28) Для вычисления дисперсий могут быть применены формулы (6.5.29) Важную роль в теории систем случайных величин играет так называемый корреляционный момент (ковариация) (6.5.30) Для дискретных случайных величин корреляционный момент находится по формуле (6.5.31) а для непрерывных – по формуле (6.5.32) Корреляционный момент можно также найти по формуле (6.5.33) Здесь для дискретных величин Xи Yи (6.5.34) для непрерывных величин. Случайные величины Xи Yназываются независимыми, если вероятность одной из них принимает значение, лежащее в любом промежутке области ее значений, и не зависит от того, какое значение приняла другая величина. В этом случае M(XY)=M(X)M(Y); Для характеристики связи между величинами Xи Yрассматривается так называемый коэффициент корреляции (6.5.35) являющийся безразмерной величиной. Если случайные величины Xи Yнезависимы, то =0. Если же случайные величины Xи Yсвязаны точной линейной зависимостью Y=aX+b, то = sgna,т.е. =1 при а > 0 и = -1 при а < 0. Вообще же коэффициент корреляции удовлетворяет условию -1 1. Задача 6.5.19 Дана таблица 6.5.1, определяющая закон распределения системы двух случайных величин (X,Y):
Таблица 6.5.1 Найти: 1) коэффициент ; 2) математическое ожидание и ;3) дисперсии и ; 4) коэффициент корреляции . Решение.
Таблица 6.5.3 Таблица 6.5.2 Найдём из условий (6.5.1): Вычислим дисперсии по формулам: или , или , Вычислим и и составим таблицу 1.8.3 Определим ковариацию по формуле Вычислим коэффициент корреляции: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||