Берман. Государственное издательство техникотеоретической литературы
 Скачать 233.41 Kb.
|
ГЛАВА IIПИСЬМЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ2.1. О записи чиселНапомним читателям, как записывают целые и дробные числа по десятичной системе. Основное правило состоит в следующем: из двух цифр, стоящих рядом, левая обозначает «единицы» в десять раз больше, чем правая. Если написано целое число (без дроби), то крайняя правая цифра обозначает простые единицы, левее идут десятки, ещё левее - сотни, затем тысячи и т.д. Если имеется целое число с дробью, то целая часть отделяется запятой. Правее запятой идут десятые доли, правее десятых - сотые, ещё правее - тысячные и т.д. Если «единицы» какого-нибудь разряда отсутствуют, то на соответствующем месте ставится нуль. Например, запись 1023,502 обозначает число, содержащее одну тысячу, не содержащее сотен, имеющее два десятка, три единицы, пять десятых долей, не содержащее вовсе сотых долей и имеющее две тысячные доли (читается: тысяча двадцать три целых, запятая, пятьсот две тысячных). Если число не содержит вовсе целой части (такие числа называются правильными дробями), то пишут сначала нуль, потом запятую, а за ней по обычным правилам дробную часть. Например, двадцать семь сотых запишется так: 0,27 (читают: нуль целых, запятая, двадцать семь сотых). Триста четыре десятитысячных - так: 0,0304. 2.2. Степени десятиОчень часто приходится иметь дело с числами, имеющими много нулей на конце. Возьмём примеры: 1) Население СССР составляло в 1939 г. 170500000 человек. 2) Расстояние от Земли до Солнца равно 149500000 км. 3) Поверхность всей суши земного шара равна 14900000000 га. Такие числа трудно записывать и читать. Чтобы облегчить запись, используют понятие степени числа. Произведение числа само на себя называют квадратом этого числа. Например, 9=3∗3; значит, 9 есть квадрат трёх. Точно так же 100 есть квадрат десяти. Квадрат тридцати пяти равен 1225 и т.д. Результат перемножения трёх одинаковых сомножителей, равных каждый данному числу, называется кубом данного числа. Например, умножив 2 на 2, получим 4; умножив ещё раз на 2, получим 8; иными словами, 8=2∗2∗2. Говорят, что 8 есть куб числа 2. Точно так же 27 есть куб числа 3 (трижды три - девять, да ещё раз на три - трижды девять - двадцать семь), 1000 есть куб десяти и т.д. С квадратами чисел мы встречаемся при вычислении площадей участков, с кубами - при вычислении объёмов тел. Площадь квадратного участка, сторона которого равна 9 м, будет 9∗9=81 кв.м. Объём комнаты, длина, ширина и высота которой равны по 4 м, будет 4∗4∗4=64 кубометрам. Иногда, приходится перемножать более трёх одинаковых сомножителей. Произведение четырёх одинаковых сомножителей называется четвёртой степенью данного числа, пяти - пятой степенью и т.д. Например, число 81, равное 3∗3∗3∗3, будет четвертой степенью трёх. Произведение 2∗2∗2∗2∗2=32 будет пятой степенью двух. 1000000 будет шестой степенью десяти. Нетрудно сообразить, что всякая степень десяти изобразится единицей с нулями, причём нулей будет столько, какова степень. (Заметим, что квадрат числа называют иначе второй степенью, куб - третьей степенью.) Действительно, 10 в квадрате даст 10∗10=100 (два нуля); 10 в кубе даст 10∗10∗10=1000 (три нуля); 10 в четвёртой степени даст 10∗10∗10∗10=10000 (четыре нуля) и т.д. Любую степень любого числа можно записать как ряд одинаковых чисел, соединённых знаками умножения (пример: 64=2∗2∗2∗2∗2∗2). Но такой способ записи очень громоздок. Поэтому придумали сокращённую запись. Число, которое нужно умножить несколько раз само на себя (его называют основанием степени), пишут только один раз, а справа сверху ставят маленькую цифру, которая показывает, какая степень числа берётся. Например, пишут 53 вместо 5∗5∗5. Пишут 106 вместо 1000000 и т.д. Эта маленькая цифра, показывающая, сколько раз данное число повторяется сомножителем, называется показателем степени. Значит, в нашем примере (106=1000000) миллион будет степенью (шестой степенью) десяти; десять будет основанием; шесть - показателем. Примеры: а) записать без показателей: 24=16; 35=?; 52=?; 73=? б) записать короче с помощью знака показателя: 2∗2∗2∗2∗2∗; 3∗3∗3∗3∗3; 10000000000; 6∗6∗6∗6∗6∗6∗6; 17∗17∗17∗17∗17∗17∗17∗17. Вернёмся к нашей первой задаче: как сокращённо записать числа с большим числом нулей на конце? Рассмотрим какое-нибудь число такого вида, например 314000000. Мы можем представить это число как произведение двух чисел: числа без нуля на конце и числа, состоящего из единицы с нулями: 314∗1000000. Но вместо «единицы с нулями» мы можем написать степень десяти (в нашем примере - шестую степень), значит: 314000000=314∗106. Вместо креста часто ставят другой знак умножения - точку (пишут 3∙2=6 вместо 3∗2=6). Тогда запись числа с большим числом нулей на конце станет особенно простой: 314000000=314∙106. Запишем в обычной форме и прочитаем число 51∙105. Десять в пятой степени - это «единица с пятью нулями», значит, нужно к пятидесяти одному приписать справа пять нулей: 5100000. Получили пять миллионов сто тысяч. Вернёмся к примерам, помещённым в начале этого параграфа. Мы имели: 1) Население СССР составляло в 1939 г. 170500000 человек. 2) Расстояние от Земли до Солнца равно 149500000 км. 3) Поверхность всей суши земного шара равна 14900000000 га. Эти числа мы запишем теперь так: 1) Население СССР составляло в 1939 г. 1705∙105 человек. 2) Расстояние от Земли до Солнца равно 1495∙105 км. 3) Поверхность всей суши земного шара равна 149∙108 га. Примеры: Записать короче, пользуясь степенями десяти, следующие числа: 180000; 3200000; 43400; 5183000000; 9600000000; 1700000; 20000000. Записать в обычной форме и прочитать следующие числа: 43∙103; 12∙105; 3∙1011; 683∙108; 51342∙102; 1616∙104; 17∙107; 2∙1012; 48∙105; 117∙106. |