Isbn 9785358173804Ерганжиева, Л. Н
 Скачать 0.57 Mb.
|
|
§ 5. КУБ И ЕГО СВОЙСТВА(2 ч) Основные понятия:многогранник, вершины, ребра, гра- ни многогранника; куб и его элементы, диагональ куба, развертка куба. Предметные результаты: распознавать и называть куб и его элементы (вершины ребра, грани, диагонали), рас- познавать куб по его развертке, изготавливать куб из развертки, приводить примеры предметов из окру- жающей среды, имеющих форму куба; мысленно манипу- лировать объектом, переносить точку наблюдения; изо- бражать куб и другие многогранники, чертить развертку куба. Метапредметные результаты: формирование прие- мов исследовательской деятельности, конструкторских умений, развитие пространственных представлений, фор- мирование коммуникативных умений. Личностные результаты: эстетическое восприятие геометрического чертежа, формирование интереса к предмету. Внутрипредметные и межпредметные связи: стерео- метрия (многогранники, куб и его свойства). 48 КОММЕНТАРИИ. Материал параграфа может быть под- разделен на три части. Первая часть включает в себя ис- следование куба и обнаружение его свойств. Для нее ха- рактерна исследовательская деятельность учащихся. Учитель организует практическую работу. ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА В первой части после небольшой вводной беседы, в ходе которой вводятся термины «многогранник», «грань», «ребро» и «вершина многогранника», учащим- ся раздаются кубы, изготовленные из бумаги (длина ребра 4—5 см для удобства). С помощью линейки, угольника и ножниц ученики должны обнаружить как можно больше свойств куба и записать их в тетрадь. Ре- зультаты исследования обсуждаются, и список свойств дополняется. Среди свойств должны быть и такие, как: в одной (каждой) вершине сходится одно и то же число граней и ребер; все грани — равные квадраты и т. п. Вторая часть — работа с разверткой куба. Среди об- наруженных свойств ученики выделяют наличие шести граней куба, каждая из которых является квадратом, а разрезав куб по ребрам, видят, что его поверхность «разворачивается» в плоскую фигуру, разделенную на 6 равных квадратов. Учитель вводит термин «развертка» и среди разверток, получившихся у учеников, находит несколько разных. Вывод: куб имеет несколько раз- верток. Задания № 3—7 предполагают работу с разверткой. Перед выполнением этих заданий полезно рассказать учащимся, какую мысленную цепочку действий они выстраивают. Выполняя эти задания, полезно коммен- тировать действия таким образом: «Вы мысленно вы- деляете те квадраты, которые являются боковыми гра- нями куба (оборачиваете его сбоку), а затем как бы пе- регибаете оставшиеся квадраты, делая «донышко» и «крышечку» куба — нижнее и верхнее основания». Многим ученикам работа в уме недоступна, они могут выполнять задание непосредственным складыванием куба из данной развертки, т. е. предметно, а не умозри- тельно решать задачу. Но в определенный момент у них 49 заработает воображение. Задания № 6 и 7 взаимно обратные. Ко второй части относятся и задания № 12 и 15. Третья часть заданий направлена на развитие пер- цептивных умений: восприятие глубины пространства, чтение чертежа, перенос точки наблюдения. К ним относятся задания № 8, 9, 10, 11, 13 и 14 и рассматрива- ние рисунка 39 учебника с неоднозначными фигурами. Учащиеся, объясняя, что они видят на рисунках 36, 37 и 39 учебника, должны использовать слова «ближе», «дальше», «выпуклость», «вогнутость», «левее», «пра- вее». При этом у учащихся формируются коммуника- тивные умения. На рисунках 37 и 39 учебника даны так называемые неоднозначные объекты, которые могут быть названы и охарактеризованы по-разному. Важно выслушать все различные мнения и обсудить их. Часто рисунку (например, рисунку 39, в учебника) дают толь- ко два объяснения: стоящий в углу куб и параллелепи- пед (брусок), у которого вырезан «уголок», а третья трактовка — параллелепипед с приставленным к нему снаружи кубом — приходит с трудом. Не следует торо- пить учеников, ведь наблюдательность развита у всех по-разному. При решении задач № 9 и 14 потребуется проявить конструктивные способности. Напоминаем учителю, что нельзя торопить ученика с решением и сразу давать подсказки: у каждого ученика свой темп и способ решения, а потому необходимо стре- миться к максимальной индивидуализации работы с учениками, уменьшая долю фронтальной работы на уроке. УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ УЧЕБНИКА 3. В задании нужно из предложенных рисунков вы- брать те, которые являются развертками куба. 4. Необходимо расставить обозначения граней куба в соответствии с уже отмеченными. 5. Задание на сопоставление развертки куба и его изображения. 6. По развертке куба и нанесенным на нее числам требуется посчитать сумму чисел на противоположных 50 гранях куба, т. е. сначала определить, какие грани являются противоположными. 7. В этой задаче необходимо, имея изображение куба и зная числа на трех его гранях, соотнести это изображе- ние с данной разверткой и установить соответствие между числами на гранях куба, числами на развертке и требованием задачи, чтобы сумма чисел на противопо- ложных гранях равнялась семи. 8. Задание, в котором нужно изобразить куб в раз- личных ракурсах: слева снизу, справа сверху, справа снизу, помогает не только в чтении чертежа, но и в его выполнении, когда нужно выбрать удобное для реше- ния изображение многогранника в соответствии с тре- бованием задачи. В старшей школе при изучении сте- реометрии это умение будет необходимо для решения задач со сложными конструкциями. Выполняя задание, полезно сначала выяснить, какая из вершин куба (его «уголок») будет находиться ближе к наблюдателю, затем обвести сплошной линией три выходящих из нее ребра, потом выяснить, какие грани видны полностью — их обвести сплошной линией, и, наконец, дорисовать пунктиром невидимые ребра куба. 9. В задаче требуется измерить (именно измерить, а не вычислить) диагональ не пустого куба. Чтобы на- править мысль решающего в нужное русло, можно за- дать наводящие вопросы, например: «Что мешает про- извести непосредственное измерение?» [Кубик не пус- той.] «Как можно расположить кубики, чтобы между ними образовалось пустое пространство, имеющее не- что общее с кубиком?» Эти и другие вопросы помогают ученикам додуматься до необходимости сдвига (пере- носа) куба. 12. В задании требуется из полоски бумаги размером 1 u 7 сложить единичный куб. Решая задачу, школьник должен сообразить, что полоску необходимо перегнуть по некоторым линиям, чтобы получить верхнее и ниж- нее основания. К такому решению приводит также под- счет количества квадратов, необходимых для складыва- ния куба. Полоска содержит 7 квадратов, нужно всего 6 квадратов, значит, один квадрат оказывается где-то внутри после сворачивания полоски. Но внутри ока- 51 зывается не целый квадрат, а половины двух квадратов, которые нужно согнуть по диагонали. 13. Проверку решения задачи хорошо бы осущест- вить экспериментально, т. е. осветить модель куба на- правленным пучком света и, поворачивая куб, добиться требуемого в задаче результата. 14. В задаче не обязательно получать минимальный ответ. Даже если ученик «распиливает» куб последова- тельно по частям — каждую отдельно — и дает верный для данного способа ответ, задача считается решенной. Конечно, следует предложить найти минимальное чис- ло распилов, при этом предупредив, что отпиленные части можно как угодно перекладывать. 15. В задаче требуется найти кратчайшее расстояние по поверхности куба между его противоположными вершинами. Фактически это стереометрическая задача, решаемая методом развертки. Ответом учеников на воп- рос задачи чаще всего является неверное решение, когда кратчайшим путем считают ломаную, состоящую из ребра куба и диагонали грани. Ошибочность решения демонстрируется с помощью развертки куба: на ней от- мечаются места расположения паука и мухи и проводит- ся отрезок прямой, соединяющей эти точки. Учащиеся видят, что верным решением является путь, проходя- щий через середину ребра куба. Можно продолжить за- дачу и выяснить, сколько существует различных крат- чайших путей. § 6. ЗАДАЧИ НА РАЗРЕЗАНИЕ И СКЛАДЫВАНИЕ ФИГУР(1 ч) Основное понятие:равенство фигур. Предметные результаты: изображать равные фигуры и обосновывать их равенство; конструировать заданные фигуры из плоских геометрических фигур; создавать и манипулировать образом: расчленять, вращать, совме- щать, накладывать. Метапредметные результаты: развитие образного мышления, конструкторских способностей, умения пред- восхитить результат, формирование коммуникативных умений. 52 Личностные результаты: развитие познавательной ак- тивности; привитие вкуса к умственной работе. Внутрипредметные и межпредметные связи: плани- метрия (равенство фигур, симметрия, площадь, равнове- ликость и равносоставленность), геометрическая комби- наторика, черчение, технология. КОММЕНТАРИИ. Материал параграфа относится к раз- делу комбинаторной геометрии. Он логически разделен на две части. Первая часть — задачи на разрезание фигур. Цель решающего — разрезать указанную фигуру на две или несколько равных частей. Часто для упрощения эту фигуру делят на клетки. В этих задачах неявно вводится понятие равенства фигур (равными называются фигу- ры, совпадающие при наложении). Это определение ис- пользуется и для проверки равенства полученных фи- гур. Учитель начинает с наиболее простой задачи — раз- резать квадрат 4 u 4 клетки на две равные части так, что- бы линия разреза шла по сторонам клеток. Простейшее разрезание может найти каждый: пополам на два пря- моугольника 4 u 2. Затем учитель может показать про- цесс поиска других способов: полученную линию разре- за как бы растянуть, изламывая вправо-влево относи- тельно этой линии. Инстинктивно ученики должны почувствовать необходимость симметрии относительно центра квадрата: в таком случае равные половинки — квадраты — будут «вдвинуты» друг в друга. При разрезании фигур в задачах № 2 и 3 (рис. 40, б и 41 учебника) можно использовать и прием подсчета це- лых клеточек и их половинок. Но следует предостеречь учеников от ошибочного мнения о том, что равными яв- ляются те фигуры, у которых равны площади. Нельзя забывать и о форме! Вторая часть параграфа отдана игре «Пентамино». Подробнее о ней учитель может узнать из книг «Поли- мино» С. Голомба (М.: Мир, 1975) и «Математические головоломки и развлечения» М. Гарднера (М.: АСТ, 2010). Задачи с игрой «Полимино» хотя и просты по форме, но их решение требует некоторого навыка: общих прие- 53 мов составления фигур из «Полимино» практически нет. Учитель может начать работу с составления фигу- рок игры «Пентамино» — фигурок, состоящих из пяти квадратов, различным способом составленных друг с другом по целым сторонам клеток. Таких фигур полу- чится ровно 12 (рис. 42 учебника). Эту работу можно было выполнить на предыдущем уроке по теме «Куб и его свойства», а на дом дать задание изготовить игру «Пентамино»из плотной бумаги, одинаково окрашен- ной с обеих сторон (при выполнении заданий фигурки можно переворачивать наизнанку, и, чтобы не отвле- кать учеников, лицевая и изнаночная стороны не долж- ны отличаться по цвету). Упражнения с игрой «Пентамино» можно упростить, давая такие з а д а н и я: а) сложить из двух пар фигур «Пентамино» одинако- вые фигурки; б) сложить две фигурки, одна из которых имеет вдвое большие линейные размеры, чем другая (можно просто сказать «вдвое больше»). Затем переходить к более сложным заданиям. § 7. ТРЕУГОЛЬНИК(1 ч) Основные понятия: треугольник, многоугольник, сторо- на, вершина, угол многоугольника; виды треугольников; пирамида, тетраэдр; понятие жесткости многогранников. Предметные результаты: вычерчивать треугольник за- данного вида, строить треугольник по двум сторонам и уг- лу между ними, по стороне и прилежащим к ней углам, по трем сторонам с использованием чертежных инструмен- тов; изготавливать развертки многогранника; создавать образ и манипулировать им. Метапредметные результаты: формирование иссле- довательских умений, развитие конструктивных способ- ностей, формирование логических умений: высказывание гипотезы на основании индуктивных рассуждений; выпол- нение творческого задания — рисование невозможного объекта, восприятие глубины пространства. Личностные результаты: воспитание аккуратности, трудолюбия, настойчивости. 54 Внутрипредметные и межпредметные связи: систе- матический курс геометрии. КОММЕНТАРИИ. Материал параграфа обладает боль- шой учебной емкостью. Он включает знания и умения, относящиеся к базовым в геометрии, поэтому необ- ходимо добиться максимально возможного усвоения этого учебного материала. Содержание параграфа по- добрано таким образом, что учитель может, используя его, создать положительные мотивы изучения, заинте- ресовав учащихся, и организовать деятельность с учетом психологических их особенностей (смена различных видов деятельности). Содержание параграфа делится на три смысловые части. В первой части выясняется, что такое много- угольник, треугольник, рассматриваются виды тре- угольников и вопрос о сумме углов в треугольниках; де- монстрируется флексагон (изгибаемый многогранник). Вторая часть — работа с тетраэдром. Третья часть включает построение треугольника по трем заданным элементам с помощью чертежных инструментов. Урокможно начать с показа ученикам флексагона, окрашенного в три цвета (тригексафлексагон). Процесс его изготовления показан на рисунке 55 учебника. Эта геометрическая фигурка вызывает удивление и подлин- ный восторг у учащихся: наих глазах «плоский» шести- угольник, имеющий красную и синюю стороны (лице- вая и изнаночная стороны), превращается в шести- угольник с синей и зеленой сторонами, а затем с зеленой и красной. Это настоящий фокус! Как самим сделать такую игрушку? Учитель разворачивает флексагон, и ученики замеча- ют, что развертка фигурки представляет собой десять треугольников, уложенных в полоску. Какие это тре- угольники? И что значит «треугольники»? Ответам на эти вопросы необходимо выделить время. Таким обра- зом, можно создать положительный мотив учения. Треугольник относится к семейству многоугольни- ков. Рассматривая с учениками слово «многоугольник», учитель выделяет две части, указывающие на основные признаки этой фигуры. Но указания на то, что у фигуры много углов, еще недостаточно для определения много- 55 угольника. Рисунки 44, 45 и 46 учебника показывают отличие многоугольников от фигур, таковыми не яв- ляющихся. Находя сходства и различия фигур, ученики под руководством учителя формулируют, что много- угольником является фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией, звенья которой не пересекают друг друга. Это определение должно быть понятно ученикам настолько, чтобы они могли на рисунке узнать много- угольник; требовать же воспроизведения определения не следует. Аналогично выяснение сходства и различия много- угольников на рисунках 44, а, б и 45, а, б учебника дол- жно подвести учеников к понятию выпуклого много- угольника и к способу выяснения выпуклости много- угольника. Если многоугольник лежит по одну сторону от прямой, проведенной через каждую его сторону, то он выпуклый (его можно поставить вертикально, чтобы он касался поверхности стороной). Затем переходят к простейшему многоугольнику — треугольнику и классификации треугольников по нали- чию равных сторон и по величинам его углов. Клас- сификацию сопровождают рассмотрением моделей тре- угольников или рисунков. Важно, чтобы учащиеся по- няли, что классификация (или разделение на группы) проводится по какому-то заранее определенному признаку, и что каждый треугольник может быть отне- сен к нескольким группам, например, быть равнобед- ренным и прямоугольным, равносторонним и остро- угольным и т. п. в зависимости от признака, по которо- му осуществляется разделение на классы. Закреплением этого материала является выполнение задания по на- хождению треугольников заданного вида (рис. 48 учеб- ника). Это задание можно выполнять и на глаз, и с использованием измерительных инструментов. Форми- рованию изобразительно-графических навыков спо- собствует выполнение задания № 2 по изображению треугольников. Учитель может показать ученикам прак- тические приемы изображения различных видов тре- угольников на клетчатой бумаге, не останавливаясь на объяснениях, так как свойств этих фигур ученики еще не знают. Урок завершается выполнением задания на 56 составление паркета из равных треугольников. Под- сказкой к решению этой задачи может служить рассмот- ренная в начале урока развертка флексагона. Основная идея состоит в том, что два равных треугольника образу- ют параллелограмм, а параллелограмм укладывается в полоску. Затем эти одинаковые полосы покрывают всю плоскость. Возможность построения паркета из равных треугольников объясняется тем, что сумма углов тре- угольника равна 180q, т. е. три угла треугольника состав- ляют развернутый угол — так получаются полосы. Сос- тавление паркета позволяет ученикам сделать и обрат- ный вывод о сумме углов треугольника. Если эта работа для ученика сложна, ее можно заменить выполнением задания № 1 по измерению углов и суммированию ре- зультатов. Это задание можно дать на дом в виде прак- тической работы с оформлением результатов в табли- це. Обсуждение результатов приводит к гипотезе о сум- ме углов треугольника. Учитель обращает внимание учеников на этот важный вывод, предлагает этот факт использовать при ответе на вопросы заданий № 1 (б) о существовании треугольника с двумя прямыми углами, № 1 (в) о существовании треугольника, все углы кото- рого больше 70q, № 1 (г) о существовании треугольника, все углы которого меньше 50q. Обоснования ответов, предлагаемые учениками, являются простейшими гео- метрическими дедуктивными рассуждениями, к кото- рым можно подводить школьников уже в 5 классе. Задачу № 3 можно предложить учащимся решить до- ма, где они могут экспериментировать и с рисунками, и с треугольниками, вырезанными из бумаги. На уроке времени на эту задачу может не хватить. Вторая часть полностью посвящена практическому изучению тетраэдра. Перейти от треугольников к пира- мидам можно после выполнения задачи № 4 на разбие- ние шестиугольника на треугольники и составления различных многоугольников из треугольников на плос- кости. От плоскости переходят к пространству: учени- кам предлагается к сторонам правильного треугольни- ка, лежащего на столе, приставить три таких же тре- угольника с общей вершиной. Ученики получают тетраэдр. 57 После объяснения термина «пирамида», учитель ор- ганизует исследовательскую деятельность учащихся, аналогичную работе по выяснению свойств куба (см. § 5). Интересны задачи № 5 и 6 на перекатывание пра- вильного тетраэдра. В задаче № 5 дан тетраэдр, грани которого окрашены в разные цвета, и его «след», оставленный после перека- тывания. След не закрашен, известны лишь цвета пер- вого и второго треугольников следа. Нужно определить цвет последнего треугольника. В задаче № 6 такой же тетраэдр, совершая некоторый путь перекатыванием, возвращается в исходное положе- ние. Надо определить, вернется ли он на грань того же цвета, с которой начинал движение, и постараться объяснить результат. Данные номера являются яркими задачами, предпо- лагающими многоуровневое решение в соответствии со способом мышления, характерным для этого возраста. Они могут быть решены на уровне предметной де- ятельности, когда ученик находит ответ в результате не- посредственного перекатывания тетраэдра. Они могут быть также решены в уме, и тогда все операции по пере- катыванию производятся мысленно. «Логикам» можно предложить способ решения, основанный на кодирова- нии вершин тетраэдра числами 1, 2, 3, 4: если зако- дировать каждую вершину, то соответствующие коды можно будет расставить у вершин треугольников следа. Расставленные цифры на траектории движения тетраэд- ра покажут цвет последней грани. Этот способ решения полезно показать и всем остальным ученикам, так как в дальнейшем он будет использоваться при решении ком- бинаторных геометрических задач. Затем провести работу на построение развертки три- гексафлексагона. Лучше раздать ученикам трафарет — вырезанный из картона правильный треугольник, так как развертка должна быть выполнена очень аккуратно, от этого зависит складывание флексагона. Необходимо обратить внимание учащихся на важность соблюдения последовательности раскраски треугольников на раз- вертке флексагона, особенно на изнаночной стороне. 58 Чтобы последовательность не была нарушена, перево- рачивать наизнанку окрашенную с лицевой стороны полосу нужно строго в соответствии с рисунком, соблю- дая ориентацию полосы. Ученикам, заинтересовавшимся изготовлением этих многогранников, можно показать, как строятся раз- вертки гексафлексагона с шестью «сторонами», т. е. раскрашенного в шесть различных цветов, и пореко- мендовать книгу М. Гарднера «Математические голово- ломки и развлечения» (М.: АСТ, 2010), в которой пока- зано построение разверток флексагонов и с другим количеством сторон. Третья часть посвящена рассмотрению задач на по- строение треугольника по двум сторонам и углу между ними, по стороне и прилежащим к ней углам и по трем сторонам. Попутно из практики ученики получают не- равенство треугольника как условие построения тре- угольника по трем сторонам. В этом параграфе продолжается рассмотрение невоз- можных фигур. Это треугольник Пенроуза. Ученикам можно дать на дом задание придумать и нарисовать свой невозможный объект. Так как это творческое задание, оно выполняется учениками по желанию. На следую- щем уроке учитель может показать какой-нибудь из не- возможных объектов, придуманных учениками. |