Isbn 9785358173804Ерганжиева, Л. Н
 Скачать 0.57 Mb.
|
|
§ 29. СИММЕТРИЯ(2 ч) Основные понятия:зеркальная, осевая, центральная симметрия; ось симметрии; симметричные фигуры; сим- метричные точки и их построение; способы проверки сим- метричности фигуры. Предметные результаты: находить в окружающем ми- ре плоские и пространственные симметричные фигуры; рисовать, чертить, вырезать симметричные фигуры; опре- делять на глаз количество осей симметрии, центр симмет- рии; аргументировать свои утверждения. Метапредметные результаты: формирование умений по организации и проведению эксперимента, предвиде- нию результата и выдвижению гипотез. Личностные результаты: формирование познаватель- ной активности, интереса к геометрической и исследова- тельской деятельности, формирование чувства пре- красного, эмоционального восприятия мира. Межпредметные и общекультурные связи: планимет- рия (симметрия), искусство, технология; симметрия в ар- хитектуре, дизайне, искусстве, ювелирном деле и др. КОММЕНТАРИИ. Рассматриваемый параграф является очень емким как в плане теоретического материала, так и в плане проведения практических работ. Параграф логически делится на две части. В первой части вводится термин «симметрия», к которому уча- щихся подводит предыдущий урок. Зеркальное отраже- ние называют новым для учащихся термином «зеркаль- ная симметрия». Чтобы определить, является ли фигура зеркально-симметричной, надо мысленно попытаться поставить зеркало так, чтобы отраженная половинка до- полнила фигуру до целой, и если удастся найти такую линию, по которой проходит зеркало, то фигура зер- кально симметрична. Такая линия называется осью симметрии, а фигура, если она плоская, симметрична относительно оси. Далее учащиеся должны самостоя- тельно установить практический способ проверки пло- ской фигуры на симметричность. Для этого учитель раз- дает вырезанные из бумаги фигуры, среди которых есть и симметричные, и несимметричные. Предполагается, что задание выполняется без линейки и карандаша, а ученики уже прочно усвоили способ проведения пря- 115 мых линий на бумаге путем ее перегибания. Итак, прак- тический способ состоит в перегибании фигуры попо- лам: если половинки совпадут, то фигура симметрична относительно линии сгиба. Затем ученики находят симметричные фигуры в учебнике на рисунке 244 и в окружающей обстановке. В ходе обсуждения учитель как бы невзначай задает вопрос о количестве осей симметрии, т. е. выясняет, сколько различных линий сгиба можно провести, чтобы половинки фигурки совпали. Безусловно, среди назы- ваемых учениками фигур обязательно найдутся фигуры, у которых более одной оси симметрии. Число осей сим- метрии у различных геометрических фигур ученики на- ходят и по рисунку 248 учебника, выясняя, что «самой симметричной» фигурой является круг — у него беско- нечно много осей симметрии, как и бесконечно много диаметров. От созерцания и мысленной работы ученики перехо- дят к практической деятельности. Им нужно получить фигуры с одной осью симметрии (клякса) и четырьмя осями (снежинка). Предварительно учитель должен в ходе фронтальной беседы наметить план выполнения задания, обратив особое внимание на число сложений бумаги для вырезания снежинки. Обязательно нужно в конце работы проанализировать результат, т. е. выяс- нить, действительно ли снежинка имеет четыре оси симметрии, не получились ли у школьников снежинки с другим числом осей. Следующий этап работы носит логический характер. Рассматривая в учебнике рисунки 249 и 250, ученики должны проанализировать их, сравнить, выделить существенные и несущественные свойства фигур, найти общее и отбросить лишние фигуры. При этом ученики должны отвечать аргументированно, и, если есть разные точки зрения, следует разобрать их. Так, среди фигур в учебнике на рисунке 250 лишней может быть признана третья фигура, как не имеющая оси симметрии, или четвертая, как не имеющая дугообразных (закруглен- ных) элементов. И первое, и второе решения правиль- ные в зависимости от выбранного общего признака. Эта задача показывает ученикам, что не на каждый вопрос можно ответить однозначно. 116 Если в конце урока осталось немного времени, мож- но предложить ученикам вырезать из бумаги фигуры, имеющие разное количество осей симметрии, написать на фигуре число осей и фамилию изготовителя и сдать работу. Так учитель может проконтролировать усвоение материала. Второй урок начинается с повторения терминоло- гии и практических способов изготовления и проверки симметричных относительно прямой фигур. Затем про- водится работа с зеркалами. Два плоских зеркальца ста- вятся под определенным углом друг к другу, между ни- ми на бумаге рисуется какая-нибудь линия и рассматри- вается фигура, полученная при отражении этой линии в зеркалах. Сколько осей симметрии имеет фигура, если угол между зеркалами 60q, 45q, 90q градусов и т. д.? Следующая работа — мысленное приставление зер- кал под углом 90q и изображение отражения кривой. Ре- зультат — симметричная фигура. Это задание учитель может сначала выполнить сам на доске, чтобы показать этапы работы, провести необходимые рассуждения, т. е. дать образец выполнения задания. Проконтролировать правильность решения можно с помощью реальных зеркал, приставленных к рисунку. Основная часть урока — построение ломаной, сим- метричной данной относительно прямой. Алгоритм по- строения дан в учебнике, рисунок 252 показывает каж- дый этап построения. Алгоритм должен быть понят уче- никами и отработан на аналогичных упражнениях. Только убедившись в усвоении материала, можно пере- ходить к следующим заданиям с зеркалами. Эти задания ученики выполняют самостоятельно, причем сами мо- гут изменять их по своему желанию. Заключительная часть урока посвящена рассмотре- нию центральной симметрии и центрально-симметрич- ных фигур. Учитель должен подготовить демонстраци- онное пособие, представляющее собой лист плотной бу- маги с наклеенной на него центрально-симметричной фигурой, проколотой проволочкой в центре симметрии, и закрепленной в этой точке второй фигурой, равной первой и свободно вращающейся вокруг проволочки. Важно не только заметить особенности центрально- 117 симметричных фигур, но и обсудить их с учениками, предложить ученикам найти в окружающей обстановке симметричные фигуры. Кроме того, обратить внимание на существование фигур, у которых есть ось симметрии, но отсутствует центр симметрии; фигур, у которых, на- оборот, есть центр симметрии; а также фигур, у которых есть и центр, и ось симметрии. Урок приобретет большую эстетическую направлен- ность, если учитель сможет показать применение сим- метрии в архитектуре, дизайне, искусстве, ювелирном деле и т. п. Для этого можно использовать всевозмож- ные альбомы, открытки, репродукции. Полезно при- гласить на урок учителя рисования или культуролога. О симметрии в музыке может рассказать учитель музы- ки, о симметрии в поэзии — учитель литературы. Мож- но также дать ученикам задание подготовить небольшие сообщения на эту тему и третий урок (если учитель от- водит на изучение параграфа три урока) провести в виде семинара, конференции или выставки. § 30. БОРДЮРЫ(1 ч) Основные понятия:симметричные орнаменты, бордю- ры, трафарет, параллельный перенос, поворот, сим- метрия. Предметные результаты: рисовать различные бор- дюры с помощью геометрических преобразований; со- здавать мысленный образ и манипулировать им (вращать, перемещать, совмещать, осуществлять параллельный перенос); воспринимать пространственное расположе- ние объектов, выявлять свойства объекта из наглядного материала. Личностные результаты: развитие познавательной активности и интереса к предмету, воспитание аккурат- ности и трудолюбия, эстетическое и общекультурное раз- витие. Внутрипредметные и межпредметные связи: плани- метрия (геометрические преобразования, симметрия, па- раллельный перенос, поворот), искусство, технология; бордюры в архитектуре, в оформлении помещений, на- родном творчестве и др. 118 КОММЕНТАРИИ. Изучение симметрии продолжается в ходе практической деятельности учащихся в течение следующих двух уроков. На первом уроке, еще раз рассматривая и вырезая снежинки с различным числом осей симметрии, ученики проникаются идеей симмет- рии, учатся чувствовать ее, выполнять задания в соот- ветствии с начальными условиями. Экспериментируя со снежинками, ученики приходят к выводу, что для изготовления фигуры, у которой n осей симметрии, круг-заготовку необходимо разделить на 2n частей. На этом повторение пройденного материала можно закон- чить: ученики вспомнили термины, воссоздали образы, поработали практически. Следующий этап первого урока — изготовление сим- метричных лент. Учитель показывает, как изготавлива- ются такие ленты, обращая внимание на наличие не- разрезанных участков на линиях сгибов, а затем учени- ки приступают к самостоятельной работе. Рисунки лент могут быть самыми различными, но главное, чтобы каждый ученик изготовил и ленту, имеющую только вертикальные оси симметрии между мотивами, и ленту, имеющую еще и горизонтальную ось симметрии (на- помним, что для этого полоска бумаги должна быть предварительно свернута пополам вдоль). Ленту, анало- гичную приведенной в учебнике на рисунке 259, лучше сделать учителю на глазах у учеников после небольшого обсуждения процесса изготовления, так как в работе ис- пользуется лезвие бритвы или острый нож — инстру- менты, небезопасные для детей. Дома аналогичные лен- ты ученики могут сделать вместе с родителями. Переходом к работе с трафаретами может послужить рассмотрение всевозможных линейных орнаментов: бордюров в архитектуре, в оформлении помещений, на- родном творчестве и т. п. Хорошо при этом использо- вать открытки, слайды, плакаты — любой наглядный материал, который можно найти в кабинете рисования, библиотеке, дома. Анализируя рассматриваемые бордю- ры, учитель вместе с учениками выделяет основной эле- мент — мотив — и выясняет, как из этого мотива полу- чается весь бордюр. Ученики, не зная терминов, долж- ны для объяснения использовать обычные, бытовые 119 слова, которым в дальнейшем учитель представит мате- матические термины. Если в конце урока останется время, можно раздать ученикам вырезанные заранее трафареты и организо- вать соревнование с ними. Кто нарисует больше различ- ных лент с помощью одного трафарета? Продолжить не- законченную работу можно дома с помощью взрослых. При этом надо помнить, что рисунок трафарета не дол- жен быть симметричным. В случае симметричного тра- фарета разные геометрические преобразования приве- дут к одинаковым результатам. Далее рассматривается более формальный, абстракт- ный материал: термины «параллельный перенос», «по- ворот», «центральная и осевая симметрии» и различные трафареты (рис. 265 учебника). Это логическая деятель- ность по обоснованию результатов тех или иных пре- образований различных трафаретов: анализ, синтез, аналогия, абстрагирование. Элемент творческой дея- тельности присутствует в самостоятельном составлении трафаретов различных видов и рисовании бордюров из букв русского или латинского алфавита. Напомним, что творческие работы учащихся должны быть помещены на выставке. В конце урока учитель еще раз повторяет новые тер- мины, введенные на уроке, рассматривая с учениками в учебнике рисунок 268. § 31. ОРНАМЕНТЫ(2 ч) Основные понятия:замощение плоскости без промежут- ков, паркет, элементарная ячейка паркета. Предметные результаты: использовать геометриче- ские преобразования для составления паркета; восприни- мать пространственное расположение объектов, создавать мысленный образ и манипулирование им (осу- ществлять параллельный перенос, поворот, симметрич- ное отражение, совмещение). Метапредметные результаты: выполнение творчес- ких заданий по составлению паркетов. Личностные результаты: формирование эмоциональ- ного отношения к геометрическим занятиям, эстетиче- ское и общекультурное развитие. 120 Внутрипредметные и межпредметные связи: плани- метрия (геометрические преобразования: симметрия, по- ворот, параллельный перенос), искусство, технология. КОММЕНТАРИИ. Геометрические преобразования, рассмотренные на предыдущих уроках, используются для построения плоских орнаментов — паркетов. Как и в бордюрах, в паркетах выделяется мотив — элементар- ная ячейка. Затем, применяя параллельный перенос, поворот, симметрию или композицию этих преобразо- ваний, добиваются плотной упаковки ячеек на плоскос- ти без промежутков. На усвоение темы предлагается отвести два урока. Первый урок начинается с небольшой разминки. Ученикам раздаются квадраты с нарисованными внутри линиями. Квадрат должен быть расчерчен на маленькие квадраты или сделан из обыкновенной тетрадной клет- чатой бумаги, чтобы ученикам легче было переносить соответствующие линии в тетрадь. Задание: нарисовать квадратный орнамент из четырех одинаковых квадра- тов, используя данный (его можно как угодно повора- чивать, симметрично отображать и сдвигать). Рисунки получаются различные. Затем результаты обсуждаются, и учитель завершает обсуждение тем, что говорит о воз- можности заполнения такими орнаментами всей плос- кости без промежутков. Теперь можно перейти к паркетам голландского ху- дожника Мориса Эшера, изображенным в учебнике на рисунках 269, 271. Полезно будет напомнить, что весь демонстрируемый материал должен удовлетворять ос- новным требованиям к наглядным пособиям, т. е. ри- сунки должны быть четкими, крупными, видными в де- талях издалека или размножены по крайней мере по ко- личеству парт в классе. Рассматривая паркеты, ученики должны выделить элементарную ячейку или мотив и догадаться, с помощью каких преобразований получен весь орнамент. Задача учителя при этом состоит еще и в создании некоего эмоционального подъема у учащихся, так как стройность и красота паркетов вызывают обыч- но удивление и восторг. Следующий этап урока более прозаичен, но необхо- дим для овладения умением самостоятельно составлять 121 подобные орнаменты. На этом этапе рассматриваются решетки, составленные из простых геометрических фигур, — это рисунки 272 и 273 в учебнике и решаются задачи № 1 и 4. Решение задачи № 2 лучше проводить с использова- нием готовых ячеек. Учитель раздает ученикам различ- ные четырехугольники (по одному на парту) и предлага- ет составить паркет, считая этот четырехугольник эле- ментарной ячейкой. У каждой пары учеников получается свой паркет, рисунки разбираются, делается вывод о возможности замощения плоскости произ- вольными четырехугольниками. Второй урок предлагается полностью посвятить творчеству шестиклассников. Показав в начале урока процесс изменения элементарной квадратной или прямоугольной ячейки в более сложную и разобрав по шагам, как был нарисован паркет в учебнике на рисун- ке 275, учитель предлагает ученикам самостоятельно за- няться творчеством. Готовые паркеты хорошо было бы раскрасить и тут же поместить на выставку. По ходу уро- ка учитель помогает ученикам справиться с заданием, возможно, сам предлагает темы или начинает преобра- зование ячейки. Рассматриваемые на предыдущем уро- ке орнаменты М. Эшера вывешены на доске. К ним можно подойти, внимательно рассмотреть. Заметим, что на уроке, хотя и должен поддерживаться порядок, но атмосфера должна быть свободной, ученики должны чувствовать себя раскрепощенно. Каждого из них нуж- но похвалить за оригинальность или аккуратность, под- держать или направить. УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ УЧЕБНИКА 1. К решению первой задачи может подвести рису- нок 273 в учебнике, на котором изображены ячейки в виде параллелограммов. Нетрудно заметить, что парал- лелограмм разбивается на два равных треугольника. Значит, идя в рассуждениях в обратном направлении, т. е. составляя из двух равных произвольных треуголь- ников параллелограмм, можно замостить плоскость произвольными треугольниками. 122 2. Решению же задачи поможет рисунок 274 в учеб- нике, элементарной ячейкой на котором является пра- вильный треугольник — одна шестая часть правильного шестиугольника. 3. Наиболее трудная, на наш взгляд, задача. В ней нужно придумать пятиугольную ячейку. Подсказкой к решению может оказаться задача на деление квадрата на равные пятиугольники, которую можно заранее предложить ученикам на дом, а проверить решение до- машней задачи именно сейчас, будто бы только вспом- нив о домашнем задании. § 32. СИММЕТРИЯ ПОМОГАЕТ РЕШАТЬ ЗАДАЧИ(1 ч) Основные понятия:основные свойства симметричных фигур, понятие доказательства. Предметные результаты: строить фигуры при осевой симметрии; выполнять рисунок, соответствующий усло- вию задачи, проводить дополнительные построения, проводить простейшие доказательства. Личностные результаты:развитие настойчивости в до- стижении цели, любознательности, аккуратности, форми- рование интереса к геометрии. Внутрипредметные и межпредметные связи: плани- метрия (симметрия). КОММЕНТАРИИ. Этот и следующий параграфы боль- ше соотносятся с систематическим курсом геометрии, чем с курсом наглядной, практической геометрии. Тем не менее в конце 6 класса логическое, абстрактное мышление многих учащихся развито в достаточной ме- ре для усвоения доказательств и решения несложных за- дач, поэтому рекомендуется учителю все же рассмотреть эти два параграфа. Безусловно, основная нагрузка на уроке ложится на учителя, доля практической работы учащихся мала, умений работать с геометрическими за- дачами у школьников нет. Учитель должен показать, как анализировать условие задачи, как по условию зада- чи сделать рисунок, как проходит процесс поиска плана решения и как этот план реализуется. 123 Тема параграфа выбрана не случайно. Симметрия, рассмотренная на предыдущих уроках с точки зрения ее практических приложений, является еще и мощным методом решения задач. Достаточно вспомнить, что в учебнике А. Н. Колмогорова «Геометрия. 6—8 классы» симметрия выступала основным методом доказательст- ва теорем и решения задач, которые становились на- глядными и доступными. В параграфе даны основные свойства симметрии, рассмотрено решение задачи № 1 и предлагаются задачи № 2—5 для совместного решения в классе. Основные свойства симметрии можно сформулиро- вать как результат лабораторно-практической работы по плану учителя. Формулировки свойств заучивать не нужно, ведь на данном этапе овладения геометрией главная задача состоит в формировании опыта геомет- рической деятельности учеников, включающего и эле- менты логических рассуждений. Касаясь вопроса решения задач № 2—5, заметим, что логическому обоснованию может предшествовать прак- тический этап, когда задача решается, например, пере- гибанием листа бумаги (№ 2 и 3) или методом проб и ошибок (№ 4 и 5). Поиск решения задачи может сопровождаться систе- мой наводящих вопросов учителя. Подробный анализ задачи № 2 дает ученикам не только решение, но и образец рассуждений, который они могут применить при самостоятельном решении за- дач № 2 и 3. Важно показать ученикам, как связаны между собой решения разных задач. Так, в решении задач № 4 ис- пользуется факт, который объяснен при разборе второй задачи, а именно: симметричность концов отрезка, ле- жащих на окружности (концов любой хорды окружнос- ти), относительно диаметра, перпендикулярного хорде и проходящего через его середину. Вопрос об особен- ности расположения относительно друг друга всех диа- метров одной окружности (все они проходят через центр) наводит на необходимость построения двух диа- метров и нахождения их точки пересечения. Положение центра окружности и одной ее точки полностью опреде- ляют саму окружность. 124 УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ УЧЕБНИКА 2. Наводящие вопросы в задаче могут быть следую- щими: — Как расположены относительно друг друга пря- мые, пересекающие окружность? — Какие дуги оказались равными? Выделим их. — Равные дуги — дуги, совпадающие при наложе- нии. Как перегнуть окружность, чтобы выделенные дуги совпали? — Чем для окружности является линия сгиба? — Какое свойство диаметра окружности нам из- вестно? — Действительно ли концы дуг симметричны отно- сительно диаметра? — Перпендикулярны ли данные прямые диаметру и делятся ли отрезки прямых, заключенные внутри ок- ружности, диаметром пополам? После ответов на эти вопросы решение оформляется от последнего вопроса к требованию задачи. Учитель может предложить ученикам форму записи условия и решения задачи в тетради. Но если он сочтет это лишним, вполне можно ограничиться устным разбором, сопровождающимся некоторыми записями на доске. 5. Задача аналогична № 1, разобранной в тексте учебника, хотя и немного сложнее. Ее решение учитель может полностью рассказать сам (безусловно, объясне- ния учителя не должны быть чисто синтетическими, в них должны присутствовать и элементы аналитических рассуждений). |