Isbn 9785358173804Ерганжиева, Л. Н
 Скачать 0.57 Mb.
|
|
§ 8. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ (2 ч) Основные понятия:тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр, формула Эйлера. Предметные результаты: различать и называть пра- вильные многогранники; вычислять по формуле Эйлера; изготавливать некоторые правильные многогранники из их разверток. Метапредметные результаты: развитие конструктив- ных способностей, пространственных представлений, во- ображения, формирование приемов исследовательской деятельности и коммуникативных умений. Личностные результаты: эстетическое восприятие гео- метрии, воспитание уважения к ученым, гордости за оте- чественную науку. 59 Внутрипредметные и межпредметные связи: стерео- метрия (многогранники, правильные многогранники), черчение. КОММЕНТАРИИ. Предполагается, что эта тема послед- няя в первом полугодии 5 класса, она рассматривается накануне Нового года, и уроку следует придать волшеб- ную, праздничную окраску. Начав с демонстрации моделей пяти правильных многогранников и рассказа о приписываемых им в древности магических свойствах, учитель может перейти к их свойствам: теореме Эйлера и двойственности многогранников. Теорема Эйлера до- статочно наглядна, надо лишь заполнить таблицу, под- считав число вершин, граней и ребер каждого много- гранника. Иллюстрация же двойственности менее на- глядна, а потому требует изготовления специальных пособий. Так, если модели платоновых тел изготовлены из прозрачного материала, центры граней можно соеди- нить цветными нитями, которые будут ребрами соот- ветствующего двойственного многогранника. Объясне- ние можно провести, сопоставив число вершин и гра- ней куба и октаэдра, додекаэдра и икосаэдра и сравнив число вершин и граней тетраэдра. Основная нагрузка урока приходится на изготов- ление разверток правильных многогранников. Лучше раздать ученикам заготовки — правильные треугольни- ки, квадраты и правильные пятиугольники. Цель уча- щихся — нарисовать (начертить) с помощью заготовок развертки многогранников, наметить клапаны для скле- ивания и склеить свои елочные игрушки. Работа доста- точно утомительная, трудоемкая, требующая большого напряжения и аккуратности, а потому не следует торо- пить учеников с выполнением заданий (их можно за- кончить дома с родителями). § 9. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ(1 ч) Предметные результаты: конструировать заданные фигуры из плоских геометрических фигур; создавать и манипулировать образом при переходе от предметной деятельности к работе в уме. 60 Метапредметные результаты: развитие познаватель- ной активности. Внутрипредметные и межпредметные связи: плани- метрия (понятие площади); геометрическая комбинато- рика. КОММЕНТАРИИ. Одной из особенностей наглядной геометрии является занимательность. Увлеченный иг- рой ученик развивает свои способности, увлеченный геометрическими головоломками развивает геометри- ческую интуицию, геометрическое зрение, пространст- венное мышление. Формирование и развитие этих свойств мышления — основная задача параграфа. Начиная с уже знакомых по постановке задач на раз- резание, учащиеся под руководством учителя изготав- ливают новую игру-головоломку «Танграм» и переходят к складыванию фигурок (рис. 66 учебника). Возможно, у отдельных учащихся это задание вызовет затруднения. В таком случае учитель может начать с анализа скла- дываемой фигурки. Из каких частей она состоит? Какие элементы фигурки сразу можно узнать среди семи час- тей игры «Танграм»? Какие элементы остаются? Каких можно составить из оставшихся частей головоломки? Когда фигурка сложена, полезно еще раз проверить правильность выполнения задания. Так ли ориентиро- ваны фигурки? Пропорциональны ли элементы? В ходе преподавания было замечено, что некоторым учащимся легче было работать не с самими фигурками игры «Танграм», складывая из них картинки, а с каран- дашом — разделяя готовую картинку на составные эле- менты. Видимо, в этом проявляется большая склон- ность ученика к анализу, нежели к синтезу, и этому не следует препятствовать. После выполнения основных заданий параграфа учитель может предложить более творческую работу — придумать картинки, которые складываются из всех се- ми частей игры. Эту работу легче выполнить, если име- ется больше частей, как, например, в головоломке «Сто- махион». Изготовление ее и придумывание картинок можно дать ученикам на дом. Возможно, игрой увлекут- ся и взрослые, тогда геометрия станет любимым семей- ным развлечением. 61 Среди заданий параграфа есть одно, как бы переки- дывающее мостик к следующей очень важной и слож- ной теме «Измерение». Это задание № 8. Требуется найти площади всех частей игры «Танграм», если сторо- на клетки равна 1 (рис. 66 учебника). Решение можно осуществить простым подсчетом целых клеток иих частей-половинок, четвертей, восьмушек. Это задание прекрасно иллюстрирует дроби и сложение дробей — основной материал курса математики 5 класса, а потому учителю лучше не торопиться, выполняя его вместе с учащимися, стремясь к тому, чтобы оно было понято и выполнено всем классом без исключения. Работу с игрой «Танграм» можно периодически во- зобновлять, давая ученикам новые задания, или на дом, или в качестве разминки на уроке. § 10. ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИНЫ(1 ч) Основные понятия:величина, измерение величины, еди- ницы измерения длины; точность измерения; способы из- мерения. Предметные результаты: измерять длину линейкой, измерять длину кривой линии, переводить одни единицы длины в другие; вычислять значения выражений, нахо- дить точность измерения прибора. Метапредметные результаты: установление причин- но-следственных связей. Личностные результаты: установление связи матема- тики с жизнью; развитие познавательной активности. Внутрипредметные и межпредметные связи: плани- метрия (измерение геометрических величин: длины), гео- графия, технология. КОММЕНТАРИИ. Вопросы измерения и вычисления длины, величины угла, площади и объема традиционно считаются центральными в пропедевтическом курсе геометрии. Результатом их рассмотрения в 5—6 классах должно стать свободное владение измерительными ин- струментами, понимание смысла этих понятий, а также того, что результат может быть получен с некоторой точностью, зависящей от измерительных инструментов. Учащиеся должны также овладеть некоторыми прак- 62 тическими приемами измерения, например, площади криволинейной фигуры с помощью палетки, объема по- лого тела с помощью банки известной емкости и т. п. Урок начинается с выяснения смысла измерения как сравнения с некоторым эталоном. Доступен и ярок при- мер измерения из мультфильма Э. Успенского «Трид- цать восемь попугаев». На нем можно показать про- извольность выбора единицы измерения и, ответив на вопрос: «Верно ли мнение Удава, что в Попугаях он длиннее, чем в слонах?» — подойти к важнейшему выводу: величина объекта измерения (длина, площадь и т. п.) не изменяется, в каких бы единицах ни изме- ряли. Второй важный вывод: отношение длин двух отрез- ков (равно как и других величин) есть число, которое не зависит от единицы измерения. Ученики должны его понять и запомнить. На этих свойствах основано пра- вило перехода от одних единиц измерения к другим, которое наглядно иллюстрируется задачей № 1, кото- рая посвящена единице измерения длины, названной «ялим». С целью общекультурного развития учащихся в па- раграфе даны в ознакомительном плане различные ме- ры длины, употреблявшиеся в прошлом и используемые в наши дни в разных странах. Нам представляется, что это весьма полезный материал, ведь часто в литературе и в повседневной жизни мы сталкиваемся с ними и под- час не можем даже приблизительно сказать, сколько это составляет метров, много это или мало. Для сравнения этих единиц длины предлагается выполнить задание № 2. Урок завершается беседой об измерении длин кри- вых линий. Рассматриваются два практических способа, которые можно условно назвать «спрямлением» и «раз- биением на отрезки». Эти способы в дальнейшем при- годятся учащимся при изучении длины окружности. На дом можно дать ученикам задание № 3, которое требует работы с литературой, и его выполнение может занять много времени. Учитель также может предло- жить ученикам написать на альбомных листах и проил- люстрировать картинкой найденные пословицы, а за- тем организовать выставку. 63 УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ УЧЕБНИКА 1. Задачу можно решить пропорцией: 10,8 км — 8,1 ялима, х км — 3,6 ялима, откуда х = (10,8 u 3,6) : 8,1 = 4,8 (км). О т в е т: 4,8 км. Учащиеся 5 класса, незнакомые с пропорциями, мо- гут решать задачу по вопросам: 1) Сколько километров составляет 1 ялим? 10,8 : 8,1 = (км). 2) Сколько километров до реки (сколько километров составляет 3,6 ялима)? u 3,6 = 4,8 (км). О т в е т: 4,8 км. 2. В задаче требуется записать все известные едини- цы длины в порядке возрастания. Нет необходимости проводить точные вычисления, достаточно прикидки, что тоже весьма полезно для формирования вычисли- тельной культуры. § 11. ИЗМЕРЕНИЕ ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМА(2 ч) Основные понятия:единицы измерения, измерение пло- щади палеткой; измерение углов, единицы измерения углов. Предметные результаты: измерять палеткой, мерным стаканом, транспортиром; применять нестандартные приемы измерения площади и объема, переводить едини- цы длины, площади и объема из одних в другие. Метапредметные результаты: придумывание нестан- дартных способов измерения величин на практике. Личностные результаты: формирование познаватель- ной активности, интереса к геометрии. Внутрипредметные и межпредметные связи: плани- метрия (измерение величин, площадь, объем, мера угла), география. КОММЕНТАРИИ. По структуре и содержанию данный параграф является продолжением § 10: в нем также рас- сматриваются пока лишь вопросы измерения, но не 4 3 --- 4 3 --- 64 затрагиваются вычисления длин, площадей и объемов. Главное для учителя — добиться понимания смысла из- мерения, выбора единицы измерения и аналогии с из- мерением длины. Выход на двойные неравенства имеет вопрос измерения площади кривой фигуры, в которой не укладывается целое число клеток, она заключена между двумя результатами измерения площади. Отсюда ясна необходимость дробления квадратной единицы на более мелкие: квадратные метры на квадратные санти- метры, квадратные сантиметры на квадратные милли- метры и т. д. Учитель при объяснении правила перевода одних квадратных (кубических) единиц в другие может встре- титься с непониманием учащимися того, что, например, 1 см = 10 мм, а 1 см 2 = 100 мм 2 и 1 см 3 = 1000 мм 3 . Воз- можно, в преодолении этой трудности поможет напо- минание учащимся, что при нахождении площади квад- рата перемножают его длину и ширину, а при нахожде- нии объема куба надо перемножить длину, ширину и высоту, которые равны между собой. Задание № 1 на перевод одних единиц измерения в другие позволит уче- никам потренироваться в таком переводе. Особенно хо- роши задания на перевод квадратной версты в квадрат- ные аршины и т. п., так как именно при их выполнении необходимо понимание смысла действия. Пониманию может способствовать работа с таблицами перевода еди- ниц измерения длины и площади, т. е. запись величин в эти таблицы. 1) Записать следующие величины в таблицу. 52 м = 5200 см (дописываем нули до разряда санти- метров); 52 см = 0,00052 км (приписываем нули спереди до разряда километров). Кило- метры Метры Децимет- ры Санти- метры Единицы Сотни Десятки Единицы Единицы Единицы 5 2 0 0 0, 0 0 0 5 2 65 2) Записать следующие величины в таблицу. 5 а = 50000 дм 2 ; 36 см 2 = 0,00000036 га. Рассуждения о выборе единицы измерения продол- жаются. Почему выбрали «квадратный сантиметр», а не «треугольный»? Можно ли в принципе пользоваться «треугольным сантиметром»? Ответ на этот вопрос мо- гут дать сами учащиеся, вспомнив решение задачи о по- крытии плоскости равными треугольниками. Задача № 2, в которой требуется определить количество «тре- угольных» сантиметров в треугольнике со стороной 7 см, использует результат этого покрытия. Разделив каждую сторону треугольника на 7 равных частей и со- единив соответствующие точки, ученики подсчитывают количество маленьких равных треугольников, получив- шихся при этом. Их оказывается 7 u 7 = 49. Аналогич- ный результат был бы получен при разбиении квадрата со стороной 7 см на сантиметровые квадраты. Используя результат задачи № 2, можно составить задачи на разрезание: 1) разрезать треугольник на n равных треугольников, если n является квадратом натурального числа (напри- мер, на 16, 25 и т. д.); 2) разрезать правильный треугольник на 12 равных треугольников. Ее решение предостережет учащихся от создания стереотипа в решении подобных задач. От задачи на разрезание треугольника легко перейти к разрезанию треугольной пирамиды, пространственно- го аналога треугольника, при этом учащиеся должны видеть, что не всегда свойства плоской фигуры дают ос- нования для выполнения аналогичных свойств в про- Гектары Ары Квадрат- ные метры Квадрат- ные деци- метры Квадрат- ные санти- метры Квадрат- ные милли- метры га а м 2 дм 2 см 2 мм 2 Дес. Ед. Дес. Ед. Дес. Ед. Дес. Ед. Дес. Ед. Дес. Ед. 5 0 0 0 0 0, 0 0 0 0 0 0 3 6 66 странстве: отрезание «уголков» от пирамиды плоскостя- ми (разрезами), проходящими через середины ребер, не приводит к возникновению четырех равных пирамид. Возможно поэтому «треугольный сантиметр» для из- мерения площадей и объемов неприменим. Как и при измерении длин, здесь рассматриваются практические приемы измерения площадей и объемов, а также измерение величин не свойственными им единицами измерения. Это приближает наглядную гео- метрию к повседневной жизни и еще раз показывает ее необходимость. Отыскание способов измерения толщи- ны бумажного листа, вместимости чайной ложки и др. (задание № 4) развивает конструктивные способности учащихся, изобретательность, умение находить остро- умные, нетрадиционные решения проблемы. § 12. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИНЫ, ПЛОЩАДИ, ОБЪЕМА (2 ч) Основные понятия:геометрическая фигура, свойства геометрических фигур; равенство, равновеликость и рав- носоставленность фигур; увеличение площади и объема фигур в зависимости от увеличения линейных размеров с сохранением формы. Предметные результаты: вычислять площади прямо- угольника (квадрата) по формуле; вычислять объем пря- моугольного параллелепипеда (куба) по формуле; выра- жать одни единицы площади и объема через другие; мыс- ленно переносить точку наблюдения, манипулировать образом. Метапредметные результаты: индуктивное получе- ние свойств геометрических фигур, выдвижение гипотез; развитие конструктивных способностей, пространствен- ного зрения и логического мышления и коммуникативных умений. Личностные результаты: развитие познавательной ак- тивности, желания выполнять геометрические упражне- ния и решать задачи. Внутрипредметные и межпредметные связи: плани- метрия (подобие, измерение величин: длина, площадь, объем). 67 КОММЕНТАРИИ. Параграф завершает изучение вопро- сов измерения. В нем обобщаются сведения предыду- щих уроков по этой теме, полученные индуктивно, и формулируются основные свойства меры. Также вво- дятся понятия равновеликости и равносоставленности. Утверждается, что всегда можно перекроить один мно- гоугольник в другой такой же площади и что аналогич- ное свойство для многогранников не выполняется. Эк- вивалентность равновеликости и равносоставленности для многоугольников очень важна в геометрии: на этом свойстве основаны выводы формул площадей много- угольников, происходит перекраивание фигуры одну в другую. К общим свойствам площади и объема учащиеся подходят в результате решения задач № 1—11. Термины, которыми оперируют школьники при их решении, — это в основном «форма» и «размер». Задания на измерение длины, площади и объема за- канчиваются задачей № 12. После выполнения этого за- дания учитель переходит к обобщению полученных свойств и формулирует их. Серию практических приемов измерения продолжа- ет задача № 13. УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ УЧЕБНИКА 1. Задание на увеличение линии в 2 раза с сохранени- ем формы. Учащиеся должны удвоить каждое звено ли- нии, сохраняя «направление». Работа на клетчатой бу- маге облегчает выполнение задания. Учитель обращает внимание на необходимость учета именно направления каждого звена, что в дальнейшем пригодится при изуче- нии подобия (сохранение направления позволяет сохра- нить углы). С удвоением ломаной ученики не испыты- вают затруднений. Вторая же часть задания сложнее, так как линия имеет звенья, являющиеся дугами окружнос- тей. Здесь учитель должен показать прием удвоения ду- ги. Надо удвоить радиус окружности(l = 2Sr, а значит, 2l = 2S2r). 2, 3. Задания практического характера. Ученикам нужно нарисовать фигуру на клетчатой бумаге и найти ее площадь (объем) путем подсчета. Сравнение ре- 68 зультатов подводит к в ы в о д у:увеличение линейных размеров фигуры в n раз дает увеличение площади в n u n = n 2 раз, а объема — в n u n u n = n 3 раз. Полезно вспомнить таблицу перевода единиц измерения и еще раз объяснить ученикам появление или удаление нулей при переводе единиц измерения площади и объема. 4. В задании требуется найти площадь квадрата, на- рисованного на клетчатой бумаге так, что его стороны расположены не по сторонам клеток. 5. В задании, которое аналогично № 4, требуется на- чертить на клетчатой бумаге квадраты определенной площади, причем решение во многих случаях возможно именно при расположении сторон квадратов не вдоль сторон клеток. Выполнение заданий № 4 и 5 основыва- ется на том, что диагональ прямоугольника делит его на две равные части, т. е. если известно, что площадь пря- моугольника равна 2 u 3 = 6 клеток, то площадь тре- угольника, полученного проведением диагонали, равна 6 : 2 = 3 клеткам. В качестве подготовительных упраж- нений можно порекомендовать вычерчивание треуголь- ников площадью 0,5 клетки, 1 клетка, 1,5 клетки и т. д., т. е. тех треугольников, которые понадобятся при вы- черчивании квадрата заданной площади. Задание № 5 можно также выполнять и в систематическом курсе гео- метрии при изучении теоремы Пифагора. 9, 10, 11. Задачи решаются одним методом — ме- тодом разрезания и достраивания (перекладывания от- резанных частей). Суть его в том, что фигуры перекра- иваются в равные, откуда заключаем, что их площади равны. Выполнение этих заданий можно считать пропе- девтикой вывода формул площадей многоугольников, где применяется тот же прием. Решение на клетчатой бумаге очень облегчает работу: на ней хорошо видны равные отрезки, параллельные прямые, по узлам можно построить равную фигуру и т. д. 12. В задании требуется подсчитать объемы изобра- женных на рисунке тел, составленных из единичных ку- биков. 13. Задача на измерение высоты дерева с помощью лужи. Недостающее знание для учащихся при решении этой задачи — равенство углов падения и отражения 69 луча света от плоской зеркальной поверхности. Это мо- жет рассказать учитель. Таким образом, данное вычис- ление основано на подобии треугольников, образую- щихся при отражении дерева в луже. Конечно, полного обоснования этого приема пока не нужно давать учени- кам, но если они запомнят прием, это знание сработает при изучении подобия в систематическом курсе геомет- рии. 14. Задание на нахождение площади фигуры, разби- ваемой на прямоугольники, — стандартное, обязатель- ное для выполнения всеми учениками. Прием его вы- полнения состоит в сведении площади искомой фигуры к сумме площадей прямоугольников. Для этого фигуру надо разделить на прямоугольники или их половинки, что учениками выполняется без затруднений после ре- шения более сложных задач № 9—11. 15. Задачу можно сформулировать в более общем ви- де, взяв вместо конкретных чисел 3 и 4 некоторые бук- венные обозначения m и п. Тогда, после соответствую- щего разрезания и перекладывания, ограниченная фи- гура будет по площади больше исходной на (m – n) 2 квадратных единиц. |