Isbn 9785358173804Ерганжиева, Л. Н
 Скачать 0.57 Mb.
|
|
Тема: «Развитие пространственных представле- ний учащихся» 1. Композиция. а) Лист бумаги складывается вчетверо и вырезается серединка. Эти действия производит учитель. После разворачивания листа учитель задает вопрос: «Какая фигура отрезана?» б) Лист бумаги складывается вдвое и отрезается уго- лок. Какая фигура получится после разворачивания от- резанного кусочка? (Возможны 2 случая.) 38 2. Реконструкция. а) От квадрата отрезается половинка по диагонали, и закрашенная часть поворачивается на 270q против часовой стрелки вокруг вершины А. Какая фигура полу- чится в результате такого преобразования? б) Сделать один разрез так, чтобы после переклады- вания частей фигуры получился параллелограмм (мож- но показать учащимся, какая фигура должна полу- читься). 3. Изменение точки наблюдения. а) На столе поставлены рядом друг с другом два ку- ба. Какие из чертежей, из обр аженных на доске, могут служить изображением данных кубов? б) На столе расставлены геометрические тела. Опи- сать словесно или рисунком, как выглядит эта группа предметов, если на нее смотреть с противоположной точки наблюдения. Подобные «срезы» следует проводить периодически, чтобы увидеть результаты работы по развитию про- странственных представлений и образного мышления школьников. Оценивание результатов, на наш взгляд, может быть только качественное. Предлагается сохра- нить результаты проверочной работы учеников до кон- ца года для сравнения. При решении задач параграфа ученики применяют метод проб и ошибок. К параграфу относятся восемь задач, разнообразных как по содержанию, так и по способам решения. Пред- полагается, что они способны продемонстрировать все многообразие геометрии и методов решения геомет- рических проблем. УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ УЧЕБНИКА 1. Сложите 6 спичек так, чтобы образовалось 4 тре- угольника (сторона треугольника равна спичке). Эта за- дача сразу снимает возможные ограничения, связанные с работой в плоскости, она объединяет плоскость и про- странство, давая простор действиям. Решением задачи является треугольная пирамида, у которой данные 6 спичек являются ребрами. 39 2, 4. Решение задач на разрезание фигур на равные части опирается на интуитивно ясное понятие равенст- ва фигур. В задаче № 2 требуется разрезать квадрат на 4 равные части (разными способами) и на 5 равных частей. В задаче № 4 нужно предложить способ разрезания фигуры (рис. 6 в учебнике) на две равные части. Следует подчеркнуть, что равное количество составляющих фигуры клеточек еще не означает равенства самих фи- гур. Это необходимо, но не достаточно: фигуры должны быть еще одинаковыми по форме. Таким образом, уча- щиеся подводятся к важнейшим понятиям размера и формы. Эти задачи могут быть решены учащимися в хо- де предметной деятельности, т. е. непосредственным физическим разрезанием фигур. 3. Задача показывает, что за простой формулировкой подчас скрывается неразрешимая проблема. Вычерчи- ванию уникурсальных кривых (т. е. без отрыва руки от бумаги и повторения пройденных участков) посвящен параграф 15 — топологические опыты, где объясняется, что не каждая задача, подобная данной, имеет решение. 5. Арбуз разрезали на 4 части и съели. Получилось 5 корок. Как такое может быть? Предполагается реше- ние этой задачи «в уме» (на мысленное манипули- рование образом памяти). Можно также рассуждать ло- гически. Как может получиться на 1 корку больше, чем было кусков? [Только если одна часть содержала 2 кор- ки, а это может быть, если вырезать сердцевину арбуза по вертикали, не срезая сначала «вершок» и «доныш- ко».] 6, 7. Задачи лучше сопроводить демонстрацией мо- делей или организовать работу учеников с бумагой. При работе над задачей № 6 учитель может, как фокусник, показывать попеременно то фигуру, то рас- правленный лист бумаги с разрезами, чтобы ученики сначала смогли сделать необходимые разрезы на листе бумаги, а затем уже пробовали из него сделать невоз- можную на первый взгляд фигуру. В задаче № 7 расположить четыре «страны» треуголь- ной формы можно таким образом, чтобы каждая из них имела общую границу с тремя другими. Для этого следу- 40 ет раздать по четыре треугольника определенной формы каждому ученику. Имея треугольники, ученики путем комбинирования их взаимного расположения могут найти решение задачи, если задачу не удалось решить умозрительно. Заметим, что с целью вовлечения в про- цесс восприятия различных органов чувств нужно как можно чаще использовать модели, особенно на первых уроках. § 2. ПРОСТРАНСТВО И РАЗМЕРНОСТЬ(1 ч) Основные понятия: пространство, размерность про- странства, измерения как характеристики геометрическо- го объекта; одно-, двух-, трехмерное пространства. Перс- пектива как способ передачи пространства на плоскости. «Невидимые» линии. Куб, квадрат, пирамида, треуголь- ник, четырехугольник, диагонали, многоугольник, много- гранник. Предметные результаты: измерять с помощью инстру- ментов и сравнивать длины отрезков и величины углов; строить отрезки заданной длины с помощью линейки и циркуля и углы заданной величины с помощью транспор- тира; выражать одни единицы длины через другие; пере- давать объемность тела посредством изгиба линий; изо- бражать куб и пирамиду на клетчатой бумаге с использо- ванием пунктирных линий; конструировать многогранник с заданными характеристиками. Метапредметные результаты: развитие пространст- венных представлений; знакомство с именами зна- менитых художников и их работами, восприятие глубины пространства, способность видеть ошибку в изобра- жении. Личностные результаты: эстетическое восприятие гео- метрии, интерес к окружающему миру и его изо- бражению. Внутрипредметные и межпредметные связи: пла- ниметрия (многоугольники), стереометрия (многогран- ники). КОММЕНТАРИИ. Основная цель этого параграфа — введение учащихся из чувственно-сознаваемого про- странства в абстрактно-геометрическое. При изложе- 41 нии материала учитель переходит от реальных объектов окружающего мира к их абстракциям — геометри- ческим телам. Так, от описания многоэтажного дома (количество подъездов — длина, количество окон в тор- це — ширина, количество этажей — высота) переходят к прямому прямоугольному параллелепипеду, полностью описываемому тремя параметрами — длиной, шириной, высотой — или (учитель вводит термин) тремя измере- ниями. «Возвращаясь» в реальный мир, ученики нахо- дят предметы, имеющие форму параллелепипеда. За- тем, привлекая фантазию учащихся, учитель предлагает представить, что произошло бы, если бы исчезла высо- та. Мир стал бы плоским, осталось только два измере- ния — длина и ширина. Какие геометрические фигуры могут находиться в плоскости? А какие фигуры не поме- щаются в двумерных рамках? Продолжая мысленное экспериментирование, приходим к одномерному про- странству и фигурам, которые находятся на прямой (отрезок, луч, точка). Учащихся подводят к пониманию точки как абстрактной геометрической фигуры, не имеющей измерений. Работу по введению понятия размерности простран- ства можно сопроводить демонстрацией модели, напо- минающей показ мультипликационного кукольного фильма. В эту модель входит куб, изготовленный из двух кар- тонных квадратов (это верхнее и нижнее основания) и ткани, образующей боковые грани. Ткань должна складываться гармошкой, как в старинных фотоаппара- тах, что позволяет совместить основания куба парал- лельным переносом и получить модель двумерной фи- гуры — квадрата. Этот (или другой равный ему) квадрат укладывается на картонный лист с прорезью, сторона квадрата прикладывается к прорези, и при переходе к одномерному пространству учитель втягивает снизу квадрат, пока не останется узкая полоска, иллюстри- рующая прямую. Затем эта полоска «стягивается» в точ- ку (а на изнанке картона движется весь квадрат) — уби- рается и длина. Далее проводится игра в «плоскатиков». Представив себя плоскими, пятиклассники должны описать, что 42 они видят вокруг: как им представляется треугольник, квадрат, окружность, отрезок и другие плоские фигуры, что они видят, если их плоскость пересекает шар (в мо- мент касания шара с плоскостью — точку, а затем отре- зок, увеличивающийся до размера диаметра и опять уменьшающийся до точки). Эта игра способствует раз- витию пространственного воображения учащихся на основе мысленного манипулирования образами, гото- витих к изображению пространственных фигур на плоскости, а в дальнейшем — к построению сечений многогранников и тел вращения. От понимания тесноты плоскостных рамок для про- странственных тел учащиеся переходят к изображению фигур на плоскости. Это очень важный момент для развития пространственных представлений и изобрази- тельно-графических умений. Эмоциональность вос- приятия и яркость впечатлений учащихся достигается путем использования репродукций произведений ис- кусств, например, В. Вазарели «Изучение перспекти- вы», У. Хогарта «Неправильная перспектива», графи- ческих работ Вазарели «Вега-11», «Манипур» и др., а также «невозможных фигур» О. Рутерсварда. Учитель может предложить ученикам, по аналогии с этими гра- фическими работами, придумать и нарисовать кар- тинки с кажущимися выпуклостями и вмятинами (для удобства на миллиметровой бумаге). Это задание дает физическое ощущение пространства при его изобра- жении на плоскости, что в дальнейшем облегчает обуче- ние изображению многогранников, принятому в гео- метрии (невидимые линии изображаются пунктиром). Задачи параграфа призваны показать различия плос- кости и пространства и возможности, возникающие при увеличении размерности пространства. Для тех учащихся, у которых ведущим является на- глядно-действенное мышление, работу над задачами № 2 и 5 полезно провести с пластилином. Упражнения, подобные задачам № 3 и 4, позволяют не только закрепить умения в изображении многогран- ников, но и развивают воображение учащихся. Требование нарисовать, а не начертить многогран- ник весьма существенно. На данном этапе изобрази- 43 тельно-графические задания выполняются от руки, что- бы не отвлекать учеников от сути задания. УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ УЧЕБНИКА 1. Для того чтобы сложить в два раза больший, чем данный, квадрат, нужно взять 4 квадрата, а для состав- ления в два раза большего куба нужно взять 8 таких ку- бов. При работе над заданием полезно предварительно выяснить смысл термина «в два раза больший», который можно понимать как больший по площади (по объему) или больший по длине стороны. В задаче имеется в виду больший квадрат (куб) по длине стороны. Отметим, что начальная стадия работы над задачей — понимание ус- ловия, а значит, выяснение смысла всех входящих в ус- ловие терминов. Это очень важный этап, и акцентиро- вание внимания на нем в пропедевтическом рассмотре- нии геометрии даст положительные результаты при изучении систематического курса. 2. В задаче требуется разделить треугольник на 4 рав- ных треугольника (для облегчения можно взять рав- носторонний треугольник). Решение — отрезание «уголков». Данная задача позволяет, проводя аналогию треугольника с треугольной пирамидой (правильным тетраэдром), показать и их различия, возникающие из-за изменения размерности пространства, а именно невозможность деления тетраэдра на 4 равных тетраэдра аналогичным отсечением «уголков». 3, 4. В заданиях требуется придумать и изобразить многогранники с равным количеством вершин (8 и 5), но разным количеством граней (не 6 и 6 соответствен- но). Облегчить выполнение этих заданий учащимся, у которых образы памяти превалируют над образами во- ображения, поможет набор моделей многогранников, среди которых есть и «ответы» к заданиям. 5. В задаче разница между плоским блином и объем- ным караваем также возникает из-за того, что блин име- ет малую толщину по сравнению с караваем: каравай можно разрезать на две части горизонтальным разре- зом, а тонкий блин нельзя. 44 § 3. ПРОСТЕЙШИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ (1 ч) Основные понятия:точка, прямая, отрезок, луч, угол, вертикальные углы, смежные углы, прямой, тупой, острый углы, биссектриса угла. Предметные результаты: изображать точку, прямую, отрезок, луч, угол заданной величины, строить биссект- рису угла, вертикальные и смежные углы от руки и с по- мощью чертежных инструментов; измерять величину угла транспортиром. Метапредметные результаты: формирование на- выков исследовательской деятельности, развитие глазо- мера. Личностные результаты: формирование аккуратнос- ти, наблюдательности, усидчивости. Внутрипредметные и межпредметные связи: плани- метрия (углы). КОММЕНТАРИИ. Рассмотрение пространственных тел на первых уроках естественно подводит учеников к вы- членению их элементов — границ, граней, т. е. к прос- тейшим плоским геометрическим фигурам, рассматри- ваемым в параграфе. Изучение целесообразно начать с рассмотрения мо- делей многогранников и вычленения на них геометри- ческих фигур, известных ученикам из начальной шко- лы. Следует сразу обратить внимание учащихся на углы многогранников. Школьники могут подменять термин «вершина» термином «угол». Необходимо показать разницу между вершиной, т. е. точкой, и многогранным углом. Основная нагрузка данного параграфа приходится на изучение углов, их видов и измерение. С транспорти- ром учащиеся встречаются впервые, а поэтому необ- ходимо отработать умение пользоваться им как измери- тельным и чертежным инструментом. Этому служат практически все задания параграфа. УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ УЧЕБНИКА 4. Задание, в котором нужно изобразить две пересе- кающиеся прямые под углом в 28q и измерить остальные углы, подводит учеников к понятию вертикальных 45 углов и обнаружениюих равенства, что потом использу- ется в рассуждениях о сумме смежных углов. Хотя эти рассуждения еще нельзя назвать доказательствами, но некоторая практика проведения дедуктивных рассужде- ний у учащихся появляется. 5. В задаче нужно изобразить четырехугольник с тре- мя прямыми углами и догадаться, что и четвертый угол тоже прямой. 6. Задача о диагоналях квадрата также позволяет ис- пользовать в решении интуицию и житейские наблюде- ния. Рассуждения, приводимые при этом учениками, можно считать первым опытом дедуктивных рассужде- ний. 7. При ответе на вопрос задачи о том, чему равен угол между часовой и минутной стрелкой часов в 9 ч, 10 ч, 6 ч, 5 ч, 11 ч 30 мин, предварительно полезно рас- смотреть движение стрелок часов и выяснить: какой угол описывает минутная стрелка за полчаса, какую часть получаса составляют 5 мин, какой угол описывает минутная стрелка за 5 мин. После проведения такой ра- боты ответы не вызывают затруднений. 8. Задача интересна своим неожиданным ответом. Казалось бы, увеличительное стекло должно все объек- ты увеличивать в некоторое число раз, и это действи- тельно происходит с линейными размерами, но не с ве- личинами углов. Данная задача «работает» на подобие фигур — преобразование, сохраняющее форму, а зна- чит, и величину угла. Объяснить этот ответ можно таким образом: при наблюдении угла через увеличи- тельное стекло видно, что направление его сторон не изменяется, а значит, не изменяется и величина угла. Если ученик пользовался при решении интуицией, то от него можно не требовать объяснений. 9. Задача использует понятие равных фигур, как сов- падающих при наложении. При проведении биссектри- сы угла, вырезанного из бумаги, его надо сложить по- полам. Это действие выполнял неоднократно каждый ребенок, вырезавший к новогоднему празднику бумаж- ные снежинки. 10. Решение задачи предполагает проведение про- стейших дедуктивных рассуждений на основе определе- 46 ния биссектрисы: так как дан угол 60q, а биссектриса де- лит угол пополам, то части данного угла — по 30q. Это величины тех углов, которые биссектриса образует со сторонами данного угла. 12. Задача важна тем, что ее формулировка не позво- ляет дать однозначный ответ на поставленный вопрос, он зависит от того, какой из проведенных лучей — ОА, ОВ или ОС — лежит между двумя другими. Задача учит решающего быть внимательным к условию и обязатель- но его анализировать перед тем, как приниматься за ре- шение. § 4. КОНСТРУИРОВАНИЕ ИЗ «Т»(1 ч) Предметные результаты: моделировать геометриче- ские объекты из бумаги. Метапредметные результаты: формирование конст- руктивных и коммуникативных умений, развитие вообра- жения, нестандартного мышления, интуиции, геометриче- ского зрения, изобразительных умений, пространствен- ных представлений. Личностные результаты: вовлечение в самостоятель- ную деятельность; привитие вкуса к исследовательской деятельности. Внутрипредметные и межпредметные связи: плани- метрия (геометрические преобразования, параллельный перенос). КОММЕНТАРИИ. Освоение новых терминов и инст- рументов параграфа сменяется новым видом деятель- ности — комбинаторным. Задача № 1, развивая образное и ассоциативное мышление учащихся, способствует развитию коммуни- кативных умений, включающих в себя умение объяс- нять, описывать адекватно ситуацию и воспринимать информацию. Выполнение этого задания предполагает работу учащихся в парах, и она оценена должна быть по результатам работы пары — по взаимопониманию и слаженности. Остальные задания — индивидуальные, в которых может проявиться способность ученика к конструкторской деятельности. 47 В задаче № 4 неявно используется понятие разверт- ки, так как требуется «завернуть» куб в букву «Т». Неко- торым ученикам задача в такой постановке может оказаться сложной, им можно предложить разрезать бу- мажный куб по ребрам (линиям сгиба бумаги) так, что- бы при разворачивании получилась фигура, имеющая форму буквы Т, т. е. обратную задачу, более понятную для учащихся с ведущим наглядно-действенным мыш- лением. Остальные задачи параграфа под силу каждому уче- нику, и их решения не приводятся. УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ УЧЕБНИКА 1. Задача на составление конструкций из заданных элементов (буквы Т) и словесное описание этих конст- рукций. 4. Задание несколько предваряет следующий параг- раф, в котором будет рассмотрен куб. |